Principes, L. \\\, Pmp. VII, Cor

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des points matériels se (l(''j)la(;;ant dans l'espace idéal, se soit trouvée particulièrement propre aux développements mathématicpics. Les principes qui font de la mécanique une science j)0sitive ne sont nulle part véritlés avec plus d'exactitude que dans le cas céleste, et c'est la raison qui va permettre à Newton d"aj)pli(pier à ce cas privilégié toutes les ressources du calcul.

Comment le calcul infinitésimal s"introduit-il dans l'étude de la mécanique céleste ? C'est d'abord comme calcul intégral, j)lus tard seulement comme calcul différentiel.

Lorsque deux masses attirantes sont en présence, la question préliminaire à la mise en équation du problème est celle de la détermination des forces résultantes. Nous venons de dire que ces forces résultantes existent et peuvent être considérées comme appliquées à un point fictif, le centre de gravité. Encore faut-il les déterminer effectivement en fonction des dimensions et de la nature des corps, afin de pouvoir transformer leur expression par le calcul. Aussi longtemps en effet que le problème des attractions planétaires nous apparaît tel qu'il est en réalité, comme un problème impliquant une intînité de forces agissant sur une infinité de particules, il nous est impossible de le mettre en équation. Nous avons affaire aune question non géométrique parce qu'elle dépend d'une infinité de paramètres. 11 faudrait alors pour se faire une idée du mouvement écrire autant d'équations qu'il y a de forces réelles, c'est-à-dire une infinité.

Au lieu de cela le calcul nous apprend que grâce à la forme toute parliculière des attractions newloniennes, « les forces cenlripètesdes particules qui composent les corps spbériques croissent ou décroissent en s'éloignant du centre selon la môme loi que la force centripète des corps entiers, ce qui est digne de remarque ' ». Il estpossible alors, au moyen de sommations convenables, (le itMni)lacer une iiifiiiilé de forces élémentaires par une résultante uiuquc Cette résultante sera une fonction bien déterminée de la masse et de la ligure du corps, et bien qu'elle soit une force fictive, elle rendra plus de services pourle cahiil que les composantes donl die déi-ive. Mlle |)einiel en eiïet de ramener le mouvement du système ,i un ii()nd)re limité de para-

1 l'ilncipes. L. I, S. 12. l'inii. LNXVIII Scholie.

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mètres. Des forces finies agissant sur un nombre limité de peints, tel est l'équivalent que donne le calcul intégral du nombre illimité des forces primitives. Cette réduction n'est possible que par l'emploi du calcul infinitésimal, utilisé comme instrument de quadratures. Ce sont les théorèmes de calcul intégral que Newton établit une fois pour toutes dans lai [''Section du premier Livre qui lui permettent de ramener, d'une manière immédiate, les problèmes très complexes de l'astronomie solaire à un petit nombre de types très simples, auxquels correspondent des équations canoniques.

Le calcul différentiel est un procédé essentiel de la mécanique céleste puisque c'est lui qui donne la loi de force lorsqu'on suppose la trajectoire connue. C'est lui aussi qui fournit les relations entre les éléments finis de l'orbite et la variation instantanée de ces éléments. Parmi les emplois du calcul différentiel, il en est un qui mérite d'être signalé, parce que Newton en fait usage à plusieurs reprises. C'est l'emploi de ce calcul comme calcul d'erreurs.

Supposons en effet que les positions d'un astre nous soient données à certaines époques et que ces positions satisfassent à peu près aux lois du mouvement Képlérien. Nous aurons à nous demander si l'astre décrit réellement une ellipse autour d'un centre attractif, ou si les incertitudes d'observation sont telles qu'on ne puisse appliquer avec rigueur les lois du mouvement elliptique. On comprend toute l'importance de cette question en ce qui concerne, par exemple, la recherche des satellites. Pour qu'un astre décrivant autour d'une planète une orbite quasi-elliptique puisse être regardé comme un satellite de cette dernière, il importe d'avoir une limite supérieure des différences que l'on peut constater entre l'orbite théorique et l'orbite réelle. Si ces différences dépassent une certaine valeur, il sera naturel ou de supposer que l'astre en question subit des influences perturbatrices ou bien que les lois de l'attraction newtonienne cessent d'être vraies. C'est pour décider entre ces deux alternatives qu'on se servira du calcul différentiel.

Celui-ci permet d'exprimer la variation d'une grandeur en fonction de la variation d'une grandeur corrélative. D'une manière tout à fait rigoureuse il ne peut s'appliquer ([uo si les

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variations sont infiniment petites. Mais lorsque ces dernières, tout en demeurant Unies, sont négligeables vis-à-vis des autres quantités, le calcul différentiel peut dune manière approchée fournir les lois dont elles dépendent. Or les erreurs que l'astronome commet en calculant les éléments d'une orbite sont fonctions des erreurs ({uil admet dans ses hypothèses. Ce sont des grandeurs dont on peut évaluer une limite supérieure en fonction de la limite d'exactitude des données. 11 suflit de modifier, par exemple, les lois de Kepler ou la loi de l'attraction universelle en augmentant d'une quantité très petite les paramètres qui y tigurent pour déduire, par la Méthode des llùxions, la diiïérentielle des fonctions calculées ou Terreur commise ^ On verra alors si cette erreur est du même ordre que Terreur observée, et Ton pourra décider si la divergence des deux nombres doit être attribuée à Timperfection des mesures ou à Tinsuftisance des lois théoriques.

