V. Principes, L. II, $S. 5, Scholie général

2. Ibid. « Au reste le plus grand des globes dont je me suis servi dans. ces expériences n'était pas parfaitement sphérique, et par cette raison dans le calcul que je viens de rapporter, j'ai négligé, afin d’être plus court, quelques fractions trop petites, ne m'embarrassant pas beaucoup de faire

un calcul rigoureux dans une expérience dont l'exactitude n'était pas poussée assez loin. »

Fi

qui existe entre le rayon incident et le rayon réfracté est susceptble d'expressions diverses. Parmi ces expressions, la loi des sinus est sans contredit la meilleure, bien qu’elle soit seulement approximative. Car elle devient de plus en plus exacte à mesure qu'on l’applique à une lumière plus homogène. De même, si l’on cherche la loi mathématique selon laquelle les « pulsions » se propagent, nous savons aujourd'hui, par le calcul intégral, qu'une infinité de formules peuvent satisfaire aux faits. Il n’en est pas moins vrai que, parmi ces formules, celle qui revêt la forme pendulaire est de beaucoup la plus intéressante, parce qu'elle permet de pressentir immédiatement d'autres formules de plus en plus exactes. D'une manière générale, s’il faut envisager les lois physiques comme des lois approchées, il n’est pas indifférent qu’un degré d’approximation soit atteint par une formule ou par une autre.

L'Optique de Newton fournit le meilleur exemple de l'exactitude croissante à laquelle peut prétendre la physique sans aspirer jamais à l'exactitude idéale. Longtemps on s'est contenté de construire l'Optique sur une base purement géométrique. La propagation rectiligne des rayons et les déviations qu'ils subissent en changeant de milieu élaient les seuls phénomènes qu’on eût étudiés distinctement. Sur cette base on avait édifié la Dioptrique et la Catoptrique. Les lois géométriques qui président à ces sciences étaient considérées par Descartes comme immuables. Elles ne peuvent recevoir de l'expérience qu'une confirmation de plus en plus parfaite. La découverte de la dispersion, faite par Newton moins de 30 ans après la mort de Descartes, suffit à renverser cette conception dogmatique. On comprit que les apparences géométriques ne doivent pas {tromper par leur simplicité grossière, et que là où nous voyons une loi rigoureuse ne se trouve au fond qu’une formule provisoire, cachant une réalité plus complexe.

C’est ainsi que la découverte de l’inégale réfrangibilité des couleurs réduisit la loi des sinus à n'être plus qu'une lot de moyennes, assez difficilement applicable à la lumière solaire, en même temps que les premières observations sur la diffraction firent de la croyance à la propagation recliligne une vue sommaire et discutable. Instruit par ces données de l'histoire, Newton s’est gardé d'attribuer à sa propre théorie une valeur

absolue, 11 la considère expressément comme une approximation des faits, plus complète sans doute que la théorie de Descartes, mais destinée elle-même à changer de forme avec le progrès des observations. On comprend alors que Newton, qui ignorait complètementlorsqu'il construisaitson optique les phénomènes de double réfraction, n'ait nullement été troublé plus tard par la connaissance de ces faits. Le caractère approximatif qu'il attribue consciemment à toute loi physique lui permettait de laisser le champ ouvert à des expériences ultérieures, expériences d’où pouvait sortir une approximation plus précise du réel. En fait, dans les Questiones Oplicæ, Newton fait appel aux phénomènes de biréfringence pour compléter, au moins hypothétiquement, la théorie primitive qu'il a donnée des couleurs. Cela nous prouve qu'il n'attribuait pas à ses théories la valeur absolue à laquelle prétendait Descartes. Toute théorie physique est perfectible et ne peut être complète à aucun moment.

I n'en peut d’ailleurs être autrement puisque la connaissance des causes est toujours relative. Nous ne pouvons espérer englober dans une formule la totalité des causes qui correspondent à un effet donné. Le seul but où la physique doive tendre, c'est de chercher des formules qui résistent de nueux ‘en mieux à la précision croissante des mesures. Supposons que nous possédions la formule d’une loi en fonction de certaines quantités mesurables. Ces quantités seront, par exemple, la longueur des pendules isochrones à différentes latitudes, la parallaxe de la lune ou du soleil, la longueur du méridien terrestre. Toutes ces quantités varient lentement avec le progrès des observations. Il convient que la formule où elles entrent se vérifie d'une manière de plus en plus complète, à mesure qu'on substitue des valeurs plus exactes. Si la vérification demeure satisfaisante, c'est une preuve que la loi ne dépend en effet que des variables en question.

