V. la théorie des comètes dans le L

Bloch. i'>>

290 LA 1>HIL0S0PJIIK DK NKWTON

orbites. Il adincllail que rollipse délcmiinée par un Urs grand nombre de positions réelles est identique h 1 ellipse véritable. Mais déjà les astronomes anglais avaient simplifié son calcul et cherché à construire l'orbite en partant du moindre nombre d'observations. Ils avaient constaté cpi'en notant la position et la vitesse d'une planète à un instant donné, on a tous les éléments nécessaires à la détermination du mouvement ultérieur. 11 fallait donc, pour que la solution «le Newton fiU complète, qu'elle put se déterminer «l'une manière univoque h l'aide des positions et des vilesses initiales. Il fallait en d'autres termes que les solutions périodiques du problème des forces centripètes, qui sont susceptibles de représenter suivant les cas une conique quelconque, ne pussent j)lus, si l'on se donne les conditions initiales, représenter qu'une seule ellipse identique à l'ellipse réelle.

On voit (pie nous soulevons de la sorte le problème de la détermination unique d'un mouvement par les conditions initiales. Est-il certain (|u-en fixant arbitrairement une position et la vitesse correspondante du mobile on puisse construire sa trajectoire, et cela dune façon univoque ? Sommes-nous sûrs que la forme de courbe trouvée est identique à la trajectoire réelle, ou peut-il y avoir d autres courbes que notre calcul ait laissé é(diapper?

Newton ne semble pas s'être préoccupé beaucoup de cette question de principe. Après avoir trouvé que le mouvement elliptique, quels qu'en soient les caractères cinématiqucs, suppose toujours une force inversement proportionnelle au carré de la distance, il admettait, sous la seule réserve d'une vérification pratique, qu'on pouvait choisir l'ellipse de façon à ridentilier avec une ellipse donnée. On peut démontrer en effet qu'une ellipse est déterminée entièrement par un foyer, un point et la tangente en ce point, si Ton connaît en outre deux diamètres conjugués. Or, lorsqu'on se donne la j)Osition et la vitesse initiale du mobile, on se donne justement tous ces éléments. Il existe donc une ellipse et une seide satisfaisant aux conditions réelles, et il n'y a pas en dehors d Clle d'autre trajectoin* possible.

Le raisoimement de Newton sur ce j)oint est au fond un appel au bon sens. Le bon sens nous enseigne (|u'un mouvement

réel ne peut évoluer que d'une seule manière ; si nous fixons les conditions dans lesquelles il commence, toutes les particularités ultérieures peuvent s'en déduire. Il serait absurde qu'un mouvement réel fut jamais ambigu, ou put se développer en deux sens différents. Si donc nous trouvons d'une manière ou d'une autre une trajectoire qui satisfasse à certaines conditions concrètes, nous sommes sûrs qu'elle est la trajectoire réelle. En d'autres termes les équations du mouvement sont susceptibles d'une solution et d'une seule parce que le mouvement est de sa nature susceptible d'une réalisation et d une seule. Ce que le bon sens prévoit vaguement, le calcul le confirme avec exactitude. Il est toujours possible de disposer de l'arbitraire qu'introduisent les solutions de la mécanique de façon à les adapter justement à telles conditions concrètes que l'on veut.

Newton pensait qu'un problème mécanique est rigoureusement déterminé de sa nature, comme le phénomène qui lui correspond. C'est en s'appuyant implicitement sur ce principe qu'il résout le problème inverse du mouvement Képlérien'. Une pareille solution pourrait sembler aujourd'hui incomplète et sans rigueur. Nous demandons qu'indépendamment de toute idée concrète on démontre, au point de vue du calcul, lejoistence des trajectoires répondaiit à des conditions données et la noîi-existence de solutions multiples. Newton ne pouvait se préoccuper de semblables (|uestions. Pour lui les mathématiques ont leur point de départ dans des observations physiques, et, si l'usage que nous en faisons est lidèle aux premières conventions, il est impossible que nous déduisions du calcul des conséquences incompatibles avec les faits. C'est ce qui se présenterait, si le problème de l'attraction, une fois résolu dans le cas général, ne pouvait s'adapter aux cas particuliers. L'existence des solutions en mécanicjue, et l'existence de solu-

1. Cf. Principe*, L. I, S. 3, Prop. XllI, p. 71. « Si un corps quelconque aUirê continuellement vers un centre par une force réciproquement proportionnelle au carré des distances part d'un lieu 1» suivant une droite quelconque PR et avec une vitesse quelconque, le corps se mouvra dans une section conique qui aura pour l'un de ses foyers le centre dt^s forces, et réciproquement, car le foyer, le point de contact et la position de la tangente; étant donnés, on peut décrire la section conique qui aura à ce point une courbure donnée, et deux orbites qui se touchenl et qui soîit décrites avec la même vitesse et la même force centripète ne sauraient différer entre elles » .

