Mél/i. Fliu-. p

" Eo tantum lendit prohlenia, ut detennincntiircontcmporanea' |)arles aut differenliic absolutarum qiiantitalum u,x, ^ aut s, dcscripla" data Fluendi ratior>e. Niliil aulcm intcrest cujusnam absolul;e magnitudinis sint li;e quanlitates, dummodo carum conlcm|)oranca' vt-l corrcspomlcntcs differenlia' conveniant rum proposita flu.xionum rationc ».

Newton a l'idée très exacte que les formules tirées de sa méthode, étant calquées sur les problèmes mécaniques, ne peuvent donner qu'une détermination relative. Elles impliquent une certaine part d'arbitraire, que les conditions initiales peuvent seules lever. Le calcul infinitésimal renseigne bien sur la correspondance de grandeurs variant ensemble (conlemporaneœ), mais le point de départ de cette correspondance doit être un couple de valeurs données par une mesure absolue. Ce qu'on peut demander à la méthode nouvelle est donc différent de ce que donne l'algèbre. Celle-ci fournit toujours l'expression complète d'une grandeur en fonction d'une autre, elle permet de tirer d'une relation implicite un nombre déterminé. Au contraire l'analyse infinitésimale ne permet de tirer d'une relation qu'une autre relation. Substituant aux relations infinitésimales des relations en termes finis, elle introduit une part d'arbitraire que les problèmes réels ne comportent pas. Comme un problème de mécanique céleste reste-le même lorsqu'on le déplace dans l'espace et dans le temps, une équation différentielle demeure satisfaite pour tout un ensemble de solutions. Ces deux espèces d'indétermination sont aux yeux de Newton solidaires l'une de l'autre. Le calcul infinitésimal et la dynamique proprement dite sont tous deux et pour la même raison des sciences rigoureuses, mais relatives.

Reste-t-il possible alors que la méthode de Newton, comme il arrive pour la méthode cartésienne ou la méthode de Leibniz, constitue aux yeux de son auteur un instrument parfait, universel; dont il reste à faciliter l'emploi, mais dont on ne saurait songer à étendre la portée ? Est-elle la réponse unique, définitive à toutes les questions d'ordre mathématique, ou peuton concevoir à côté d'elle d'autres procédés de calcul , valables dans certains domaines, et que l'analyse infinitésimale domine sans les détrôner ?

On sait que Descartes, bien qu'il se soit borné aux quantités finies, attribuait à son algèbre une portée absolue. Pour lui la géométrie des anciens, de même que l'algèbre des modernes, devenaient désormais sans emploi. Tous les problèmes devaient se résoudre de la manière la plus commode et la plus simple par sa méthode de constructions fondée sur la classification des courbes. Descartes croyait en effet qu'il n'était pas de ques-

LA PORTEE DU CALCUL DES FLUXIONS 9a

tion, si composée soit-elle, que l'emploi de l'énumération nepermît de ramènera un système d'équations, soit algébriques^ soit transcendantes. Il pouvait donc dire dans son Discours de la Méthode qu'il connaissait le moyen de s'élever c à toutes les vérités que l'esprit humain saurait trouvera » Non seulement il était venu h bout de quelques questions qu'il avait jugées autrefois fort difficiles, mais il lui semblait aussi vera la tin qu'il pouvait déterminer, en celles même qu'il ignorait, par quels moyens et jusqu'où il était capable de les résoudre, On comprend alors qu'il ait négligé de chercher dans la géométrie classique ou dans la théorie des indivisibles la solution d'aucune difticuUé. Il ne prévoyait la possi!)ilité d'aucun problème où son algèbre pût être mise en défaut.

