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vement chacune des formes, le triangle, le cercle, la sphère, l'ellipse, etc., et on cherchera les propriétés de chacune. Ou bien on groupera ensemble les propriétés correspondantes des diverses formes géométriques, de façon à les étudier d'un seul coup, et à les connaître pour ainsi dire d'avance pour telle ou telle forme que l'on n'a pas encore examinée. « En un mot, dit Comte, l'ensemble de la géométrie peut être ordonné, ou par rapport aux corps étudiés, ou par rapport aux phénomènes à considérer. » Le premier plan est celui de la géométrie des anciens, ou géométrie spéciale ; le second, celui de la géométrie depuis Descartes, ou géométrie générale*.

A ses* débuts, la géométrie ne pouvait être que spéciale. Les anciens, par exemple, ont étudié le cercle, l'ellipse, la parabole, etc., s'efForçant, pour chaque forme géométrique, d'augmenter le nombre des propriétés connues. Mais, si cette marche avait du seule être suivie, le progrès de la géométrie n'aurait jamais été très rapide. La méthode inventée par Descartes a transformé cette science, en lui permettant de devenir générale, et d'abandonner l'étude individuelle des formes géométriques pour l'étude commune de leurs propriétés. Cette révolution n'est pas toujours bien comprise. Souvent, dans l'enseignement des mathématiques, on n'en fait pas assez sentir la portée. A la manière dont on la présente d'ordinaire, cette « admirable méthode » semblerait d'abord n'avoir d'autre but que de simplifier l'étude des sections coniques ou de quelques autres courbes, considérées toujours une à

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une, suivant l'esprit de la géométrie ancienne. Cela ne serait pas d'une haute importance. Le caractère distinctif de notre géométrie moderne consiste à étudier d'une manière générale les diverses questions relatives à des lignes ou à des surfaces quelconques, en transformant les considérations et les recherches géométriques en considérations et en recherches analytiques1.

Toutes les idées géométriques se rapportent nécessairement à ces trois catégories universelles : grandeur, forme, position. La grandeur est déjà du domaine de la quantité. La forme se ramène à la position, puisque toute forme peut être considérée comme le résultat de la marche d'un point, c'est-à-dire de ses positions successives. Le problème était donc de ramener les idées quelconques de situation à des idées de grandeur. Comment Descartes l'a-t-il résolu ? En généralisant un procédé que l'on peut dire naturel à l'esprit humain, puisqu'il naît spontanément sous la pression du besoin. En effet, s'il faut indiquer la situation d'un objet sans le montrer immédiatement, ne le rapportons-nous pas à d'autres qui soient connus, en assignant la grandeur des éléments géométriques par lesquels on le conçoit lié à ceux-ci? Ainsi font, de leur côté, les géographes pour déterminer la longitude et la latitude d'un lieu, les astronomes pour déterminer l'ascension droite et la déclinaison d'un astre. Ces coordonnées géographiques ou astronomiques remplissent le même office que les coordonnées cartésiennes. La seule différence, mais elle est capitale, consiste en ce que Descartes a porté cette méthode au plus haut degré de généralité

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abstraite, lui donnant ainsi son maximum de fécondité et de puissance.

Infiniment supérieure à la géométrie spéciale, la géométrie générale ne peut pas cependant en dispenser tout à fait. 11 faudra toujours commencer par la géométrie spéciale, comme avaient fait les anciens. En effet, la géométrie générale repose sur l'emploi du calcul. Mais, si la géométrie est vraiment, comme Comte l'a dit, une science de faits, ce n'est évidemment pas le calcul qui pourra jamais donner la première connaissance de ces faits. Pour constituer les bases d'une sciénce naturelle, jamais la simple analyse mathématique ne saurait suffire, non plus que pour en donner une nouvelle démonstration, lorsqu'elles ont été déjà fondées. Il faut, avant tout, une étude directe du sujet, poussée jusqu'à la découverte de relations précises. (( L'application de l'analyse mathématique ne peut jamais commencer une science quelconque, puisqu'elle ne saurait avoir lieu que lorsque la science a déjà été assez cultivée pour établir, relativement aux phénomènes considérés, quelques équations qui puissent servir de point de départ aux travaux analytiques1. » En un mot, la création de la géométrie analytique ne fait pas perdre à la géométrie son caractère de science naturelle. Devenue aussi purement rationnelle qu'il est possible, elle n'en garde pas moins sa racine dans l'expérience.

La seconde partie de la mathématique concrète, la