Enchaînement des idées fondamentales, t. I, p

LES JUGEMENTS MATHEMATIQUES

Je puis donc remplacer 2 par 1 + 1 el 3 par 1 l 1 f 1. y aï alors : 1 + 1 (ou 2) -f- i + 1 -f- 1 (ou 3) = o. Kant objectera que l'idée de o dilVère des idées de 2 et de ;}, et nithiie de l'idée de leur soHune. Sans doute; mais c'est que Tidée de o est, par déiinition, celle de Tunité ajoutée à 4, et c'est par un raisonnemcMit (on vient de le voir) qu'on démontre que cette définition entraîne la conséquence : 2 + 3 = o. Ouant à l'acte de l'esprit qui embrasse en une seule pensée les o unités pour en faire un nombre o, c'est simplement une construction et définition, avec un mot pour aide, le mot cinq. De même, 32:; + 770 = 1101 nVst nullement une proposition synthétique a itriori ; c'est la conclusion d'une analyse et d'un raisonnement déductif fondé sur le principe d'identité. En tout cela il ny a que définitions d'idées abstraites et de mots, construction de nombres par addition de Tunité à elle-mêni(% puis déductions et théorèmes. Passons à la f;éométrie. Le théorème du trianf»le isocèle, si souvent cité depuis Kant, n'a, croyonsnous, rien de synthétique a priori. Si je joins le sommet au milieu de la base, il y a sans doute construction et, sous ce rapport, synthèse, puisque j'ima- ^\n(' une figure nouvelle. La ligne menée n'en a pas moins pour but d'analyser le triangle isocèle en le décomposant en deux autres triangles. Une fois cette ligne tracée, il sulfit de la moindre analyse pour voir qu'elle constitue un côté commun aux deux nouveaux triangles, qui ont aussi en commun les deux côtés égaux du triangle* isocèle ; quant à hi base partagée en deux, elle fournit un troisième côté égal de part et d'autre. De là dérivent analytiquement Tégalité des deux triangles, l'égalité des deux angles au sommet, le caractère de bissectrice

qu'offre la ligne menée, le caractère d'angles droits qu'offrent les angles à la base, etc. Mener la ligne et réaliser de fait ces conséquences, c'est tout un : il n'y a plus qu'à analyser pour les voir s'épanouir

une aune. .

L'idée même de joindre le sommet du truuigle isocèle par une droite au milieu de la base n'est nullement ce que M. Boutroux appelle une fantaisie de l'imagination « créatrice », ni ce que M. Poincaré appelle une (^ hypothèse arbitraire ». Cette idée se présentera nécessairement à tous les esprits, en vertu d'un raisonnement bien simple sur les proportions et les mesures. Il suffit de regarder un triangle isocèle pour en mesurer, par un raisonnement rapide, les divers éléments et pour s'apercevoir qu'une ligne abaissée sur la base peut le partager en deux triangles symétriques et visiblement égaux. L'idée du ?)filie(f de la base, étant la plus si?nple, \d. première, doit se présenter <^n premier lieu, en vertu d'un raisonnement rapide. 11 y a une raison pour choisir tout d'abord le milieu ; il n'y en a pas pour choisir un point quelconque plus^iu'un autre. Là encore, pas le moindre jeu arbitraire de l'imagination. Un enfant qui s amuse à tracer un triangle isocèle partagera ensuite son triangle en deux, par amour naturel de la symétrie. Or la svmétrie n'est qu'une identité de rapports ou de raisons, et cette identité est l'objet d une déduction presque immédiate.

Les bomtructions mêmes de la géométrie sont déduites des principes antérieurement posés sur la nature de l'espace, sur la possibilité d'y mener des lignes en tous sens, sur les rapports nécessaires qui relient ces lignes, etc. Le géomètre ne construit rien sans raison ; il ne fait aucune hypothèse sans

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L\ PENSEE

raison ; il déduit ses hypothèses mêmes de principes non hvDothétiques. Les définitions de la géométrie

sont proi

: déjà des théorèmos ayant pour principes les ^- .j)riétés essentielles de Tespace et la possibilité d'y 'tracer toutes les lignes, à commencer par les plus simples et les plus élémentaires, lignes droites, angle, triangle, carré, cercle, etc. Une définition doit être démontrée possible et nécessaire ; elle

est donc déduite.