La plupart du temps, ce n'est pas ce qui se produit. La vérification de la loi pourra se faire d’abord fort bien, mais il viendra un moment où elle restera stationnaire, où il subsistera entrele calcul etles mesures des différences irréductibles. C’est là une preuve que notre point de départ était mal choisi. Nous avons cru enfermer dans notre loi la totalité des conditions de

l'expérience, alors que nous laissions en dehors d’elle tout un ordre de causes efficaces. Ce que nous envisagions comme une formule absolue n'était qu'une formule relative, dont lexpression doit être modifiée de façon à s’accommoder de ces causes nouvelles.

Remarquons qu'il serait imprudent, d'après Newton luimême !, d'introduire dès le début dans une loi physique toutes les causes qui peuvent réellement intervenir. Ge serait commettre l'erreur du mathématicien qui voudrait tracer les détails d’une courbe avant d'en avoir trouvé la forme générale. Il y a toujours lieu de répartir les causes en deux catégories nettement délimitées : celles dont l'effet est sensible, soit qu'on en possède, soit qu'on n'en possède pas la mesure, et celles dont l'effet est infiniment petit, qu'elles soient connues ou inconnues. Le rôle du mathématicien est d’énumérer d’une manière complète non pas tous les éléments de la question, mais CeUXlà seuls qui sont importants. Il négligera donc toutes les causes inconnues, ilréservera pour une approximation ultérieure celles dont l'effet est à la limite de précision des mesures. De la sorte il obtiendra une loi relative, mais une loi susceptible de perfectionnement.

Les services que peut rendre une loi mathématique sont de deux sortes pour le physicien. Elle peut avoir une utilité pratique et une utilité théorique.

Au point de vue pratique, il peut être nécessaire de posséder une loi approchée, voire même une loi fictive, pour introduire un commencement d'ordre dans un phénomène qui semble irrégulier. Ainsi la loi de la réfraction de Descartes, bien qu'elle soit devenue depuis les découvertes de Newton une approximation tout à fait insuffisante, a été extrêmement utile à Newton lui-même dans l'analyse des couleurs naturelles. Pareillement les lois fictives qui nous ont été laissées par les physiciens du moyen âge touchant la compressibilité des fluides ont été le point de départ des recherches plus précises de Boyle et de Mariotte. Chaque fois qu'une loi, même inexacte, à été mise sous forme mathématique, on peut dire qu'elle a une tendance

4, V. De Mundi syst, p. 11. CIn examinanda hac proportione, sunt negligendæ minutiæ, queæ in definiendis orbibus, ex insensibilibus observationis erroribus oriri potuerint, quæve Causis post assignandis tribuandæ sunt. »

BLocu, 25

naturelle à se corriger spontanément. C’est que les nombres appellent le contrôle, et que ordre approximatif sur lequelils reposent se rapproche graduellement de l’ordre objectif.

Mais une loi mathématique offre un autre avantage. La théorie sur laquelle elle se fonde n'est jamais valable que dans des conditions spéciales. Pourtant il va être possible de l’étendre à des conditions très différentes. L'exemple de la gravitation universelle peut servir à faire comprendre ce point. Le théorème des aires n’est établi par Newton que dans le cas de forces rigoureusement centrales. Il semble qu'en dehors de ce cas très restreint nous ne puissions rien dire de la loi de descriplion des aires. Pourtant la continuité va intervenir et nous permettre d’énoncer une loi nouvelle dans le cas oùles conditions physiques sont légèrement différentes. Nous dirons que, sous l’action de forces à peu près centrales, les corps décrivent des aires à peu près uniformes. C'est là une variante qui semble d’abord superflue d’une loi intéressante par sa seule rigueur. C'est pourtant elle qui va permettre de décider si, oui ou non, un corps gravite autour d’un autre. Il suffira de voir si les aires décrites sont approximativement proportionnelles au temps, et cela au méme degré d'exactitude qu'on peut considérer les forces comme centrales.

