l'rincipes, L. I, Section 1, Lemme XI, Schoiie, p

« Je (Jcmoiiticr.'ii par c-eUo métliode tout ce qu'on démontre par celle des iiulivisiljles. Mais en ayant prouvé le principe, je m'en servirai avec plus de sécurité. »

2. neniarquons (pie Newton sui)stilue par là l'idée des variables tendant vers zéro à celle de (luantités petites, mais conslaiiles. . Lorscpie je me servirai dans la siiile pour élre plus clair des mots de (piaiitilés évanouissantes, de (pianliles dernières, de (pianlités très petites, il ne faut pas entendre par ces e.xpressions des tpiantilés d'une f,'randeur déterminée, mais toujours des (luantités (pu diniinuenl à linlini. »

Hi.oi:ii. /!

cnscip'ne par quelle voie le calcul doit procéder. L'analog-ic de la vitesse nous permet de donner une signification immédiate à tout rapport d'infiniment petits, quelle quen soit l'origine. 11 suffit de considérer les deux termes du rapport comme les analogues dun espace et d'un temps liés par une loi de mouvement convenable, et au lieu de les envisager chacun comme actuellement « indivisibles » de se borner à mesurer leur quotient, dont la limite est accessible. « Ainsi, nous dit expressément Newton, ce que je dirai des raisons doit toujours sentendre non des quotients déterminés, mais des limites des raisons des particules évanouissantes^ ».

D'où savez-vous que ces limites existent, diront les adversaires des indivisibles? Votre calcul donne bien le moyen d'évaluer approximativement de pareilles limites. Encore faudrait-il démontrer que les rapports dont elles dérivent ne sont pas des formes indéterminées, des symboles aussi dépourvus de sens que les termes dont ils se composent. A cela Newton répond non par le calcul, mais par le fait. S'il est théoriquement possible que le rapport de deux quantités très petites ne tende vers aucune limite -, du moins, dans la plupart des cas, les nombres dont on se sert,'représentant une réalité donnée, doivent imiter par leurs variations les changements de cette réalité. Même s'il ne s'agit pas d'un problème de cinématique proprement dite, où la vitesse d'un mobile est en jeu, nous pourrons toujours imaginer que nous mesurons la vitesse de « quelque chose », et cela sutfiL pour qu'un rapport se rapprochant indéfiniment de cette vitesse possède une limite. C'est le sentiment du mouvement continu qui est à la base de l'argument de Newton. Mathématiquement, il serait juste de dire que l'existence des dernières raisons, ou comme on dit aujourd'hui des dérivées, a besoin d'être établie en rigueur. Physiquement, leur existence est tout à fait intuitive. Comme l'homme de bon sens répond au sophiste, qui nie la possibilité du mouvement, par le geste et non par la parole, Newton justifie l'emploi des dernières raisons, non par une déduction a priori, mais par un appel à l'expérience.

\. l'rincipes, L. I, Section 1, p. 47.

2. C'est le cas où la dérivc'C (riiiu' foiutiuii est infini' ou imlctcrminûe.

LA i'ORTEE DU CALCUL DKS FLUXIONS 83

Il reste pourtant une dernicii.' objection à cette manière de voir. « Les quantités qui s'évanouissent, dira-t-on, n'ont point de dernière |)roportion entre elles, parce qu'avant de s'évanouir la proportion qu'elles ont enlre elles nest pas la dernière, et que lorsqu'elles sont évanouies, elles n'en ont plus aucune ^ » Une pareille objection peut aisément se réfuter. Même au point de vue purement mathématique, elle doit être fléclarée sans valeur. Klle vient de ce qu'on assimile à tort la limite (V\i\) (juotient et le quotient des limites-. Mais Newton préfère y répondre d'un seul mot, en se reporlant à 1 analogie de la dérivée et de la vitesse. « On j)()urrait soutenir par le même raisonnement qu'un corps qui parvient d'un mouvement uniformément retardé à un certain lieu où son mouvement s'éteint, n'a point de dernière vitesse ; car avant que le corps ne soit parvenu à ce lieu, il n'a pas encore sa dernière vitesse, et quand il la atteint il n'en a aucune puisque son mouvement est éteint, w Or il est clair qu'un mobile arrivant au bout de sa course dans les conditions indiquées y parvient nécessairement avec une vitesse nulle, de même cpfun mobile lancé avec plus de force passerait en ce point avec une vitesse rigoureusement déterminée. La nature réalise constamment les limites dont se servent les géomètres, et qui pour eux ne sont jamais actuellement atteintes. Or il suffit que ces limites soient bien déterminées pour qu'on puisse les soumeltre au calcul, l'onr Newton c'est une loi naturelle ■' que de telles limites sont