I. Cours, l

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De même que la considération de la géométrie analytique a suggéré à Descartes l'idée d'une « mathématique universelle », qui est à l'origine de sa méthode, de même on peut penser que la réflexion philosophique sur l'analyse transcendante a conduit Comte a l'idée de ces « lois encyclopédiques » , qui tiennent une place si importante dans sa théorie générale de la nature. Car ces lois encyclopédiques, analogues en ceci aux formules différentielles dont parle Comte, se vérifient également dans des ordres de phénomènes d'ailleurs irréductibles, et permettent de les concevoir comme convergents.

La géométrie est la première partie de la mathéma tique concrète. Sans doute, les faits que Ton y considère sont beaucoup plus liés entre eux que les faits étudiés par les autres sciences, ce qui permet de déduire très facilement certaius d'entre eux, les autres étant donnés. Mais il y a un certain nombre de phénomènes primitifs qui, n'étant établis par aucun raisonnement, ne peuvent être fondés que sur l'observation, et servent de base à toutes les déductions géométriques1. Cette part de l'observation, quoique très petite, est indispensable, parce qu'elle est initiale. Elle ne saurait jamais se réduire à rien.

Ainsi se trouvent écartées les discussions métaphysiques sur l'origine des définitions et de l'espace géométriques. Comte se range ici a l'opinion de

i Cours, I, 286-7.

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d'Alembert. « Les vrais principes des sciences, avait dit celui-ci, sont des faits simples et reconnus, qui n'en supposent point d'autres, et qu'on ne puisse par conséquent ni expliquer ni contester : en géométrie, les propriétés sensibles de l'étendue. Il est, sur la nature de l'étendue, des notions communes à tous les hommes, un point commun où toutes les sectes se réunissent comme malgré elles, des principes vulgaires et simples d'où elles partent toutes sans s'en apercevoir. Ce sont ces notions communes et primitives que le philosophe saisira pour en faire la base des vérités géomé triques 1 . »

L'étendue est une propriété des corps. Mais, au lieu de considérer l'étendue dans les corps eux-mêmes, nous la considérons dans un milieu indéfini qui nous parait contenir tous les corps de l'univers, et que nous appelons l'espace. Pensons, par exemple, à l'empreinte que laisserait un corps dans un fluide où il serait placé. Au point de vue géométrique, cette empreinte peut, sans inconvénient, être substituée au corps lui-même. Ainsi, par une abstraction très simple, nous dépouillons la matière de presque toutes ses propriétés sensibles, pour n'envisager en quelque sorte que son fantôme, selon le mot de d'Alembert. Dès lors, nous pouvons étudier, non seulement les formes géométriques réalisées dans la nature, mais toutes celles qui peuvent être imaginées. La géométrie prend un caractère « rationnel. »

Pareillement, c'est par une simple abstraction de l'esprit que la géométrie regarde les lignes comme sans

i. Eléments de philosophie, I. p. f 3a 3.

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largeur, et les surfaces comme sans profondeur. Il suffit de concevoir la dimension que l'on veut diminuer comme devenant graduellement de plus en plus petite, les deux autres restant les mêmes, jusqu'à ce qu'elle soit parvenue à un tel degré de ténuité qu'elle ne puisse plus fixer l'attention. C'est ainsi qu'on acquiert naturellement (d'idée réelle » de surface, puis de ligne, puis de point. Il n'est donc nul besoin de faire appel à l'a priori.

Ainsi constituée, la géométrie a pour objet la mesure <le l'étendue. Mais, cette mesure ne pouvant presque jamais se faire directement par superposition, la géométrie (( a pour but de réduire la comparaison de toutes les espèces d'étendues, volumes, surfaces ou lignes à de simples comparaisons de lignes droites, les seules regardées comme pouvant être effectuées immédiatement1. » L'objet de la géométrie est d'une extension indéfinie, carie nombre de formes différentes assujetties a des définitions exactes n'a pas de limites. En regardant les lignes courbes comme engendrées par le mouvement d'un point assujetti à une certaine loi, on peut concevoir autant de courbes que de lois. Et l'on peut concevoir encore plus de surfaces que de courbes. ;

Pour parcourir ce cbamp immense, dont il n'a que fort tard aperçu l'étendue, l'esprit humain peut suivre deux méthodes différentes. En effet, la géométrie parfaite serait celle qui démontrerait toutes les propriétés de toutes les formes imaginables. Or, cela peut être obtenu de deux façons. Ou bien on considérera successi-