Dans la théorie des « pulsions » ou des « ondulations » on peut faire des remarques du même genre. La propagation rigoureuse d'ondes sphériques suppose qu'on a affaire à des fluides parfaits, qui offrent partout la même résistance. Si la résistance du fluide est légèrement variable, nous ne constatons plus que des ondes déformées, dont la figure sera quasi-sphérique. C'est justement ce cas approché qui est réalisé dans la nature. Nous sommes certains que les conditions théoriques sous lesquelles un théorème est démontrable ne sont jamais celles qu'on rencontre en physique. Mais il est certain également que les conditions réelles diffèrent très peu des conditions théoriques. Cela suffit pour que la continuité permette d’étendre une loi mathématique des exemples où elle est théoriquement exacte à ceux où elle l'est pratiquement. Il est très remarquable qu'une loi physique puisse ainsi rendre des services dans des cas assez différents de ceux pour lesquels elle était faite. Souvent même on constate que la loi est empiriquement

vraie dans un intervalle plus grand qu'on ne pouvait l’attendre. Il est donc possible, dans un très grand nombre de questions, de soumettre les lois physiques à une véritable différenciation, c'est-à-dire qu'elles sont valables non seulement dans des conditions données, mais dans des conditions qui diffèrent de celles-là de quantités suffisamment petites. C'est là une propriété que les lois physiques doivent directement à leur caractère mathématique, et qui peut permettre de déduire de formules approchées d’autres formules plus approchées encore.

Puisque l’idée de continuité s'applique aux lois physiques, on doit pouvoir leur étendre également les idées de limite qui en dérivent. Et en effet toute loi physique est regardée par Newton comme une loi limite.

Nous touchons ici à la raison profonde qui fait le succès de la physique mathématique. Cette science, nous venons de le dire, ne nous fait connaître que des formules approchées. Elle ne donne pas d'explication totale, mais elle réserve toujours la possibilité d'une explication plus complète. Quel est alors le vrai rapport de la physique avec les faits ? La loi n'est-elle qu’une fiction utile, mais dépourvue de stabilité, que le progrès incessant des mesures doit remplacer tôt ou tard par d’autres fictions ? A-t-elle au contraire une valeur objective, c'est-à-dire comporte-t-elle un élément immuable dont le réel ne s’écarte jamais ?

La réponse à cette question peut s'induire aisément des commentaires dont Newton accompagne l'énoncé de certaines de ses lois. Dans les Principes ?, quand il étudie la loi de propagation des perturbations hydrodynamiques, il parle d'une propagation instantanée des ébranlements. Mais il ajoute que cette propagation instantanée n'est qu'une Jimile que nous substituons par la pensée à des propagations réelles de plus en plus rapides. Semblablement la loi des forces centrifuges qu'un fluide développe dans sa rotation est présentée par Newton comme une Loi limite. C’est celle qui conviendrait à un fluide animé d’une rotation infiniment rapide?. Ilen est de même pour toute loi physique. Elle doit être considérée à proprement par-

4. V. Principes, L. I, S. 7, Prop. XXX VII, p.371. 2. Ibid. Prop. XXXVI, Cor. 4.

ler non comme la loi des phénomènes réels, mais comme la loi d'un phénomène limite dont la réalité s'approche indéfiniment.

C'est ainsi que la désignation de chaque couleur par l'indice de réfrangibilité qui lui est propre ne convient rigoureusement qu'à une couleur idéale, celle qui serait parfaitement monochromatique ou ne comporterait que des radiations d'une seule longueur d'onde. Nous savons aujourd'hui que les faisceaux lumineux les plus ténus comptent encore une infinité de vibrations et ne peuvent posséder qu'un indice moyen. La dispersion mathématique des couleurs n’est donc qu'un phénomène limile, dont Pexpérience s'approche sans l’atteindre jamais. Est-ce à dire que les lois de la dispersion n'aient pas de valeur objective? Cela n’est pas plus vrai pour elles que pour les lois de l'hydrodynamique ou de lacoustique. Toute loi physique, pour être une loilimite, n’en est pas moins une loi objective. il y a un intérêt évident pour le physicien et pour le mathématicien à substiluer aux formules incomplètes qui résument les faits des formules limites trouvées par induction, qui ne correspondent peut-être à aucune réalité, mais sont au moins le type idéal dont la nature s’approche indéfiniment. La difficulté que nous rencontrons ici est de tous points semblable à celle qui se pose dans le domaine mathémalique. Là aussi nous avons un intérêt puissant à substituer des grandeurs limites, — différenelles ou intégrales, — à la suite de grandeurs finies qui s’en rapprochent uniformément. En nous servant des symboles du calcul infinitésimal nous ne portons aucune atteinte à la réalité géométrique. Nous la simplifions seulement et nous la rendons plus distincte par un langage abrégé. Les lois physiques jouent le même rôle par rapport aux phénomènes naturels. Elles sont un langage qui nest pas arbitraire, bien qu'il substitue aux observations concrètes des formules limites quiles symbolisent.