Ouand on définit la droite « le chemin le plus court d\m point à un autre », Kant remarque qu^on fait la synthèse de la f(nine et de la r/mnitité. Oui; mais, selon nous, cV^st la forme seule qui devrait entrer dans une définition vraiment primitive : ou, si la définition proprement dite de la droite est impossible, dans la caractérisation primitive. La droite a pour qualité essentielle d'être l'intervalle le plus .s /V/«y>/^ entre deux limites, d'une simplicité telle que deux points suffisent à déterminer la ligne dans toute son étendue, fut-elle prolongée à l'infini. C'est cette simplicité qui nous semble la vraie caractéristique de la droite et (jui en fait la ligne élémentaire ou vraiment première. Et cette simplicité, à son tour, résulte d'une identité ou d'une eonstance qui, selon la définition célèbre d'Euclide, consiste en ce que la ligne droite tout entière est, dans sa forme et sa situation, toujours identiquement placée par rapport aux points qu'on peut prendre sur elle. Prenez deux points quelconques, la ligne entière ne change pas de forme ni de situation par rapport à ces points ; elle conserve les mêmes relations d'ordre, dans l'espace, la même loi spatiale. On a prétendu trouver dans cette belle définition d'Euclide un cercle vicieux. Nullement. Elle exprime ce que nous disions tout à l'heure : l'identité fondamentale et la

LA GÉOMÉTRIE ET LE MOUVEMENT

simplicité constante d'une ligne que deux de ses points déterminent en son infinitude. Quant à l'w;?/cité de la ligne droite, qui fait que, par deux points, on n'en peut faire passer qu'une, elle vient précisément de ce que la droite est la seule ligne (|ui, au point de vue qualitatif, présente le maxianmi de simplicité, n'ayant besoin, encore une fois, que de deux points pour être entièrement déterminée à l'infini ^

Maintenant, pour passer de la qualité et de la forme à la quantité, il y a entre deux pcrints une ligne quantitativement ^\\xi petite que toutes les autres, et c'est la droite ; mais le chemin plus ou moins ronrt à efl^ectuer dans le temps et même dans l'espace n'exprime qu'une conséquence. Le plus petit et \e plus (jrand ^oninne question de mesure et de ([uantité, que nous ajoutons (non pas a priori, mais (i posteriori) à la question de figure et de qualité, mais qui ne devrait pas entrer dans la définition ou caractérisation première '. Cette propriété nouvelle de plus courte ou de plus petite, qui appartient à la ligne droite., résulte analytiquement de sa forme simple et de la position réciproque de ses points, par rapport auxquels la position de la ligne entière reste invariable. La quantité dérive ici de la qualité, de la figure dans l'espace. 11 est possible que nous ne puissions pas déduire, par voie de raisonnement exprès, la petitesse ma.rima de la forme droite; (encore a-t-on fait cette déduction) ; il n'en reste pas moins vrai que cette petitesse est incluse dans la forme, si bien qu'un coup d'œil fait saisir à la

\. Cette unicité est vainement ni^e par Rieniann, qui. donnant le nomde droites à des courbes, peut naturellement en placer plusieurs entre deux extrémités.

2. Une vraie définition est d'ailleurs impossible ici, par cela même que la droite est la ligne sunple.

fois [aflirectio?i et, comme conséquence, U petitesse maxima de la ligne qui joint les deuK pomts, par rapport a toute autre ligne imaginée pour les joindre. En d^autres termes, à la considération primitive de la forme et de hi position, ajoutez une considération nouvelle, celle du 77iourement dans resnace et dans le temps, la qualité de ligne la pas élémentaire et la plas simple entraînera la quantité de lonouear la pla^ coarte. Ne sait-on pas qu un mouvement curviligne est un changement continuel de direction suivant une ligne qui n est nullement déterminée par les d(ni\ seuls points de départ et d'arriyée ? Une ligne courbe est le lieu géométrique de certains points jouissant tous d'um^ certaine propriété par rapport a un ou plusieurs autres points ; ainsi deux points quelconques de la circonférence jouissent de la propriété d^étre également distants d\in troisième point, le centre. Comment leur assimilerait-on le rapport intime des points dans la ligne droite, qm fait, pour revenir encore à Euclide, que deux quelconques d^mtre eux sont toujours dans la memJ^ position que n^mporte quels autres points par rapport ^^la ligne tout entière.