Ce procédé est employé par Newton pour démontrer, au moyen des satellites de Jupiter, la première partie de la loi d'attraction universelle, savoir la proportionnalité <les effets aux masses-. Il ne" faut pas oublier en effet que la loi de l'inverse du carré des distances n'est pas toute la loi de la gravitation universelle. La proportionnalité des gravités aux masses est démontrée par Newton avec le môme soin minutieux que la loi de décroissance avec la distance. Si l'attraction exercée par le Soleil sur Jupiter et Tun quelconque de ses satellites n'était pas très exactement proportionnelle aux masses, il serait possible d'en déduire par la méthode différentielle la variation d'excentricité (le l'orbite de ce dernier. Or Newton montre qu'une différence de I/IOOO dans la« gravité accélératrice» des masses entraînerait une différence dei/5 entre les distances extrêmes de Jiq)iter et de son satellite. L'orbe de ce dernier serait donc très sensiblement excentricpie, contre toutes les ()l»scrvations de Galilée et de Newton. On voit par cet exemple, auquel il ^erail facile d'en ajouter beaucoup d'autres, le rôle curieux qiK' If r.il.iil différentiel, envisagé comme calcul dCrreurs, peut jouer dans Tétablissenicnl de la mécanique céleste.

Avec l'emploi du calcul infinitésimal, la mécanique céleste devient une science positive, en ce sens qu'elle est capable de se contrôler elle-même par le rapprochement des formules et des observations. Mais il ne faudrait pas croire qu'elle devienne par là même une science achevée. On a trop de tendance à croire que son but est de poser une fois pour toutes les équations du mouvement du système solaire et qu'elle ne doit rencontrer d'autres difficultés que celles résultant de la complexité de ces équations. Nous savons déjà que les mathématiques ne sont pas faites pour s'appliquer d'emblée à toute la réalité. Il faut que celle-ci subisse des simplifications successives qui rendent l'application des mathématiques de plus en plus complète. Ainsi le problème astronomique a reçu une première simplification du fait que le centre de gravité des masses a été substitué au.K masses elles-mêmes. Mais les lois du mouvement elliptique ne constituent encore qu'une première approximation. Elles sont vraies dans le cas àe deux corps seulement, et ce cas n'est pas exactement réalisé. Le problème des deux corps est un j)roblème restreint, simplifié par une véritable abstraction. Il fournit des solutions provisoires, qui préparent des solutions plus complètes. C'est en somme parce que le soleil exerce sur toutes les planètes une action prépondérante, qu'on a pu négliger tout d'abord dans la mécanique céleste l'influence des planètes les unes sur les autres pour se borner avec Kepler à la théorie d'une planète isolée.

Mais une fois que la loi d'attraction a été dégagée de ce cas théorique, le bon sens môme indique qu'il va falloir compléter les résultats de Ivepler par une approximation plus subtile. Les planètes exercent les unes sur les autres des attractions de tous points semblables à celles qui émanent du soleil, et l'effet de ces forces va être de troubler leurs trajectoires théoriques. Ainsi la perfection même avec laquelle, en première approximation, les planètes suivent les lois de Kepler, amène à rechercher une approximation plus grande où ces lois seront dépassées. Le calcul des forces perturbatrices et des inégalités donne un terme complémentaire qui viendra s'ajouter à celui (lue fournit le problème des deux corps ^ Ce terme, pas plus que

'i. V. Principes, L. I, Prop. I.XVI, Théor. XXVI, p. 179 sqq.

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le premier, ne donne une solution complète. Les recherches astronomiques demeurent ouvertes à des approximations ultérieures, dont lensemble seul donnerait la solution exacte.

On voit comment va sort>:aniscr pour Newton le développement de la mécanique céleste. Ce développement part du problème des deux corps, qu'on peut considérer comme par- Jailement résolu. A ce problème vient se superposer le problème des forces perturl)atrices du premier ordre, ou problème des Irois corps. Puis on recherchera, en se guidant toujours sur les inégalités signalées par l'observation, des approximations encore plus précises, sans jamais prétendre à des lois absolues. Ce progrès de la mécanique céleste, comme celui de toute science in.ilhématique, doit marcher de pair avec le progrès des observations. A mesure que l'astronomie empiri(pie trouve des relations de mieux en mieux vérifiées, ce sera le rôle (\c l'astronomie mathématique de donner à ces relations une forme déduclive.

C'est im des caractères originaux do la loi de gravitation universelle que ce perfectionnement successif dont elle estsusceptil)le. Avant Newton, on ne connaissait pas de loi qui pût de la sorte se compléter elle-même. Les théorèmes de Descartes sur les mouvements célestes étaient nécessairement faux ou nécessairement vrais. Ils ne pouvaient être admis comme approximation première, sauf à expliquer les inégalités d'observation l)ar une application des mômes théorèmes. Newton au contraire avait fort bien compris que m\\\o loi physique nest absolue. Si Ion veut énoncer une loi (pii [)résenle un certain nombre de ras d'application, il faut renoncer d'avance à l'appliquer parloiil Mais le <lésaccord de rexj)érience et de la loi peut s'explicjuer de deux manières. Ou bien la loi même n'a d'exactitude qui- dans uu domaine restreint, ou elle est applicable dans tous les cas, la complexité des phénomènes dissimulant parfois la riiTUiur «le la loi.

C'est cette deruièn; alternative qui a lieu pour la gravitation luiiverselle'. La gravitation se traduit dans les cas les plus simples par les ap|)arences du uious c ment ké|)lérieii, e( dans les cas plus complicpiés c'est encore elle qui fait que ce mou