I y a toute une partie de l’œuvre de Newton que nous avons peine à ranger aujourd'hui sous notre conception de la physique mathémalique. Nous voulons parler de ses travaux fragmentaires sur la chaleur, sur les combinaisons chimiques ?,

1. V. Scala Graduum Caloris et Frigoris Phil. Trans. avril 1704, no 270. Ed. Castillon, OEuvres Math. T. LI, Opusce. XXI.

2. V. Disserlalio de nalura Acidorum., Edit. in Præfat. Dictionarii Technici Johannis Harris, Ed. Castillon, T. I, Opusc. XX.

etmême à certains égards de son optique’. Pour les premiers on peut accorder que Newton, malgré son souci de précision, élait hors d'état d'introduire le calcul dans des parties de la science à peine constituées. Ses idées sur la chimie sont extrémement curieuses, on y trouve une tentauive loute nouvelle d'explication des fonctions chimiques au moyen de propriétés mécaniques. Mais Newton ne saurait porterle reproche d’avoir méconnu le caractère quantitatif d'une science qui arrive péniblement aujourd’hui à revêtir la forme mathématique.

La Thermométrie et la Calorimétrie sont elles aussi deux par-

lies de la physique où l'applicalion des mathémaliques est particulièrement délicate. C’est grâce aux travaux de Fourier sur la théorie analytique de la chaleur, grâce aussi aux principes de la Thermodynamique, qu'on arrive aujourd'hui à formuler des lois qui lient les températures et les quantités de chaleur à d'autres grandeurs exactement mesurables. I n'y à rien de surprenant à ce quon ne trouve chez Newton, touchant ce double genre de recherches, que des indications expérimentales. Nous savons pourtant que même en ces matières, Newton croyait possible d'employer le calcul. Les efforts qu'il fit pour trouver la loi mathématique du rayonnement en sont une preuve suffisante.

L'Échelle des degrés du chaud et du froid, telle qu'elle est donnée par Newton dans le pelit opuscule inséré aux Philosophical Transactions (1701) se présente comme un tableau à double entrée. Dans une première eolonne nous trouvons les « degrés de chaleur » (températures) correspondant à un cer- {ain nombre de phénomènes naturels (fusion de la glace, fusion de l'étain, du plomb, ete.) classés suivant une progression arithmétique. Dans une seconde colonne les mêmes tempéra- Lures sontordonnées en progression géométrique. En combinant les expériences avec les nombres donnés par le tableau, on peut déduire, par un cale ulque Newton indique, la loi exponentielle du refroidissement. Inversement, si on admet cette loi 4 priori, elle peut servir à construire le double tableau. En réalité les deux procédés ont été employés simultanément par Newton, el nous avons là un exemple frappant de la manière d'être des

1, Particulièrement dans la 2 partie du second Livre.

lois physiques à leur début. C'est en donnant des tableaux comparatifs de mesures faites dans des conditions différentes qu'on arrive à l'idée première d'une loi physique. Ainsi le thermomètre permet de mesurer, entre des limites assez restreintes, les températures successives d’un même corps à des intervalles de temps égaux. On constate une varialion d’allure exponentielle. Posant alors à priori l'existence d’une loi exponentielle, on l’applique à la détermination des températures par le refroidissement du fer rouge ou de tout autre corps dont le thermomètre ne peut plus donner directement la température. On élargit ainsi le tableau primitif, on l’enrichit de nombres nouveaux, et en se servant de ces nombres on pourra procéder à des vérifications nouvelles. Nous sommes partis d'un simple catalogue de mesures et nous arrivons à une formule exacte dont toutes ces mesures ne sont que des illustrations.