Leibniz, mieux instruit que Descartes de la géométrie infinitésimale, ne pouvait s'en tenir à l'algèbre comme méthode unique. Mais aussi métaphysicien que Descartes et aussi dési-rcu.\ de construire un système scientifique définitif, Leibniz fait de son propre calcul, c'est-à-dire de la méthode différentielle^ l'instrument unique de l'esprit. Tout ce que Descartes pensait résoudre par l'emploi de l'algèbre ordinaire, Leibniz déclare le résoudre par l'algèbre infinitésimale. Déjà sa Caractéristique Universelle nous a fait voir qu'il croyait posséder un algorithme général et parfait. La méthode des différentielles, qui se rattache par plus d'un point à son idée des Caractéristiques, se présente aussi comme répondant sans laule à toutes les questions que la nature peut poser. Fondée sur un principe de la raison, à la fois universel et nécessaire, cette méthode ne peut avoir de limite que celle résultant de la confusion denos idées. La continuité de la nature- qui se vérifie en toutes choses, fait qu'on peut appliquer partout le calcul des gran-^ deurs continues. Et comme le principe de continuité se suffit à lui-n)ème, comme le nombre des principes ne doit j)as être accru inutilement, et que rien ne laisse prévoir un temps ou d'autres règles mathématiques deviendront nécessaires, il est.

1 IhAc. de la Met h. III» Partie.

2, On sait (iiic le iirincipc de continuité se présente d'abord chez Leibniz commi" un principe niathéniatique. Dans les lettres au P. Des Bosses, Leibniz exp!i(pie que la forme la plus nette du principe de continuité est celle qui rst sugj^'érée par le pa.s.saj,'!' insensible d"une (igure à une autre : « Dalis ordinalis, eliani (pitesita sunt ordinata ».

-çji LA PHILOSOPHIE DE NEWTON

naturel que Leibniz ait cru trouver dans son calcul des infiniment petits une méthode à laquelle l'avenir ne peut rien ajouter.

Newton, moins épris d'unité que Leibniz ou Descartes, ne croit pas suppléer par sa méthode aux méthodes antérieures. 11 ne croit pas davanta^^e qu'on puisse tirer de son calcul une réponse satisfaisante à tous les problèmes avenir. La méthode •des fluxions est d'une application féconde, non pas dans tous les cas possibles, mais dans ceux-là seulement qui sont susceptibles d'interprétation mécanique.

Il ne faut pas pousser l'esprit systématique au point d'imposer rem])loi d'une méthode dans un ordre de recherches pour lequel elle n'est pas faite. 11 n'est même pas bon de préférer toujours un procédé facile et très général à une méthode moins simple ou plus restreinte qui pénètre plus au fond de la difficulté. Ainsi Descartes s'est laissé duper par un besoin factice d'unité, lorsqu'il a négligé la géométrie pure pour traiter toutes choses par la voie algébrique. Newton déclare que la lecture d'Euclide, à laquelle il est revenu sur le tard, lui a appris au moins autant que la géométrie cartésienne ^ 11 est des questions oîi la méthode des anciens doit être employée de préférence à toute autre, et Newton lui-même, dans les Principes, au lieu de se servir uniformément de la géométrie iniinitésimale, emploie très souvent les méthodes de Pappus, d'Euclide ou d'Archimède '\ De même la méthode cartésienne garde sa valeur après les découvertes de Newton. La construction graphique des grandeurs doit être faite chaque fois qu'on le peut même lorsque la méthode des quadratures a fourni un résultat numérique exact, car la construction des lignes fait voir d'une manière instructive et élégante ce que le calcul donne .souvent comme un résultat brutale Entin la méthode des indi-

1. V. Pemberton, Éléments de la Philosophie Newtonienne, Amsterdam 1755.

2. Newlon n'abandonne la méthode des anciens que lorsqu'elle mène à des longueurs et à une accumulation de démonstrations ad absurdum (L. I, S. 1, Scholie, p. 47).

3. Méth. Flux. p. 170. « Postquam area curvae alicujus ita reperta est cl constructa, indaganda est demonstratio constructionis, ut omisso, qualenus tieri potost, calculo algebraico, theorema fiât concinnum et elegans, ar iMiiilIcum lumen suslineat ».

