I. V. l'i-incipes, L. i. S. .;. !'ri)|i. \\|| cur. i

vement na plus lieu. On admettra sans difficulté que les cas simples doivent être traités les premiers. Les autres n'introduiront que des corrections le plus souvent petites. Mais quels sont les cas simples, voilà la ([uestion que Newton n'a pas discutée. Il admet sans preuve que le mouvement képlérien, réalisé dans le problème des deux corps, est l'approximation dont il faut partir. Pour lui, le cas le plus complexe du problème des n corps, celui où nous avons affaire à des perturbations qui elles-mêmes ne sont pas régulières, doit se ramener par des corrections successives au mouvement elliptique. Il admet donc implicitement que le calcul des inégalités fait en partant du mouvement képlérien est à la fois le plus convergent et le plus commode.

Nous savons aujourd'hui que l'idée de Newton était incomplète. Le mode d'approximation qu'il emploie est convergent jusqu'à une certaine limite, mais ne peut donner dans tous les cas des expressions utiles. L'idée est venue à certains astronomes' qu'on pourrait obtenir des résultats plus parfaits sans rien changer à l'esprit de la méthode newtonienne, en engageant les approximations successives autrement qu'il ne fait. Au lieu de partir du mouvement elliptique comme approximation première, on peut faire intervenir, dans cette approximation même, l'effet moyen des forces perturbatrices. Les orbites elliptiques sont remplacées de la sorte par des « orbites intermédiaires » plus rapprochées des trajectoires réelles, bien qu'elles doivent se compléter encore ))ar des termes de correction. On voit que la manière de procéder de Newton, tout en étant la plus naturelle pour l'époque, n'était pas absolument la seule. Il est intéressant de noter que sa méthode d'approximations, destinée à expliquer par la gravitation même les apparentes inégalités des masses gravitantes, i)Ouvait sans rien perdre de sa signification se dévelo])pcr d une façon différente. Les formules mathématiques que donne la mécanique céleste présentent une certaine indétermination. Elles reposentsur des procédés d'intégration, et ces procédés amènent toujours à leur suite un arbitraire qui ne figure pas dans les données^.

■1. V. par exemple les niclliodes de Gylden, dans les Souvelles Méthodes de la Mécanique Céleste, pur Poincaré, Paris (Jauthier-Villars.

:2. V. plus haut, Cil. III.

LA GRAVITATION UNIVKKSlîLLE ET LA MÉCANIQUE CÉLESTE 30b

Pour que le calcul inliuitésimal permette de découvrir des solutions parfaitement déterminées, il faut qu'on donne, outre la loi des forces, les condilions initiales du mouvement. De là la nécessité qui s'impose aux astronomes de déterminer les coefficients arbitraires contenus dans les formules analytiques par des observations. Il y ^ l'i 'i" premier emprunt à l'expérience, dont la mécanique céleste ne peut se passer.

Voyons de plus près ce que l'expérience peut fournir. Elle nous renseigne sur la position d'une planète à un moment donné, sur la vitesse qu'elle possède au même moment. Théoriquement ces deux données doivent suffire à préciser entièrement la position dr Torbile '. .Mais en j)rali(|U(' nous allons nous heurter à une (lillicullé imprévue. Siq)posons qu'un couple d'observations nous ail fait connaître certaines valeurs de la longitude et de la laliludc d'un astre comme aussi sa vitesse angulaire. Ces valeurs transportées dans les formules, déterminent sans ambig-uité les paramètres jusqu'ici arbitraires. Nous nous trouvons alors en possession d'une expression à laquelle on ne peut plus rien changer : elle doit se vérifier telle quelle en tous les points de l'orbite. Or il arrive très généralement que les positions calculées par cette formule et celles que donne l'observation présentent, dès que l'astre s'est un peu éloigné de son point de départ, des divergences notables. Ici encore nous avons raltcrnative ou de rejeter la formule et avec elle les principes de la mécanique céleste, ou d'admettre une erreur demesunî dans les données initiales. Cette erreur a certainement été commise, et il reste seulement à décider si sa grandeur est suffisante pour explicjuer les irrégularités de la formule. Pour élucider ce point, nous n'avons qu'une ressource. C'est de recourir, comme le fait Newton, à un procédé d interpolation.

llemar(|uons en rAU-l (piCii déterminanl l'orbite par un couple uiiitpK" d ob.scivalions nous accumulons pour tous les points de cette orbilc l'effet de l Vn-ciir commise sur l Un d'eux. Celte i-rrciir j»..iiir;i élrc inscnsililc dans le voisinage «lu point de déjtai'l cl devenir parfailenienl ;i|)|ir('<i,i|)le siliU (pion s'en ecarle. Il i'on\ienl donc dV-h'ininer (l.■ln^ la mesure du possible

1. I'",ii MMliidi- llM'oniiH's ^'•"'■'■i>'i'< sur ic-s r-ipuiliims (iilT.M\'iitiflli's ilu --l'i'iiiiil (ii'ilrc.

30r, LA PIIILOSOPIIIE DE NEWTON

les chances d'erreur que présente une mesure unique. Pour cela nous déterminerons la trajectoire par un g-rand nombre de mesures voisines dont chacune comporte une erreur particulière, mais dont l'ensemble peut offrir une allure indépendante de ces erreurs. Nous essayerons donc de faire passer une conique par un grand nombre' de points très rapprochés, et la courbe que nous obtenons delà sorte pourra être pratiquement exacte. En tous cas si elle ne coïncide pas dans tous ses points avec la courbe d'observation, elle mettra beaucoup plus longtemps à s'en écarter lorsqu'on quitte la région initiale.

L'interpolation est employée par Newton d'une manière constante surtout dans la théorie des comètes^. Là en effet il faut déterminer non seulement la position et la vitesse initiales du mobile, mais encore sa masse qui est inconnue. Cette interpolation est essentiellement distincte de l'interpolation géométrique. Une s'agit nullement en astronomie de déterminer une courbe par le nombre minimum de conditions nécessaires. Nous savons que cinq points suffisent à déterminer une ellipse, quatre une parabole, trois seulement un cercle. Est-ce à dire que pour obtenir la trajectoire d'un astre il faille se contenter d'en déterminer cinq points? Cette manière géométrique d'envisager le problème n'est pas celle qu'adopte Newton. Le but qu'il poursuit n'est pas de découvrir une orbite qui coïncide exactement avec l'orbite réelle en quatre ou cinq points, mais une orbite qui s'en rapproche très sensiblement dans des régions très étendues. Voilà pourquoi le nombre des positions (ju'il faut relever par l'observation n'est pas en relation simple avec l'espèce de la courbe étudiée. Selon les cas, on aura besoin d'observations nombreuses et rapprochées, ou d'observations beaucoup plus clairsemées-. 11 est évident que, s'il s'agit de déterminer une parabole au voisinage de son sommet, dans une partie oii la courbure est notable, on ne pourra se faire une idée convenable par trois ou quatre observations. Ce nombre au contraire sufiira parfaitement si l'on se trouve placé sur une