Telles sont les raisons logiques de la prétendue synthèse a priori, comme aussi du prétendu « choix arbitraire de la droite » comme mesure. La droite est la première et nécessaire dimension de Tespace ; elle est la lonqaear. — non pas une longueur, mais la longueur même, la longueur dans sa pureté, la seule que nous puissions concevoir comme vraie longueur, la seule à laquelh^ nous rapportions toutes les autres, la seule qui puisse, en prenant certaines directions différentes, devenir largeur et i)rotondeur, exprimant ainsi les trois seules dimensions de

LA GÉOMÉTRIE ET LE MOUVEMENT

l'espace concevables pour nous. Or, on ne peut, en géométrie, prendre pour point de départ théorique ou pratique le complexe et le changeant, par exemple une courbe, au lieu du simple et de 1 identique ; de là le triomphe logique de la droite en géométrie. De là aussi la vraie raison pour laquelle elle sert de mesure et de mesure commode. On ne mesure pas le simple avec le complexe, mais le complexe avec le simple ; on ne mesure pas Télément avec le tout, mais le tout avec l'élément ; la ligne déterminée par deux points peut seule être Télément. Les vrais géomètres ne font rien, n'affirment rien, ne supposent rien sans des raisons plus ou moins explicites ; leurs postulats mêmes se déduisent de la représentation de Tespace telle qu'elle existe en nous et qui est la condition de la représentation des corps. Quels pauvres géomètres seraient des géomètres utilitaires, tout comme des sculpteurs utilitaires seraient de pauvres sculpteurs!

LA GÉOMÉTRIE ET LE MOUVEMENT. FAUSSETÉ DE l'eMPIRISME

GÉOMÉTRIOUE

Le combat contre la pensée, au profit de faction, de la pratique et du mouvement, a pénétré jusque dans la géométrie, où la pensée triomphait jadis sans conteste. Selon Maxwell, la géométrie serait dérivée de la théorie du mouvement, k feu croire, la géométrie n'étudierait vraiment que le processus au moyen duquel des figures sont tracées dans l'espace. Une Hgne, dit-il, n'c^st pas un trait sur le tableau, qui puisse être appelé aussi bien BA que

L\ PENSEE

\B- elle est, au contraire, « la voie » crun mouvement de A vers B. — Cette dernière réflexion met à nu deux choses : une confusion et un cercle vicieux. La confusion consiste à prendre la manière psvcho-phvsiologique dont nous concevons, nous, une ligne >our la ligne géométrique elle-même. Ouant au cercle vicieux, il enserre toute la théorie cîe Maxwell. En effet, pour exécuter un mouvement, il faut d^al)ord une <( voie » possible dans Tespace, avec point de départ et point d^arrivée, et cette voie est précisément la ligne ; celle-ci est donc indépendante du mouvement réel et reste la même en sa forme, en sa situation, en sa qualité, en sa quantité, qu'on la parcoure de A à B ou de B à A. Le géomètre na pas à s^occuper du bout par lequel on commence. Ses théorèmes font abstraction de tous ces détails étrangers. Les procédés au moyen desquels les lignes sont tirées dans l espace n^entrent pas plus dans les théorèmes que les échafaudages dans l'édifice une fois construit. . ,

Cela ne veut pas dire qu'on ne puisse, qu on ne doive étudier géométriquement les mouvements qui engendrent les figures. Nous nMgnorons pas que, de purement statique qu'elle était chez les anciens, la géométrie est devenue encore, chez les modernes, dynamique ou cinétique. Sous ce dernier rapport, une courbe plane peut être décrite par le mouvement d'un point, et l'équation algébrique nous apprend ce qu'est Ic^ tracé de la courbe à chaque moment. C'est alors Thistoire et la genèse de la courbe au point de vue einématique. En s'élevant a cette géométrie nouvelle, Descartes a retrouve et géométriquement analysé, sous des formes abstraites, le procédé concret par lequel nous imagi-

LA GÉOMÉTKIE ET LE MOUVEMENT i;^

nous et traçons les figures. Nous finissons, après éducation, par embrasser un cercle d'un coup d'œil ; mais, à Torigine, nous ne nous sommes représenté le cercle qu'en le traçant avec notre œil, en parcourant la circonférence tout entière pour en faire le tour et en mesurant de l'œil l'égalité des rayons. Tant que nous n'avons pas agi et mu, nous ne pouvons y>^>/.v^r la courbe, ne l'ayant pas réalisée, Lne idée étant une action, une idée de circonférence est, comme nous l'avons maintes fois répété, une action motrice traçant imaginativement une circonférence. L'enfant et Descartes, comme deux extrêmes, se touchent : tous deux apprennent en faisant. On peut donc et on doit étudier scientifiquement les rapports du mouvement aux figures, c'est-à-dire à toutes les lignes et conditions spatiales sans lesquelles il serait impossible.