292 LA IMlILOSOPUrE DE NEWTON

lions uniques, est pour Newton un axiome physique et non un théorème qu'il y ait lieu d'établir.

Les considérations qu'on vient de faire valoir donnent la solution complète du problème suivant : trouver le mouvement de deux points matériels qui s'attirent en raison inverse du carré des distances. Mais c'est là un problème fictif qu'on ne doit pas identifier d'une manière hâtive avec le problème astronomique. Le cas pratique de l'astronomie n'est pas celui de points matériels, c'est-à-dire de volumes infiniment petits eissimilables sans erreur à des points. Le monde solaire comporte des masses énormes, dont les plus éloignées ont une parallaxe sensible, et dont les plus rapprochées j>euvent prendre des dimensions apparentes considérables. Il n'est nullement évident à priori que les axiomes démontrés valables dans le cas des points matériels restent rigoureusement vrais dans un cas tellement différent. Les observations que nous avons eu lieu de faire sur le mouvement de corps très petits situés à la surface de la terre, observations dont nous avons tiré la loi de l'inertie, la loi de l'égalité de l'action et de la réaction, et la loi de l'indépendance des effets de forces, ne peuvent s'étendre sans justification préalable au domaine tout nouveau des masses planétaires. Comme ce sont justement ces lois qui sont à la base de la théorie donnée par Newton du mouvement Keplérien, il est nécessaire, si l'on veut que cette théorie soit au moins une première aj)proximation, que les principes fondamentaux de la mécanique soient à peu près vérifiés dans le système solaire.

Ceci peut se prouver, soit directement, par des observations aidé(vs de l'analogie, soit indirectement par la comparaison des faits avec les conséquences déduites des j)rincipes. Mais de toutes façons il (\st indispensable d'établir (pie le cas céleste est bien un cas mécanicpie si l'on veut faire du système de lattraction autre chose qu'une belle hypothèse. C'est un des traits de l'esprit positif de ne pas faire «le généralisations hâtives. Quand nous transportons un mode de calcul d'un domaine à un autre, il convient d'examiner si les conditions d'application de ce calcul subsistent. C'est une précaution que Newton prend toujours, et dans le cas présent il s'efforce de prouver que des proj)Ositions comme le j)rincipe d'inertie, le

LA GRAVITATION UNIVEHSKLLK KT LA MKCANIQUL CKLKSTK il»3

thoorème du centre de ^n*avité, la loi <lo l'additivilé des forées se vérifient avec la ménic précision (jue dans la mécanique terrestre. Disons tout de suite que le succès des généralisations de Xewton tient aux conditions toutes spéciales où se trouve placée la mécanique céleste. Elle étudie les corps qui se rapprochent le plus du corps solide idéal, elle a affaire à un milieu à peu près dénué do résistance, et le cas des forces centrales est un «le ceux où la loi d'ad<litivité est tout de suite démontrable. Si au lieu d'aborder la mécanique céleste, la science positive se fut attaquée d'abord aux phénomènes élastiques, magnétiques, thermodynami(|ues, il est à craindre (ju'on eût longtemps méconnu la généralité des axiomes de Newton.

Newton étend aux mouvements planétaires successivement le théorème du centre de gravité, le principe d'inertie et la loi d'additivité des forces.

Si nous nous reportons à l'Hypothèse première du L. IIP, nous voyons que Newton admet comme une donnée de bon sens l'immobilité du centre du monde. « Le centre du système du monde est en repos : c'est ce dont on convient généralement ; les uns seulement prétendent que la terre est ce centre, et d'autres que c'est le soleil. » Bien que Newton énonce cette proposition comme une simple hypothèse, on a le droit d'être surpris de le voir faire des hypothèses de ce genre. Il semble que le « système du monde » soit une ancienne idée métaphysique, ridée de la totalité des phénomènes situés dans l'espace absolu. En parlant du centre d'un tel système (et il faut entendre par là son centre de gravité) Newton dépasserait de beaucoup le domaine positif où il a coutume de se tenir. En réalité le « centre du monde », signilie pour Newton le « centre du système solaire ». Ce point est le seul qu'il nous importe de connaître, il est le seul qui intervienne en Astronomie. Il est possible de démontrer géométriquement ^ le théorème du centre de gravité pour le système solaire. Il est possible aussi d'en donner une démonstration empirique, comme celle qui est dissimulée au début du troisième livre, dans un corollaire où on ne l'attendrait pas*. Voici sur ce point le raisonnement de