LA I>0RTI:E du calcul des fluxions 93

visibles, que Newton croit avoir remplacée par un procédé plus rigoureux et plus maniable, ne perd pas pour cela toute valeur. Une fois qu'on a compris la notion de limite, il est permis pour faire imaw'e et faciliter l'intuition demplover le lanuaire des indivisibles. A vrai dire Newton, dans les Principes malhématicjiies de la philosophie naturelle, où il cherche s laisser le moins de prise possible à la critique, s'abstient de parti pris de revenir aux idées de Barrow et de Cavalieri. Mais on voit j)ar son Introduction à la quadrature des courbes qu'il admet les indivisibles comme un moyen de découvrir des relations qu'on justifie ensuite par la Méthode des Fluxions '. Cette dernière méthode, loin de rendre inutiles toutes les autres, ne leur est supérieure que dans certains cas. 11 n'existe pas un mécanisme unique auquel on puisse soumettre indistinctement tous les problèmes. Pas plus que l'Arithmétique ne disparait devant l'Algèbre, la Géométrie ne disparaît devant l'Analyse intinitésimale.

On pourrait croire que le point de vue de Newton est le point de vue éclectique. Si Newton admet indifféremment la méthode de Barrow, celle de Fermât, celle de Descartes et la sienne propre, c'est, peut-il sembler, par simple manque d'esprit systématique. Il nous paraît beaucoup plus exact de voir dans cette attitude un respect minutieux des faits. D'abord Newton ne dit nulle partqu'un problème donné puisse indistinctement s'aborder par une méthode quelconque. S'il admet la variété des méthodes, c'est pour réserver chacune d'elles à un ordre de problèmes spécial.

Ainsi l'algèbre sera applicable chaque fois qu'il s'agit d'obtenir rapidement une valeur numérique. Les constructions cartésiennes auront leur utilité quand des calculs extrêmement laborieux peuvent se remplacer par un tracé facile. Les (luxions devront intervenir jiartout où l'on peut faire les développements en série. Certains problèmes par leur nature même s'ac- <-ommodent mieux de certains modes de raisomjement. La géométrie jjure, par exemple, admet fort aisément la méthode

1. Inlr. ad Quad Curv. p. 207. « Pcragi tamen potost iiiialysis in ficriiris quilmsciiiiHiuc. sou (itiitis scii infinité parvis, (\uiv figuris c\ ancscentibus finf^iinlur siiniios, ut cl in fi{,'uris, qu;c per Melhoduni indivisibiliuui pio intinili' parvis liabcri soient, modo oaute procédas ».

Svnthélique, tandis que la théorie des nombres nécessite souvent des démonstrations par l'absurde. C'est un fait qu'il faut accepter comme tel et qu'il est difficile de s'expliquer. De même lorsqu'il s'agit d'appliquer les développements en série à l'expression d'une irrationnelle, il arrive très généralement qu'il y a plusieurs développements possibles. Selon la manière dont on groupe les termes, selon l'ordre où s'effectuent les divisions, on aboutira à une série ou à une autre. Est-ce à dire que ces deux séries soient équivalentes et mènent aussi aisément à la solution ? Loin de là, il peut arriver que l'une converge très rapidement, et soit d'un usage parfaitement commode, tandis que l'autre, rigoureuse par elle-même, se trouve parfaitement inutilisable^.

11 n'y a donc pas de série qui soit, toujours et partout, lai meilleure, ni de méthode toujours la même qui permette dedécouvrir la série à choisir. Il intervient une sorte de tact, de sentiment de la difficulté, qui peuvent indiquer dans chaque cas donne, comment il faut conduire les développements. On peut dire, tout à fait pour les mêmes raisons, qu'il n'y a pas de méthode unique adéquate à tous les problèmes d'intégration. Ce que nous appelons problème dintégration est un nom générique et confus qui s'applique à tout un ensemble de questions hétérogènes. La première classe de ces problèmes comprend les quadratures proprement dites, auxquelles la Méthode des fluxions s'applique parfaitement -. Une classe toute différente se compose des problèmes relatifs aux équations différentielles et ici il faut compléter le calcul des fluxions par une méthode d'approximations successives dont Newton a donné la première esquisse. Ensuite viendraient des problèmes plus complexes, ceux qu'on envisagera sous le nom de problèmes aux différences finies : ils nécessitent à leur tour une méthode particulière, et en généralisant cette manière de voir, on peut dire que Newton con-

1. Post.Episl ad Oldenb. 24 oct. i&l&, p. 346. « Quaelibet séries habet pro- ])riiim iisum, et in suo génère optima est. Si dalur tangens salis jiarva, vcl salis magna, non recurrenduni erit ad sinum aliquem, ut inde computetur arcus, et vice versa. Séries dalo congruens est œqualio pro solvendo proprio problemate ».