Les modernes ont généralisé encore la méthode. La géométrie du mouvement est devenue la géométrie de la transformation^ la notion de transformation étant considérée comme une généralisation de l'idée de mouvement. On regarde telle surface comme engendrée par une courbe qui se déplace en se déformant. La conception cinématique de la théorie des surfaces a été précisée par l'emploi du trièdre. L'étude de la surface est alors ramenée à celle du mouvement d'un certain trièdre, et ce sont les propriétés de ce mouvement qui, dans cette forme de géométrie, définissent les éléments géométriques essentiels.

La géométrie cinétique nous montre ainsi comment peuvent se révéler les propriétés géométriques dans l'acte même du mouvement. Il s'ensuit que la cinématique peut engendrer une géométrie.

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Oui mais c'est qu'elle la renfermait déjà dans son sein- c'est qu'elle inq.liquait d'avance toutes les propriétés des li^çnes ou surfaces, dont elle ne nous fournit iiue la maieutique. Le mouvement est un chanircmentde rapports qui a pour condition tout un ensemble de rapports lixes, dont les plus essentiels sP révèlent à nous dans le mouvement même, bans ces rapports, qui sont constants le changement dans l'espace ou mouvement serait impossible II y a donc une logique de tordre, de la forn,e et de la nuantilé qui domine la cinématique même, quoique cette lotrique puisse, pour nous, se dégager de la n^canUrùe appliquée au tracé des lignes, des sur-

faces et des volumes. •

Ou'un Josué nouveau arrête non seulement le soleil, mais les étoiles et les mouvements d^ 1 univers entier «u'il fixe à jamais le monde tel qu il est dans l'immutabilité, tous les rapports géométriques possibles n'en subsisteront pas moins. l$ien plus e mouvement géométrique subsistera, je veux dire le déplacement idéal des figures, leur superposition idéale, leur succession idéale, sans que le temps intervienne et prenne place parmi les considérations de la pensée. Tout attribuer au mouvement, en oéométrie, c'est oublier ([ue le mouvement lui-même ^l'eTrien' sans règle et que c'est cette règle qui importe. Par exemple, la règle du '«o^f^î^nt « mon compas, pour décrire un cerc e, c est 1 égalité es rayons; donc c'est cette égalité non le mouvement par lequel je la réalise qui définit la circonfe-

"^""îTs géomètres grecs se sont gardés d'introduire des considérations de mouvement de temps, de nombre, de quantité même dans la géométrie proprement di e et statique -, ils s'en sont tenus aux con-

LES JUGEMENTS MATHEMATIQUES

sidérations de forme, comme s'y tiendrait un Phidias qui, en admirant la belle simplicité et la symétrie d'une forme féminine, se moquerait du temps et du mouvement. Si les Grecs revenaient au monde, ils distingueraient dans la géométrie dynamique des modernes, 1"^ ce qui rentre dans la géométrie proprement dite, 2« ce qui n'est que géométrie appliquée au mouvement, ou mouvement appliqué à la géométrie.

Leibniz avait raison de dire que la géométrie relève du seul principe de contradiction appliqué à la représentation spatiale, tandis que la mécanique contient des éléments qui échappent à ï « imagination », c'est-à-dire à la représentation spatiale. Ces éléments sont la masse et, par suite, la force vive. Chasles, qui protestait contre l'intrusion exagérée de l'arithmétique et de l'algèbre en géométrie, admirait à bon droit la définition de la géométrie qu'on trouve dans Boèce : <( C'est la science de la grandeur immobile, la description contemplative des formes^ par laquelle on a l'habitude de rendre claires les /imites de chaque objet. » Disciplina mafinitudinis immohiiis^ forinannnqne descriptioronternplativa^ perquam unimni jusque rei terniini (Jeclarari soleiit.

