Principes, L. 1, Secl. 1. Lemnic IX, Scholie

'2. Ibid.

« On doit entendre par la dernière vitesse d'un corps, celle avec laquelle il se ment non pas avant d'avoir atteint le lieu où son niouvement cesse, non i)as ajjrès (luil a atteint ce lieu, mais celle qu'il a dans linstanl niùnie (|uil atteint ce dernier lieu et avec laquelle son mouvement cesse. Il en est de mi'-me pour la dernière raison des (|uaniili'.s évanouissanles. Il faut entendre [tar cette rai.-^on celle (pi'onl entre elles les tiuanlilés qui diminuent, non pas avant de s'évanouir ni après qu'elles sont évanoines, mais celle fju'elles ont dans le moment même (pTelIcs s'évanouissent ».

\!A plus l(nn : < ... Car les dernières raisons (pi'ont enlre elles les quantités qui s'évanouissent ne sont jias en effet les raisons des dernières fpianlités, ou de (puintités déterminées et indivisibles ».

;j. ihui.

« 11 y a une (l'rlaiiie boriii' que la \iles-se d'un coips |ieiit atteimlre à la fin dr son mouvrmcnl. et (pi'elle n.* saurait pa.^seï' : c'est cette vitesse ipd est la d'-rnière vitesse du cor|is. Il en est de même des linutes et des proi)ortions de toutes les grandeurs ([ui commenct ni et cessent ».

toujours « certaines et définies », et cela suffît pour que ce soit un problème « très géométrique » d'en déterminer la valeur effective. On ne pourrait ici surprendre les mathématiques en défaut que si elles tentaient de faire la mesure d'une grandeur illusoire, soit parce qu'elle est variable, soit parce qu'elle est infinie. Mais le calcul infinitésimal n'aborde que des mesuresdéterminées. S'il se sert d'infiniment petits, c'est toujours à titre auxiliaire et pour les rejeter une fois le calcul fini. Le& rapports de ces infiniment petits sont des grandeurs non conventionnelles, mais concrètes, analogues à celles que suggère l'interprétation des mouvements réels. L'on ne peut en critiquer l'emploi sans rendre la mécanique impossible.

Dans l'Introduction au Traité de la quadrature des courbes, mieux encore que dans les Principes, Newton s'explique sur la nécessité d'introduire le temps, la vitesse et le mouvement dans le calcul infinitésimal. Si nous considérons une grandeur géométrique, par exemple l'aire d'une courbe, non comme un tout donné, mais comme la somme progressivement croissante d'éléments infiniment petits, nous pourrons cherchera la comparer à une aire analogue, engendrée elle aussi par déplacement de l'ordonnée parallèlement à elle-même. Les deux aires commencent par être égales, puisqu'elles sont nulles toutes deux. Comment comprendre qu'elles finissent par différer d'une quantité finie, alors que les accroissements successifs sont toujours infiniment petits ?

C'est que la grandeur relative des courbes dépend non seulement des éléments qui s'ajoutent, mais de la vitesse avec laquelle ils s'ajoutent. La génération des figures par le mouvement, qui seule donne de ces figures une idée complète, peut seule aussi en suggérer la mesure, comme les anciens l'avaient fort bien compris. Pour eux, la mesure des rectangles suppose le déplacement d'une ordonnée invariable le long d'une base donnée ^ La quadrature dune aire quelconque, ou plus généralement la solution d'un problème touchant le continu, doit nécessairement suivre le même principe. Les quantités variables ne doivent pas être considérées comme un assemblage