2. Cf. Inlr. ad Quad Ciirv. p. 207. « E.\ Flu.xionibus invcniro fluentes problcma difficilius est, et solutionis j)rimiis gradus ccquipollet quadralurte curvaruni ».

^oit une hiérarchie de problèmes et de méthodes, sélevant progressivement de rarillimétique à l'algèbre, de l'algèbre au calcul infinitésimal, de là à dautrcs procédés enco°o, sans •qu'on puisse dire jamais de l'une ou de l'autre de ces méthodes qu'elle soit la dernière et la seule parfaite.

De cette façon la multiplicité des méthodes n'apparaît plus €omme un signe d'éclectisme. On doit y reconnaître bien plutôt l'instinct profond de la réalité et des classements qu'on peut y établir. Si nous admettons l'usage de méthodes différentes, c'est que la multiplicité des problèmes est sans doute réductible, mais non comme le croyaient Leibniz et Descaries réductible à l'unité. La continuité même de la nature enseigne <iue les difficultés varient d'une manière continue. Il sera bon <le posséder, en face d'uii certain ordre do j)roblèmes, la méthode la plus propre non à résoudre tout problème quel qu'il soit, mais celui qui nous est posé. De la sorte les différentes méthodes que l'histoire des mathématiques a vu surgir peu à peu, loin de se supplanter l'une l'autre, se complètent en .s'ajoutant. La véritable facilité, la véritable simplicité, ne I)euvent résulter, comme le disaient Descartes et Leibniz, de la possession d'un instrument universel. Elles proviennent d'une achqptation exacte de nos recherches au genre de problème qui les sollicite'.

D'ailleurs l'emploi de méthodes différentes dans des cas différents résulte d'une nécessité pratique. Lorsqu'on nous demande de résoudre un problème, on ne nous demande jamais de le résoudre absolument, mais avec une ap])roximation que l'on assigne. C'est une idée constante chez Newton, que le degré <rexactitude d'(Hie méthode doit être proportionné au but j)Oursuivi. Les mathématiques n'ayant d'autre usage que la résolution des problèmes concrets, il convient de leur deman- <ler des résultats dont la précision s'accorde avec les données. Sagit-il par exemple de déterminer par le calcul la trajectoire <l lui corps céleste? Trois genres de formules pourront donner la solution. Les unes seront complètes et rigoureuses, elles rcprésenicioiitdans tous ses détails latrajectoire de l'astre. Les

1. Cf. Mrl/i. Flux. p. <jj. « Ko cnim paclu. pro mniiihu.s Ii;i1)lmi> plures lucUioiJos (livers.-is, .semper usiir|);in' pul.ii. f;i.ili,,rciii. .simul ac simnli- <iorcm ».

1{[.<m:ii. .

autres ne donneront de son mouvement qu'une approximationpremière. D'autres enfin permettront de trouver, avec une approximation poussée jusqu'à un ordre arbitraire, les éléments de son orbite. L'évaluation grossière, par la première approximation, est celle dont se contentaient les Anciens. Elle s'accordait avec l'état de leurs connaissances, et les avait menés à l'idée des trajectoires circulaires. La solution complète, celle qui tient compte de tout le détail des forces perturbatrices, est un idéal auquel on ne peut prétendre tant que le plus g-rand nombre de ces forces demeurera inconnu. Dans l'état actuel de la science, les mesures astronomiques ne dépassent pas un certain ordre de précision, et si l'on veut les confirmer théoriquement, les formules qu'on se propose d'établir devront être exactes jusqu'au même ordre.