Dans les « déplacements )),lagéométrieapour but de découvrir les « invariants ». Toute catégorie de transformations et de déplacements qui possède des invariants forme un ijioupe^ au sens de Sophus Lie, et, inversement, tout groupe possède un certain nombre d'invariants qui le caractérisent. La géométrie a donc bien pour objet propre des rapl)orts invariables dans l'espace, qui rendent euxmêmes les variations possibles. On objecte que la géométrie postule la possibilité de mouvoir et

LA GEOMETRIE ET LE MOUVEMENT

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transport, necessaiie ; ', .{.fiions et axiomes,

ainsi q^^e df;^^"fS^,7, Z ne transporte rien, on ne mentvide.AvraïQut «J l'espace la

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triangle répété deux to>^.^"^;tP/^^. trique est lu

que le nerf ^e a d.mi-^^^^^^^^^ lans Tes-

superposition, qui impiiq^^

pace. — Qu'est-ce que Tégalité géométrique ? demandent à ce sujet M. Poincaré et ses partisans. (( Deux figures sont égales quand je puis les superposer. » — Oui, mais la superposition n'est qu'une vérification de Tégalité préexistante, et celle-ci consiste dans des identités de rapports indépendantes du procédé mécanique appelé superposition. On nous dit encore que superposer, c'est déplacer, ce qui suppose qu'on peut déplacer les objets sans les déformer, et, en conséquence, dit M. Bergson, que les objets sont des corps solides aux ai^tes rigides. — Mais, si nous n'avions jamais connu que des fiuides, serait-il donc impossible d'être géomètre et d'entrer dans l'école de Platon : |jly,o£'.;£It'1tw? S'il n'y avait pas de corps solides dans la nature, n'y auraitil plus de géométrie ? Les figures qu'on superpose n'ont rien à voir avec la dureté des corps. Les distances AB, BC, CD, qui constituent un triangle, n'ont rien de commun avec la question de savoir entre quels corps concrets, solides ou fluides, se trouvent ces distances invariantes. En outre, le raisonnement de l'empirisme géométrique nous semble un cercle vicieux. Comment savons-nous que des corps sont solides, par exemple deux planches rectangulaires? C'est parce que nous jugeons qu'il y a des relations invariables dans l'espace entre leurs points, entre leurs lignes, entre leurs surfaces, relations indépendantes de leur position en tel lieu ou en tel autre. Nous interprétons géométriquement la dureté des corps. N'y eût-il que des liquides ou des gaz, n'y eût-il qu'un océan d'éther ballotté par une tempête éternelle, l'esprit concevrait encore des points, des intervalles entre ces points, des surfaces et des volumes. Un genre de vie éthéré ne changerait rien à nos théorèmes. Y a-t-il rien de plus fluent et de

ForiLLÉE. ^2

plus fuyant que la durée? Nous y établissons pourtant des points de repère. Nous pouvons, grosso modo, mesureur le retour à intervalles sensiblement égaux de certains sons, de certaines douleurs internes. Dire que la géométrie dépend des solides durs revient à dire, croyons-nous, qu'elle dépend de la couleur des objets ou de leur son.

Quant à la superposition, dont M. Pomcaré et tanl d'autres font la base de la géométrie, c^est un procédé d'exposition ; ce n'est pas la vraie raison inhérente à une preuve. Cette raison est indépendante du mouvement et du transport dans Tespace ; elle consiste dans ces rapports d'ordre ou d'identité qui, nous Tavons vu, subsistent indépendamment de toutesuperpositionetqui, seuls, /v>//r/^y//

la superposition possible comme conséquence. Considérez, par exemple, le théorème selon lequel, si un triangle a deux angles égaux, les deux côtés opposés sont égaux. Les modernes, comme grisés par Tidée de mouvement matériel, ont cru devoir imaginer ici une démonstration fondée sur le retournement de la figure. Prenons, disent-ils, un triangle ayant deux angles égaux et retournons-le à Tenvers ; la figure n'a pas changé. Ou encore, on imagine deux triangles, dont le second est le premier retourné, puis on place le triangle retourné sur l'autre et on remarque que son sommet va tomber au point A, qui est le sommet du premier triangle. Selon nous, ce n'est là que le corollaire d'une rapide opération logique par laquelle on compare et identifie des conditions communes aux deux triangles, pour en déduire une conséquence également commune aux deux. C'est une méthode de substitution par voie

d'identités.

