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rél«»n(liH' (*sl iino pfoi)riété tout abstraite et int(*lligible de notre représentation des objets, tandis qu(* b» son ou la couleur sont des propriétés concrètes et sensibles. Raison d(» plus pour ne pas étendre Tidée de dimension au delà des trois seules diirumsions qu'enveloppe notre» représentation de l'espace, lesquelles sont nêress(firex et sfff'/is(f/ttes pour le déterminer cinni^lètetunU. Tout ce i|u on rév(* en dehors du rainplct (^st ime simple manipulation d'alj*;èbre, et la rigueur alfif'^hrifpœ de telles formules ne prouve rien sur leur ol)jectivité.

S'il en est ainsi, a-t-on le droit de dire» : — « Tne géométrie n'est pas plus rniie qu'une autre? » — Toutdépend d(» ce qu'on entend par rériUK Entendezvous simplement la cohériMice interne* des démonstrations qui s(î suivent? En ce sens, tout système bi(Mi enchaîné de raisonnements sera vrai, b»s principes fussent-ils faux. Entendez-vous par rêritr cidie des principes comme celle d(»s conséquences? Il faudra alors que les principes soient conformi^s aux lois de notre représentation (*t aux lois des choses. Mais alors, une géométrie contraire à ce double système de lois et reposant sur une hypothèse* gratuite* ne sera pas aussi vraie* que celle e|ui s'y e'onforme ; elle sera imaginaire. A partir ele certains extraits et abstraits de rex|)érience*, e|ui ne peuve*nt pas ne pas se dégager de l'expe^rience même dans tout esprit sain et ayant la représentation de l'étendue, la logique tire ele*s conséquences, recherche les diverses constructions [possibles et néeM*ssaires, les combinaisons possibles <*t nécessaires de ligne*s, de surfaces, etc. (^ette géométrie, à la fois logique et conforme aux données ele la représe*ntation spatiale, (*st seule /vy/?>; les autre*s sont, en le*urs principes, des utopies mathé-

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n.atiques, qui, nous l'avons vu, ont leur inleiel leur utilité, leur nécessité inènie. mais qui n en sont pas moins, au point de vue de Tobjeetivite de pures utopies. l.obatcheNvsky et Kiemann sont les Thomas Morus de l'abstraction géométrique.

Pour montrer qu'uiu- }^éoinétrie n'est pas pins vraie (lu'une autre, M. Poincaré a imaginé um^ sphère où tous les objets se contracteraient et sc^ dilateraient par la chaleur, dune manière t(>lle que les ehani,M>ments simultanés de dimensions ne pussent étrl' saisis. Comme les dimensions de deux petits objets traasportés d'un point à un autre varieraient dans le même rapport, puisque le eoe licient de dilatation serait le même, les habitants « croiraient que ces dimensions n'ont pas change ». — Sans doute ; mais en quoi leur géométrie sera.t- .'lleatteinte? Ils seraientseulementdupes dune Illusion de mesure. — « Us n'auraient, ajoute M Poincaré, aucune idée de ce que nous appelons ditference de température. » — Soit; mais c'est là une simpl.> ignorance de phvsique. — « Us croiraient que leur sphère est iiihnie; car, à mesuiv qu'ils en approcheraient, ils entreraient dans des régions de p us en plus froides; ils deviendraient de plus en plus petits, sans s'en douter, et ils f(>raient de plus en plus petits pas. » —Us auraient tort de croire que leur monde est inlini, comme un navigateur phénicien pouvaitavoir tort de croire l'océan sans bornes ; mais l'idée même d'espace infini subsisterait dans leur i)ensée, et il n'y aurait d'erreur qu<' sur la réalisation concrète et matérielle de cette idée. Là, ils seraient troini)és par le « malin génie » qu'imagine M. Poincaré. Enlin,« ce que les habitants

de cette sphère appelh-raient lignes droites, s.'raient d(vs circonférences orthogonales à la sphère >.. et

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cela pour trois raisons : t° « ce seraient les trajectoires des rayons lumineux ». — Cette première raison suppose que notre idée de la ligne droite a une origine toute physique et que cette origine est simplement le rayon lumineux. Uuoi de plus contestable'? Même sur notre terre, le lavon lumineux réfracté dans notre atmosphère est-il un(> ligne absolument droite? Et s'il ne l'est pas, cela nous empêche-t-il de concevoir la droite comme la ligne la plus simple, que deux points sutlisent à déterminer? 2" « En mesurant diverses courbes avec un mètre, ces êtres imaginaires recouiiaitraient que ces circonférences sont le plus court chemin dun point à un autre : en effet, leur mètre se contracterait ou se dilaterait quand on passerait d'une région à une autre, et ils ne se douteraient pas de cette circonstance. » — Ici encore, ce serait une pure illusion p/ii/sit^'K' sur le plus roKrf chemin pour la locomotion ; cette illusion serait causée par l'impossibilité de suivre un autre chemin et de distinguer l'arc de circonférence parcouru d'avec la ligne di'oite courue. :Mais nous ne voyons toujours |)as c (|ui empêcherait les habilants de concrmir la vraie droite, déternnnee tout entière par deux quelconques de ses points. Notre impossibilité d'aller matériellement de Marseille à Alger sans décrire une courbe ne nous euipêche pas de concevoir la droite dans res|)ace ri,le — Eiilin, T « si un coi'iis solid(> tournait de telle façon qu'une de ses lignes demeurât lixe, ...tte ligne ne pourrait être qu'un(> de ces circonterences. » — Sans doute, mais nous ne saisissons point comiiHMit ce fait physique altérerait la géométrie de ces êtres imaginaires. Pourtant M. 1 oin-