Ainsi la résolution de tout problème suppose qu'on connaisse au préalable une limite supérieure de l'erreur permise. Comme les vérifications empiriques sont le seul gage que la solution est exacte, ce serait un travail inutile de chercher une approximation illimitée. La rigueur obtenue de la sorte serait illusoire puisque nous ne saurions en avoir confirmation. II vaut mieux faciliter le calcul en se satisfaisant d'une formule approchée, mais dont l'écart tombe au-dessous des grandeurs réellement appréciables. Nous aurons alors à choisir notreméthode selon les termes qu'on pourra négliger et les opérations qu'on pourra se dispenser de faire^. Dans certains cas, ce sera l'Algèbre, dans d'autres, la Géométrie ordinaire, dans d'autres encore la Géométrie infinitésimale qui mènera plus directement au but. Si l'on tient compte à la fois de la précision obtenue et du nombre des opérations par lesquelles on l'obtient, il y aura

1. On trouve, dans les Principes mêmes, de nombreu.x exemples d"un pareil choix. Un des plus typiques est celui du Scholie de laProp. XXXI, L. L S. 6, p. 119. Il s'agit « de trouver, pour un temps donné, le lieu d'un corps qui se meut dans une trajectoire elliptique donnée», Newton commence à l'aide de la géométrie analytique, par donner une solution rigoureuse correspondant à l'intersection d'une droite et d'une trochoïde. Puis il remarque que la description de cette courbe est difficile et qu'il vaut mieux employer une solution approchée. Il se sert alors de r.\lgèbre, et applique les approximations successives à la résolution de l'équation , | ao -f- 6sin o = c. Enfin, pour satisfaire aux exigences astronomiques, il fait appel à une approximation unique, qui donne une solution « aussi exacte qu'il est nécessaire pour la théorie des planètes : car dans l'orbe de Mars même, dont la plus grande équation du centre est de 10 degrés, l'erreur passerait à peine 1 seconde ».

toujours une de ces méthodes qui sera plus pratique que les autres.

Demandons-nous, à titre d'exemple, pourquoi les méthodes de résolution numérique des équations * se sont substituées dans certains cas aux méthodes algébriques. Apportent-elles des procédés nouveaux, inconnus de l'algèbre ordinaire ? On sait fort bien qu'elles se contentent de prendre les opérations fondamentales de l'algèbre et de les appliquer indéfiniment. Mais l'avantage qu'elles procurent par là, c'est qu'elles permettent d'extraire, par des approximations répétées, avec une exactitude tixée à l'avance, des nombres que l'algèbre ordinaire n'aurait pu dégager. De même l'usage des fractions continues, des progressions illimitées, permet d'obtenir par la succession infinie d'additions ou de divisions, des quantités qu'on ne peut déterminerautrementavec la précision voulue. De même encore le développement en série est l'équivalent d'une division ou d une extraction de racine poussée aussi loin qu'on le veut. Le sens des quadratures est analogue. Elles aussi sont des opérations simples reproduites un nombre infini de fois. Chacune de ces méthodes s'applique de préférence à un ordre de problèmes déterminé, parce qu'elle donne plus aisément que les autres l'approximation exigée par ces problèmes. A prendre les choses à la rigueur, il n'existe en mathématique qu'une seule méthode, l'addition des nombres entiers. La seule addition, rendue de plus en plus complexe pour s'adapter aux difficultés nouvelles, suffit à créer des types de méthodes appropriées à ces difficultés.

En ce sens on peut accorder à Descartes qu'il y a un élément commun à toutes les méthodes mathématiques. Mais cela n'empêche qu'en pratique une méthode donnée ne s'applique qu'à un groupe de phénomènes. Sitôt que la complication du groupe dépasse un certain degré, sans que l'approximation exigée pour la solution dimiruie, il sera nécessaire d utiliser une méthode nouvelle. Cette méthode ne différera j)as essentiellement des précédentes, elle continuera d'employer les opérations élémentaires du calcul. Mais elle ?nulti])liera ces opérations de fa<;on à atteindre l'approximation désirée. Chaque fois