Quand je considère un triangle dont les angles

LA GEOMETRIE ET LE MOUVEMENT

k la base sont égaux, je déduis, sans aucun mouvement de superposition et encore moins de retournement à Tenvers, que l'intervalle à Textrémité duquel un des côtés formant un certain angle avec la base doit rencontrer l'autre côté est déterminé par Fangle que celui-ci forme lui-même avec la base. Les angles à la base étant égaux de part et d'autre , des conditions absolument identiques entraînent des conséquences identiques. Placez le triangle isocèle sous les yeux d'un enfant, sans retournement à'I'envers, il mesurerîi directement du regard les deux angles à la base, il en admettra l'identité ; il comprendra que les deux côtés CA sont inclinés absolument de la même manière sur la base et que le point de rencontre doit être à égale distance pour les deux côtés, les conditions initiales étant identiques de tous points. L'égalité des côtés lui paraîtra se déduire de l'égalité des angles, dont elle est fonction, sans aucun besoin de mouvement ni de retournement. C'est cette égalité des angles qui est la vraie raison logique et explicative de l'égalité des côtés. Tout le reste est un appel à des conséquences ultérieures, étrangères, mécaniques et presque physiques, à des notions d'envers et d'endroit, de transport de gauche à droite, etc. Un nouveau Platon et même un nouveau Descartes dirait : — Je ne veux pas savoir s'il a jamais existé un mouvement matériel dans l'univers, encore moins un animal ayant une gauche et une droite ; la figure est là, immobile et invariante pour l'éternité ; elle est là avec ses deux angles égaux qui entraînent logiquement les deux côtés égaux ; je n'ai pas besoin d'autre raison que l'éternelle identité des conséquences dans l'éternelle identité des principes.

LA PE>'SEE

Examinez les autres théorèmes de géométrie où la superposition joue un rôle, vous verrez qu'elle est toujours un procédé dérivé, un corollaire, pour mettre en évidence des rapports d'identité et de symétrie qui la dominent et la justifient. Si deux triangles quelconques, qui ont un côté égal adjacent à deu\ angles égaux, sont égaux, c'est pour les mêmes raisons que tout à Theure : Tinclinaison des deux côtés étant identique dans les deux triangles, le point de rencontre des côtés doit être également identique de part et d'autre, parce quUl est uniquement fonction des deux angles. Toutes les promenades de triangles les uns sur les autres, toutes les embrassades de triangles sont de simples conséquences ; elles ne sont pas les raisons explicatives tirées de la constitution interne des figures, de Tordri», de la symétrie et de la liaison de leurs parties, de l'identité de leurs rapports. Si deux triangles qui ont un angle égal compris entre deux côtés égaux sont égaux, c'est encore pour les mêmes raisons. Toutes les conditions initiales sont identiques ; comment voulez-vous que, entre les deux extrémités des deux côtés égaux et également inclinés l'un sur l'autre dans les deux triangles, se produise miraculeusement une distance difterente, un troisième côté inégal? Son inégalité contredirait Fégalité de toutes les autres conditions dont il dépend. Je m'appuie, au fond, sur les lois communes de la déduction et de ce qu'on nomme l'induction : les mêmes antécédents entraînent les mêmes conséquents ; il n'y a ni changement de conséquence logique sans changement de principe, ni changement de résultat réel sans changement de conditions réelles. Nous sommes en plein dans le royaume de ridentité et de la raison suffisante : nous avons

LA GEOMETRIE ET LE MOUVEMENT

ibi

alTaire à la « caractéristique universelle », aux rapports logiques et ordinaux, non aux rapports mécaniques et physiques.

Bien plus, la superposition géométrique ellemême, qui a l'air d'être un mouvement, est au contraire, selon nous, une nouvelle affirmation de V indépendance de la figure par rapport au mouvement; elle ne semble faire appel au mouvement que pour Vélimijier en réalité.

