Premier Essai, I, p

on multiplie indéfiniment les côtés. Mais jamais, en vertu des définitions, le polygone n'aura tous ses points à égale distance du centre, comme l'exige la définition de la circonférence. La limite dont on pai'le est une limite qui n'existe pas : le polygone reste une figure aux côtés rectilignes, la circonférence ne devient pas un polygone. Réaliser la limite reviendrait à définir la courbe un polygone d'un nombre infini de côtés infiniment petits: ce serait, en supposant l'infini, retomber dans les absurdités qu'il implique. On n'obtient pas en vertu des signes la mesure de ce qui par hypothèse n'est pas mesurable : ce n'est pas la circonférence, c'est une figure à elle substituée, c'est un polygone qui est mesuré ; mais si la mesure exacte est impossible, répugne à la nature du nombre, l'erreur est assignable, nulle en ce sens, puisque le géomètre a toujours pu envisager une différence moindre que celle qu'on objecte, si petite que soit celle-ci.

Il en est du calcul infinitésimal, comme des valeurs négatives, imaginaires, comme du passage à la limite, il dépend de l'esprit et des conventions qu'il fait avec luimême ; « génération du continu par un discret conçu ml Iioc », il est un ensemble de signes, de symboles, il ne nous fait pas atteindre les derniers éléments des choses, il ne met pas l'infini dans le nombre. Leibniz ne s'y est pas trompé : « Les mathématiciens, dit-il, n'ont pas besoin du tout des discussions métaphysiques. Je reconnais que le temps, l'étendue, le mouvement et le continu en général, de la manière dont on les prend en mathématiques, ne sont que des choses idéales, c'est-à-dire qui expriment des possibilités, tout comme font les nombres. Je n'admets pas plus de grandeurs infiniment petites que d'infiniment grandes. Je tiens les unes et les autres pour des manières abrégées de parler dans l'intérêt des fictions de l'esprit qui servent au calcul... On s'embarrasse dans les séries des nombres qui vont à l'infini. On conçoit un dernier terme, un nombre infini ou infiniment petit, mais

tout cela ce sont des fictions. Tout nombre est fini et assignable, toute ligne l'est de même, et les infinis ou infiniment petits n'y signifient que des grandeurs qu'on peut prendre aussi grandes ou aussi petites pour montrer qu'une erreur est moindre que celle qu'on a assignée, c'est-à-dire qu'il n'y a aucune erreur. [Thêodicée^ § 70.) » Dans le calcul infinitésimal, comme dans la méthode des limites appliquée à la géométrie élémentaire, l'erreur étant plus petite que tout nombre assignable, si petit qu'il soit, le raisonnement mathématique, quoique se fondant sur des symboles, est rigoureux ; Tapproximalion indéfinie équivaut à la certitude. Mais Renouvier maintient que les symboles sont des symboles, il ne veut pas qu'on prenne desimpies conventions pour des essences absolues, qu'on réalise le langage mathématique, qu'on en vienne à admettre des quantités qui ne sont pas des nombres, des rapports incommensurables, c'est-à-dire des rapports de termes qui sont sans rapport, un infini numérique qui contredit l'idée même du nombre.

Renouvier obéit aux mêmes préoccupations quand il condamne la géométrie non euclidienne, selon laquelle notre espace à trois dimensions n'est qu'une espèce, un cas particulier d'un espace plus général qu'on peut concevoir à n dimensions. « L'algèbre suppose la géométrie et n'est pas chargée d'en faire une,... c'est par une sorte de foi mystique aux formules de l'analyse qu on leur prête la vertu d'engendrer différentes géométries à choisir et a priori possibles ». Un seul et même principe domine toutes ces considérations, c'est que la mathématique est un langage conventionnel, dont il ne faut pas oublier l'origine, dont il ne faut pas transformer les symboles en formules magiques, auxquelles nécessairement doit répondre quelque chose de donné et qui développées, révéleraient le mystère de la réalité ^