1. On iail qur Newton hii-iiièmc est l'auleiir d'iiiii; de ces méthodes.

qu'il s'est présenté un problème réfractaire à un certain genre de méthode, l'artifice employé pour le résoudre na pas consisté à modifier le problème pour le plier à la méthode. On a toujours modifié la méthode en lui permettant d'effectuer un nombre illimité de fois les opérations qu'auparavant elle ne pouvait effectuer qu'en nombre fini. Ainsi il est vrai de dire que la nature des opérations essentielles ne change pas lorsqu'on s'élève de l'Arithmétique à l'Algèbre, de l'Algèbre à l'Analyse, de l'Analyse aux méthodes supérieures que la science nous réserve. L'addition des nombres entiers se retrouve partout. Mais de cette opération si simple on en a déduit d'autres en la répétant indéfiniment, de celles-ci, d'autres encore parle même procédé et ainsi de suite. La nature des opérations reste simple, leur nombre seul devient de plus en plus complexe, et le passage d'une méthode à la méthode supérieure se marque par la multiplicité croissante des opérations, entraînant la précision croissante des mesures. Ne pouvant, par exemple, mesurer toutes les longueurs en nombres entiers, nous avons dû faire appel aux nombres fractionnaires et aux nombres irrationnels, qui sont l'équivalent de suites illimitées de nombres entiers. Ne pouvant calculer par une même formule toutes les irrationnelles d'un type donné, nous les développons en séries entières, c'est-à-dire en une suite infinie de termes aisément calculables. Ne pouvant mesurer directement les aires, nous les avons décomposées en une somme infhiie de termes élémentaires connus. Partout la pratique nous a obligés aune résolution de plus en plus parfaite des problèmes par une accumulation constante des efforts. Résoudre par des calculs simples, mais très nombreux, ce qui est insoluble par une seule opération, si compliquée soit-elle, voilà le principe qui est à la base des mathématiques. Nous gagnons de la sorte en puissance ce que nous perdons en brièveté. Le mathématicien, sur ce point, ressemble au physicien. Ce dernier lui aussi a constamment le choix entre différentes méthodes et celle pour laquelle il doit se décider lui est suggérée par la pratique. S'il s'agit d'évaluer une longueur avec une approximation donnée, il sera inutile pour le physicien de procéder au réglage des appareils avec plus de précision que la mesure n'en comporte. Faut-il au contraire une exactitude supérieure à celle dont on

s'est contenté jusqu'ici, c'est en répétant avec des corrections successives le réglage précédent qu'on peut y parvenir. On voit que le souci des questions physiques n'abandonne jamais l'esprit de Newton. En mathématique comme en physique, i^ croit impossible d'appliquer, partout une méthode uniforme. Cela tient à ce que, dans l'un et l'autre cas, le résultat à obtenir n'est pas toujours requis avec la même exactitude. La suite illimitée des opérations qui donneraient théoriquement le nombre exact s'arrêtera, suivant les cas, à un terme de rang plus ou moins éloigné S et le choix de la méthode dépend étroitement du degré de précision dont on peut se satisfaire.

Après avoir fait voir que le Calcul des Fluxions ne peut supplanter d'une manière absolue aucune autre méthode, il convient d'insister pourtant sur ce qu'il apporte de nouveau par rapport à la géométrie d'une part, par rapport à l'algèbre de l'autre. Nous comprendrons alors pourquoi Newton appelle son calcul un calcul général, bien qu'en même temps il se refuse à l'appeler un calcul universel-.

La géométrie, comme l'avait remarqué Descartes, est trop astreinte à la considération des figures ^ Il en résulte qu'une quantité infinitésimale, ne peut devenir accessible à la géométrie ({uc si elle prend la forme d'un élément figuré, attaché à une courbe ou à une surface. Ainsi la géométrie infinitésimale peut faire usage de la notion de vitesse, parce que la dérivée qui représente cette vitesse peut se construire simplement au moyen des tangentes. De même le rayon de courbure, ou rayon du cercle osculateur, est un élément infinitésimal susceptible de figuration, dont la géométrie peut donner une idée. Mais

1. Cf. Anal, per Aiqual. lu fin. « Istos termirios seniper omitto, quos luilli deinccps usui fore pnevidoo ».

2. Lellre à Leibniz, 11 juin IG76. « Non tamcn omnino universalis evadit ». Cf. Principes, L. II, S. "2, Lcmnie Scholie : « En c.xiiliquaiit dans une lettre à D. J. Cûllin.s le 10 déc. 1072 lu niéthude des tangentes que je soupçonne être la même que celle de Slusius qui ne m'avait pas encore {■lé (•«imniiiniquée, j'ajoutai : cela est i)lutôt un corollaire particulier d'une méthude générale cpii s'étend, sans calcul embarrassant, non seulement à mener des tangentes ci des courbes quelconques, mais aussi à résoudre d'aulros espèces de problèmes très difficiles touchant les courbures, les quadratures, les reclilicalions, les centres de gravité des courbes, etc. ».