En résumé, il semble que, malgré leurs belles découvertes, bien des géomètres contemporains, quand ils veulent philosopher sur la géométrie, se fassent illusion à eux-mêmes, méconnaissent leurs propres manières de procéder, les rabaissent à un empirisme terre à terre. Ils sont en réalité des logiciens et logisticiens subtils, condensant une masse de raisonnements dans une prétendue intuition sensible. Ils confondent leurs marches et contremarches avec les procédés réels des choses, leurs moyens de mesure et de contrôle avec les rapports d'identité ou de similitude qui existent entre les figures mathématiques. Ils ont beau traiter Euclide et les Grecs avec quelque dédain, les mathématiciens hellènes avaient, croyons-nous, un profond sentiment de la rigueur logique et mathématique ; moins mécaniciens et moins physiciens, ils étaient plus géomètres ; ils pensaient que, pour comprendre une figure, il faut la regarder elle-même dans les liens de ses éléments internes, et non regarder à côté . Ce n'est point le compas ou la corde tendue qui fait le cercle ; c'est la possibilité et la nécessité de cercle qui rend possible l'usage du compas ou de la corde. La circonférence n'est pas vraiment engendrée par le mouvement tournant d'une ligne ;

iSi

elle est un produit tout logique, tout ordinal, tout symétrique : étant donné un centre, je peux et dois concevoir une série de points à égale distance de ce centre et formant une courbe continue. La possibilité du cercle est un théorème et sa définition est une conséquence de ce théorème. Répétons-le donc, le cercle éternellement présent à une pensée, sans avoir été tracé dans le temps, serait encore le cercle ; il serait même le vrai cercle, constitué par d(»s relations h\es et immuables de ses éléments, malgré la mobilité de tous les compas entre toutes les mains humaines. Est-ce à dire que la géométrie soit la science du repos? Non, elle ignore le repos comme le mouvement; elle ignore aussi le temps, qui n'apparaît que dans la cinématique ; elle est toute à l'espace et à ses déterminations possibles. Elle est prédynamique et aussi pré-statique, parce qu'elle est la logique de Tordre régissant les. coexistences dans Fespace. Elle est la première et la plus faible matérialisation de la pensée; elle ne mêle rien de contingent à ses lois nécessaires. Les (( hypothèses » mêmes dont elle part sont des thèses imposées par la nature de la représentation spatiale et de son objet ; elles sont, encore une fois, déduites de la nature de Tespace ; elles ont en ellesmêmes un caractère de nécessité, quoique les esprits humains ne les aient pas tout de suite découvertes ni fornmlées dans leur ordre véritable. De ce que nous ne pouvons pas expliquer pourquoi il y a de Fespace et pourquoi, en fait, nous le concevons, il ne s'ensuit nullement que Fespace soit contingent et que notre conception soit elle-même contingente. Notre déterminisme mental est sous la dépendance du déterminisme des choses et, en dehors de ce double déterminisme, il n'y a rien

LA GEOMETRIE ET LE MOUVEMENT

pour nous de positivement concevable ni de saisissable. Tout, dans les mathématiques, doit donc être déterminé nécessairement, raisonné et raisonnable. Le rôle de Fexpérience, le rôle de la volonté et de la convention, le rôle du nominatisme, tout cela y est nul ou devrait y être nul, si les géomètres étaient meilleurs logiciens, s'ils savaient mieux mettre en lumière les vraies raisons explicatives de tout ce qu'ils affirment, supposent, construisent, définissent et démontrent. Pas un mot ne devrait sortir de leur bouche qui ne fut un arrêt théorique, non un « service » pratique ^

\. Les physiciens qui ne sont pas géomètres vont plus loin encore que • les géomètres empiristes. Le 1)' Gustave Le Bon a dit que, pour rendre plus exacte les délinitions classiques de la géométrie, il faudrait dire : — « VoinI ». figure géométrique à trois dimensions, toutes assez petites i our pouvoir tHre négligées dans les calculs. Liqne <\vo'\ie : Figure géométrique a trois dimensions dont deux sont assez petites pour pouvoir être négligées dans les calculs, etc.. » Que penseront les géomètres de cette géométrie qui supprime l'idée du point, celle de la ligne droite, celle du plan, etc. . M. Le Bon en conclut que par deux points, cesl-à-dire pai; deux petits volumes, on peut mener plusieurs parallèles à une droite. Si c était la la géométrie, non-euclidienne, son établissement serait commode Quant auv logiciens, ils n'admettront pas (juune distance, résidu de l'abstraction, se ramène à un volume, pas plus que ne s'y ramène le point, autre limite de l'abstraction.