I. Prmcipes, L. III, Lcmme VI, p. \±2 s<i(j

:*. Principes , ibid. « Si les difftTences des longitudes observées sont petites, comme 4« ou j» souloment, il suffira de trois ou quatre observations pour trouver la laliludo et la huigitude nouvelles. Si les diirêrences sont plus grandes cornm»' dj' 10" (m 20^ il faudra employer cinq observaUons ».

LA GRAVITATION UNIVKRSELLK KT LA Ml'CANIQUE CKLESTE 307

branche d'hyperbolo m un point où la courbe est presque rectiligne.

D'ailleurs il ne faudrait pas croire que la forme des courbes soit essentiellement ce que rinU.Tpolation doit nous faire connaître. Les constructions graphiques sont trop peu précises pour autoriser des inductions étendues. Ainsi Newton attache peu de valeur aux graphiques qu'il avait employés liii-mémo pour fixer la trajectoire de la com^te de Halley *. Les calculs arithmétiques de llalley ont déterminé cette orbite beaucoup plus exactement. C'est qu'au point de vue de la précision, il importo avant tout d'avoir une expression numérique de l'erreur commise. 11 peut sembler h l'œil que le tracé d'une courbe coïncide avec l'ensemble des observations, alors que des tableaux numériques mettent au jour des erreurs systématiques. Voilà pourquoi, si Ton veut employer l'interpolation à l'effet de déterminer les trajectoires, il faut que celte interpolation soit non seulement graphique, mais analytique. C'est la comparaison des nombres les uns avec les autres qui fera voir si les erreurs ne dépassent pas la limite permise.

L'interpolation s'accompagne toujours chez Newton d'un procédé de contrôle, qui est l'extrapolation. Admettons qu'à l'aide de tableaux numériques, nous soyons arrivés à trouver les éléments de l'orbite dans le voisinage d'une certaine région. Si nous avons observé des points dont la distance angulaire ne dépasse pas 5 degrés, il peut se faire que nous possédions les éléments d'une ellipse qui, sur un arc de o degrés, soit identique à l'ellipse réelle. S'ensuit-il qu'elle réponde définitivement au problème, et qu'il suffise d'en transporter les éléments dans les formules du mouvement képlérien pour avoir l'équation de la trajectoire véritable ? Cela est si peu vrai qu'une courbe de ce genre peut se trouver sans valeur à un moment donné. Il suffit que l'astre en suivant son orbite quitte la région où l'interpolation est valable pour que des anomalies puissent se faire jour. A une distance de dix à vingt degrés l'ellipse particulière dont nous sommes partis pourra se trouver beaucoup moins exacte qu'une infinité d'autres rejetées au début. 11 ne restera plus qu'à la rejeter à son tour ou à la cor-

i. V. Principes y L. II L Prop. XLl.

308 LA PHILOSOPHIE DK NKWTON

riger en sacrifiant un peu de son exactitude première pour accroître son utilité ultérieure.

Le choix de la trajectoire la plus vraisemblable est une question qui dépend dans une large mesure de l'étendue de nos observations. Si les observations sont très nombreuses, cl porlent sur une région assez grande, l'interpolation fournit des trajectoires qui sont généralement correctes. Mais si, comme cela arrive le plus souvent, nous n'avons observé qu'une portion restreinte de la courbe, il faut toujours chercher dans des calculs d'extrapolation le moyen de prévoir les positions ultérieures de l'astre. On ne devra accepter la courbe proposée que si l'accord est satisfaisant entre nos prévisions et l'expérience. C'est ce que fait Newton à propos de la comète de Halley. 11 calcule en partant d'une orbite donnée les époques où cette comète a dû être visible, et il montre que quatre fois elle a dû apparaître dans le ciel d'Europe à 575 ans d'intervalle. Or les récits des anciens montrent que des comètes ont été observées aux dates prescrites, et il y a là une confirmation sérieuse des hypothèses admises par Newton. Les différentes comètes que rhistoire a enregistrées ne sont qu'un seul et mémo astre se déplaçant d'un mouvement périodique sur une ellipse très allongée. L'extrapolation h laquelle Newton s'est livré est d'autant plus probante qu'elle est plus étendue. On peut dire d'une manière générale que plus on s'éloigne dans le temps ou dans l'espace des positions obtenues^ plus les chances d'erreur s'accroissent. La confirmation de la théorie est donc d'autant plus complète qu'elle porte sur des observations plus lointaines ou sur des aires plus étendues ^

En se servant de l'interpolation et de l'extrapolation pour mettre les formules de la mécanique céleste d'accord avec les faits. Newton introduisait un élément empirique dans une science en apparence rationnelle. L'emploi du calcul ne se suffit pas à lui-môme. Môme en comjdétant l'Algèbre par les méthodes infinitésimales, il n'est pas possible de construire d'une façon déductive le mécanisme complet de l'univers. Des-

1. Cf. Prbicipes, L. IIL Prop. XLI. A propos de la comète de Halley: « Celte comète parcourut neuf signes, depuis le dernier degré du Lion jusqu'au commencement des Gémeaux, il n'y a aucune autre théorie qui donne aux comètes un mouvement régulier dans une si grande partie du ciel ».

cartes avait pensé, comme on sait, créer un monde de tous points semblable au nôtre sur le seul fondement des lois mécaniques tirées de la métaphysique. Newton croit au contraire que la science du calcul ne peut fournir que des symboles commodes, et que lapplication de ces symboles aux faits exige toujours des données d'expérience.

La correspondance qui existe entre le monde mécanique et notre science mathématique, correspondance que Descartes considérait comme absolue et illimitée, n'a lieu pour Newton que d'une façon relative. Les matliématiques ne sont pas une mélhode, elles ne sont qu'un langage ; et leur utilité ne consiste pas tant à fournir des enchaînements d'idées qu'une représentation commode des faits. Voilà pourquoi la mécanique céleste, dont la supériorité par rapport à l'astronomie ancienne consiste dans un usage plus complet du calcul, ne peut néanmoins se constituer exclusivement au moyen du calcul.

D'abord, malgré les découvertes de Newton, les méthodes mathématiques ne sont pas assez parfaites pour permettre de résoudre d'une manière rigoureuse des problèmes même fort simples comme celui des trois corps. Pour que les équations deviennent à peu près maniables nous devons négliger « les fractions insensibles, qui rendraient le calcul trop enibarrassant* ». Ensuite il est possible que les solutions de calcul, tout en étant satisfaisantes entre certaines limites, deviennent absurdes si on les prend à la rigueur. C'est ainsi qu'il faut calculer les trajectoires do plusieurs comètes en les supposant paraboliques, bien que l'existence de branches infinies soit manifestement incompatible avec la périodicité du mouvement. Mais lorsque les orbites des planètes sont très excentriques, la représentation que la parabole peut fournir au voisinage du périhélie est plus simple et aussi exacte que les formules elliptiques =*.. Gela suffît pour que cette représentation soit pratiquement légitime. 11 peut môme arriver qu'une branche d'hyperbole soit la trajectoire la plus probable^, bien que le