3. Deuxième IcUre à OldenburQ 24 oc(. 1076, p. 342. I',go quidem liaud (iui((iuarn générale in liis oblinere polui, anlc(|uam abstraiierem a contem|)lalione Eigiirarum , (>t rem lotam ad sinq)licem consideralionem solarum ordinalim applicatarum reducerem «.

des notions comme celle d'accélération, et surtout celle des fluxions ou accélérations d'ordre supérieur, ne correspondent pas toujours à des particularités visibles de la figure. Assurément, par des constructions appropriées, on peut leur rendre un sens géométrique, et même une interprétation cinématique. Mais ces constructions sont très indirectes, compliquées, malaisées à obtenir. Dans la Méthode des Fluxions au contraire, les différentielles d'ordre supérieur se présentent tout naturellement, et l'ordre dans lequel on les rencontre lorsqu'il s'agit de développer en série la différentielle première, amènera Mac Laurin et Taylor à leurs développements célèbres. La notation de Newton permet donc déjà, ce que la géométrie ne saurait faire, d'aborder l'étude complète du contact des courbes. En employant une caractéristique commode pour désigner les fluxions successives, Newton résout un problème général, dont la géométrie n'avait pu soupçonner qu'un aspect, la construction des tangentes à une courbe donnée K

Mais le problème inverse des tangentes, mieux encore que le problème direct, fait toucher du doigt la généralité que le calcul infinitésimal possède par rapport à la géométrie. L'élément infiniment petit qu'il s'agit de sommer, le moment ou le terme élémentaire qui seul est donné, varie aux yeux du géomètre d'un problème à l'autre. C'est un arc dans les problèmes de rectification, une aire dans les problèmes de quadrature, un volume dans les problèmes solides, un angle dans l'évaluation des distances angulaires. Chaque fois le géomètre est obligé d'avoir recours à une intuition particulière, et s'il avait à faire la sommation d'éléments non figurés ni représentables, aucun principe ne pourrait le guider dans la construction des limites. Au lieu de cela, le point de vue analytique est d'une généralité parfaite. L'élément très petit qu'il s'agit d'intégrer pourra tou-

1. Ce problème même, Descartes ne le résout que dans le cas où le point de contact est situé à distance finie. Les constructions deviennent caduques quand le point s'éloigne à l'infini. Au lieu de cela, le méthode générale de Newton s'applique aussi bien au tracé des asymptotes qu'à celui des tangentes proprement dites. « A l'égard des asymptotes, on peut les regarder comme des tangentes et leurs extrémités (si on peut s'exprimer ainsi) comme des points de contact. Imaginons donc que le point d'attouchement d'une tangente s'éloigne à l'infini, cette tangente deviendra asymptote, et les constructions des problèmes précédents se changeront dans les constructions de problèmes où l'asymptote est donnée ». — {Principes, L. 1, S. o, Prop. XXVII, Scholie).

jours se désigner par le même symbole, ds par exemple S soit qu'il sagisse de quantités linéaires ou superficielles, soit qu'on opère dans lespaceordinaire ou dans un espace à plus de trois dimensions-. Les symboles du calcul infinitésimal sont indifférents aux réalités quils désignent tandis que ceux de la géométrie ne sont jamais applicables qu'à certaines figures. C'est une raison suffisante pour reconnaître dans l'analyse infinitésimale un procédé beaucoup plus général que la géométrie classique.