\. M. Renouvier est revenu à maintes reprises sur la pliilosopiiic des

LA LOI DU NOMBRE ET SES CONSÉQUENCES o3

Mais s'il y a contradiction à supposer un infini numérique donné comme tel, un nombre sans nombre, cette vérité mathématique est-elle une vérité de logique universelle dont les lois mômes de la pensée imposent la reconnaissance dans tout ordre de spéculations? Faut-il considérer cette exigence de notre entendement comme dominant la réalité, qui ne peut être que finie, parce que nous ne pouvons concevoir et comprendre que le fini? Leibnitz si ferme, si précis, quand il parle de linfini mathématique, n'admet pas moins un sujet matériel divisible à l'infini, tout au moins composé d'une infinité actuelle d'éléments, sous ce prétexte que l'agrégat infini n'est ni un tout, ni une grandeur, ni un nombre. « Il y a une infinité de créatures dans la moindre parcelle de la matière, à cause de la division actuelle du coiitimmm à linfini. Et linlini, c'est-à-dire l'amas d'un nombre infini de substances, les monades à proprement parler, n'est pas un tout [Théodicée § 195)... J'accorde une multitude infinie, mais cette multitude ne fait pas un nombre ou unité de totalité {umtm totum). Elle signifie seulement qu'il existe plus de termes qu'il n'en pourrait être désigné. C'est ainsi qu'une multitude est donnée, enveloppant tous les nombres [complcjcus omnium numerorimi) ; mais cette multitude n'est ni nombre, ni unité de totalité. » Bref, Leibniz, pour garder l'infini, l'élève au-dessus de la quantité, il refuse d'appliquer la loi du nombre; il ne dit pas: les astres réunis forment un nombre sans nombre, il dit : ils sont à la lettre innombrables, ils ne forment pas un nombre. Renouvier n'accepte pas cette fin de non-recevoir. « Quoi ! tous les astres existants sont réunis, ils composent une somme et un tout, car être réuni, c'est cela même, et cette somme, ce tout ne correspondent à rien de numériquement déterminé en soi ! C'est donc une somme qui

mathématiques : Premier Essai, t. I, p. 256-290, p. 357-448. Critique philosophique, I87G, t. If, p. Go, 1877, t. 1, p. 26, 100, 135. Année philosophique, 1891. La philosophie delà rèrjle et du compas.

n'est pas sommable, un tout qui no peut être totalisé ' » Pour échapper à la contradiction, il faut aller plus loin. dire que les astres existants pris en eux-mêmes, indépendamment de notre capacité dénumération, ne sont pas une somme donnée, un tout donné, ils ne sont pas même des éléments, des parties, car l'existence des parties implique l'existence du tout. Nous arrivons à ceci : ih so/tt là et ne forment pas un ensemble réel, ils sont comme individus et non comme tout, ils sont comme multiplicité et cependant comme multiplicité ils ne sont pas donnés, ils ne sont pas. 11 est impossible de nier plus radicalement une condition fondamentale de l'exercice de la pensée : « la contradiction n'est plus dans les termes, elle est dans la nature des choses à laquelle nous sommes contraints, et par la sensibilité et par l'entendement et par le langage même, d'appliquer la catégorie du nombre et qui, prétendons-nous, répugne à cette même application qui seule nous la fait comprendre". »

Pour échapper à ces difficultés pressantes, il reste de dire avec Hegel que le principe de contradiction ne s'applique qu'à nos concepts relatifs, que les idéesréelles, synthèses de termes contradictoires, lui échappent, ou encore d'opposer l'entendement qui ne comprend que ce qu'il finit et définit à la raison qui ne trouve de repos que dans l'infini et l'absolu. Mais placer ainsi l'intelligible en dehors et au delà des lois de l'entendement, n'est-ce pas l'identifier à l'inintelligible ? Dès lors où s'arrêter, oii poser la limite qui sépare l'arbitraire du vrai? De quel droit rejeter les affirmations étranges des théologiens? « L'ubiquité, la trinité, la consubstantialité, l'union des natures et tous les mystères et miracles possibles ont aussi leurs raisons... en dehors de la raison^ » Il n'y a qu'une méthode sûre, c'est de ne pas chercher l'intelligible en dehors de l'intelligence,

i. Critique philosophique, 1873, H, p. :24G. 1873, n» 4:^.