Aiiîiëe philosophique, 1868, p

zéros, dans ce cas pas de contradiction ; ou il s'agit de J'inassignable abstrait, absolu, et dire qu'un nombre est inassignable ou plus grand que tout nombre assignable, c'est dire qu'il est plus grand que tout nombre, que par conséquent il n'est pas un nombre et nous voilà revenus au nombre qui n'est pas un nombre. La moindre réflexion suffit à montrer ce qu'il y a de monstrueux dans la notion du nombre infini. Le nombre infini qu'on imagine appartiont-il à la série des nombres entiers : 1, 2, 3, 4? Si oui, il ne diil'ère du précédent, c'est-à-dire de celui qui vient immédiatement avant lui dans la série, que dune unité, et, par suite, il est fini comme lui. Sinon qu'est-ce qu'un nombre qui n'appartient pas à la série des nombres possibles. Ce nombre ne peut être ni pair, ni impair; il doit avoir un carré, un cube, par suite n'être pas leplus grand passible ou être égal à des nombres plus grands que Juimême. La contradiction se présente sous mille formes que les géomètres ont signalées depuis Galilée jusqu'à Gauchy^; à vrai dire elle résulte de la notion seule du nombre, tout nombre donné pouvant être augmenté d'une unité par le procédé même qui a servi à former les nombres antérieurs. Alléguer contre ces vérités que le principe de contradiction, en fait, est nié par la mesure du continu, par les grandeurs incommensurables, par les calculs de l'infini-

1. Renouvier propose commi! la plus simple la démonstration suivante de la conlradiclion du nombre infini : « Je dis que si toute la suite des nombres entiers était actuellement donnée, il y aurait deux nombres égaux dont l'un serait plus grand que l'autre, ce qui est une contradiction formelle interminis... Supposons cette suite donnée, nous pourrons former une autre suite toute et exclusivement composée des carrés de la première, car on peut toujours faire le carré d'un nombre. Ainsi par hypothèse, la seconde suite aura un nombre de termes égal au nombre des termes de la première. Or, la première contient tous les nombres tant carrés que non carl'és ; la seconde ne contient que des carrés ; la première a donc un nombre de termes plus grand que la seconde, puisque contenant tous les nombres elle contient tous les carrés, et (ju'elle contient en outre les nombres non carrés. Mais par hypothèse ou construction ces nombres de termes sont égaux ; donc il y a des nombres égaux dont l'un est plus grand que l'autre. Mais cette conséquence est absurde: donc il est absurde de supposer la série naturelle des nombres actuellement donnée. G. Q. F. D. » (Troisième Essai, t. I. p. 55).

SÉ.viLLES. — Renouvier. 4

ment petit ou de rinfiniment grand, ce serait montrer seulement qu'on n'entend pas le sens de la méthode et des symboles des géomètres. La philosophie des mathématiques de Renouvier est dominée par l'idée d'éviter tout ce qui pourrait ramener rafiirmation déguisée de l'infmi quantitatif actuel. Il rappelle sans cesse les mathématiciens à l'idée du nombre, à ce qu'elle suppose, il ne leur permet pas d'oublier le point de départ de leurs spéculations. La généralisation des procédés du calcul par l'algèbre et l'analyse ne doit pas faire illusion, il ne faut pas tomber dans une sorte de réalisme pythagoricien, supposer que les formules par elles-mêmes ont un sens, une valeur propre, qu'elles doivent nécessairement se retraduire en termes concrets dans le monde donné. 11 s'agit seulement d'un langage créé par l'esprit, de plus en plus étendu, généralisé, dont il ne faut pas oublier l'origine conventionnelle, dont toujours il faut ramener l'interprétation à la claire notion du nombre. « Les difficultés qu'on trouve dans la théorie des valeurs positives et négatives proviennent d'une habitude enracinée de considérer les relations une fois symbolisées comme des choses en soi qui signifient absolument quelque chose. Les géomètres s'attachent à l'étude des symboles mathématiques dans cette pensée avouée ou déguisée que la science y est contenue a priori y en vertu de quelque signification profonde tout autrement étendue que celle qu'il plut au calculateur de leur attribuer'. » Pris en eux-mêmes les nombres négatifs n'ont aucun sens, ils ne sont intelligibles que comme symboles conventionnels de certaines relations qui se rencontrent dans l'ordre des grandeurs continues. C'est par une illusion analogue à celle qui réalise les valeurs négatives qu'on parle d'un calcul des incommensurables. Pour mesurer la circonférence on suppose qu'elle est la limite du polygone régulier inscrit variable dont