L'algèbre elle aussi, bien qu'elle soit plus générale que l'arithmétique, l'est moins que la Méthode des Fluxions. L'arithmétique, comme on l'a vu précédemment, n'est pas un cas particulier de l'algèbre. Elle s'accorde avec elle mais ne se ramène pas à elle. Pareillement l'algèbre n'est pas un cas particulier du calcul infinitésimal. Elle garde ses règles propres à côté des procédés qui lui sont communs avec les méthodes différentielles. Néanmoins la porléc de l'analyse est plus vaste que celle de l'algèbre, parce quelle s'applique à des problèmes plus compliqués. D'abord la généralité de l'algèbre se retrouve, avec des perfectionnements, dans la notation différentielle. L'algèbre exprime parla môme formule tout un groupe de problèmes concrets, ayant des interprétations bien différentes : l'équation du premier degré peut répondre à un problème de partage, d'intérêts, à l'étude d'un mouvement uniforme, à la détermination d'une ligne droite, etc. En analyse on trouve une généralité plus grande encore. Une seule équation différentielle répond à une infinité d'espèces du même problème et à une infinité de problèmes d'espèce dilîérente. Les lois de la chute des corps, la recherche des points d'infiexion, la détermination du maximum des vitesses, dépendent d'une même équation différentielle. Plus tard on fera voir que la distribution de l'électricité, la propagation de la chaleur, la circulation des fluides, et beaucou]) d'autres problèmes physiiiues sont des aspects différents d'une même équation. Peut-être n'y a-t-il pas de problème, dit Newton, qui ne

1. Notation do G. Jordan, Cours d'analyse de lÉcole Polytechnique, T. I, ch. 1. ..7 1

2. De Analys. per .Eqiial. Infin. « Nolanduni est (juod unitas ista. qmv pro moniento poiiitur, est superficies cum de solidis, el linea cum de superfifiebus, et punrtum cum de liniMs atrihir ».

lOi LA PHILOSOPHIE DE NEWTON

puisse s'exprimer par des équations différentielles convenables, et tous les problèmes qu'on résout par l'algcbre sont-ils des cas particuliers de problèmes très vastes que l'analyse résout d'une façon générale ^

La méthode la plus étendue dont l'algèbre fasse usage est en effet la méthode cartésienne des coefficients indéterminés. Cette méthode se retrouve tout entière dans l'analyse des infiniment petits. Lorsque nous voulons dégager d'une expression donnée le développement de plus en plus approché d'une grandeur,, nous substituons à la place de cette grandeur, non plus un polynôme mais une série à coefficients arbitraires. Les coefficients se déterminent de proche en proche par des équations de condition, et si le développement se limite de lui-même, nous retombons sur le cas de l'algèbre -.

Les conventions fondamentales de l'algèbre sont, elles aussi reprises et généralisées par le Calcul des Fluxions. La notion des quantités négatives va s'étendre par des définitions convenables aux aires, aux longueurs, aux volumes. C'est une généralisation qui n'est pas arbitraire, mais que la pratique rend indispensable si Ion veut qu'une formule réponde à tous les casde figure ^ Par l'analyse les opérations de l'algèbre sont étendues et généralisées d'abord parce qu'on les applique un nombre illimité de fois, ensuite parce qu'on y soumet les symboles nouveaux que l'algèbre ne connaît pas. A vrai dire les quantités dont l'algèbre s'occupe ne forment qu'un échelon dans la série des grandeurs symboliques. Entre les fluxions de la fonction ou ses différentielles, qui se suivent en série infinie, et les sommes ou intégrales qu'elle fournit et quon classe d'après le tableau des quadratures, se trouve la fluxion d'ordre zéro- (identique à la somme d'ordre zéro) qui est la fonction ellemême. Ainsi l'algèbre est une région frontière, qui sépare le domaine des fonctions différentielles et celui des fonctions intégrales. On doit donc retrouver par continuité les propriétés

1. De Anal, per JEquat, Infm. « Nec quicquam hujus modi scio, ad quod hœc methodus, idque variis modis. sese non cxtendiL,.. Et quicquid vulgaris Analysis per .Equationes ex flnito terminorum numéro constantes (quando id est possibile) perficit, hœc per .Equationes Infinitas. semper perficiat ».