L'idée que les Tableaux Numériques doivent servir de matériaux pour la construction des lois est caractéristique de la méthode de Newton. Sans doute il serait possible de chercher un pressentiment de cette idée jusque dans les tables d'induction de Bacon. Il est certain que Newton avait connaissance des préceptes de Bacon et queles règles suivant lesquelles doivent se préparer les « instances » n’ont pas été créées de toutes pièces par lui. Mais il y a une différence considérable entre les tables baconniennes et les tableaux numériques de l’'Optique ou des Principes. Bacon recommandait de cataloguer les exemples, mas cette classification était surtout descriptive. Lorsqu'il s’agit de trouver par induction quelle est la « forme du chaud » (forma calidi), Bacon dresse bien une table complète des phénomènes calorifiques et de ceux qui leur sont associés. Mais il ne

met pas en évidence dans chacun de ces phénomènes l'élément :

mathématique qui lui sert de mesure. Prenons au contraire les tableaux de Newton. Dans les Principes, la mesure des résistances donne lieu à une échelle de nombres dont on peut tirer aussitôt la loi de proportionnalité au carré de la vitesse ?. Dans l’Optique, l'étude des anneaux est résumée par Newton en un tableau de nombres d'où l’on peut tirer, pour une épaisseur

4, V. Bacon, Novum Organum, L. IL, $ XI-X VII.

d'air quelconque, la couleur d’interférence résultante *. C'est donc la classification des nombres, et non la classification des qualités qui importe à Newton. La loi d'un phénomène ne peut pas ressortir d’une comparaison vague d'un cas à l'autre. Il faut que l'esprit soit guidé par le sentiment de la continuité, et ce sentiment n'est vraiment précis que dans les matières mathématiques.

On arrive alors à cette idée que la physique mathématique ne se fait pas tout d'un coup, mais que l’application du calcul aux lois de la nature passe par des phases successives. Nous avons dit que dans l’Optique de Newton bien des théories seraient difficilement regardées par un savant moderne comme des développements de physique mathématique. Elles ne procèdent pas par combinaisons d'équations, et le caractère mathématique y est plutôt latent qu'exprimé. Cependant Newton considérait expressément le second et le troisième livre de son optique comme des traités mathématiques. Par l’explication des anneaux colorés, «la science des couleurs, nous dit-il, devient une théorie aussi vraiment mathématique qu'aueune autre branche de l'optique »?. A vrai direiln'yade mathématique dans la théorie dont parle Newton que les tableaux numériques auxquels elle donne lieu. Ainsi Newton a dressé une table des diamètres successifs des anneaux chromatiques qui correspondent à des épaisseurs d’air croissantes. Ce tableau lui permet d’apercevoir les lois exactes du phénomène. Il en énonce la formule rigoureuse, mais cette formule n’est nulle part rattachée aux autres formules de l’optique. En ce sens il n'y a pas chez Newton de véritable théorie des interférences. À la différence du physicien moderne, Newton se contente de résumer dans une formule correcte les résultats numériques des expériences, il ne cherche pas à les prévoir en partant de lois déjà connues.

Ce serait un tort de croire qu'à cause de cela l'Optique de Newton fasse vraiment contraste avec l'optique mathématique moderne. Les progrès de la science ont été tels depuis la fin du xvmr siècle, quenous sommes trop portés à Juger sans valeur

1. V. Principes, L. IL $. 7, Prop. XL, Scholie final. 2. V. Queæst. Opt. L. EL Part. I. « Atque hac quidem ratione scientia Colorum fit theoria tam vere mathematica quam alia ulla pars Oplüces. »

tout ce qui n’a pas la perfection des constructions d'un Fresnel ou d'un Cauchy. L'optique et la physique tout entière sont devenues entre les mains des mathématiciens modernes des systèmes tellement cohérents que nous avons peine à nous figurer l'époque où placer à côté de chaque phénomène le nombre qui le mesure élait un progrès essentiel. C'est pourtant par là que devait commencer la « mathématisalion » de la science. Avant d'appliquer à létude de la lumière, à celle du son, à celle de la chaleur, le calcul différentiel et le caleul intégral, il élait nécessaire d'y appliquer la simple arithmétique. Nous savons que l’arithmétique garde sa valeur, même après la constitution de F'Algèbre et de l'Analyse. On ne conçoit pas de mathématiques supérieures qui ne soient un simple prolongement des mathématiques élémentaires. Lorsqu'il s'agit d'appliquer le calcul aux choses physiques, une marche progressive est également nécessaire. Il serait absurde de prétendre adapter tout d’abord à l'analyse des réalités les moins connues l'instrument mathématique le plus délicat. Il faut que l'analyse soit réservée aux questions déjà éclaircies par un emploi rationnel de PArithmélique et de lAlgèbre. Lorsqu'une science est encore à ses débuts, c’est par la partie simple des mathématiques qu’elle doit commencer à devenir mathématique. Après que des comparaisons prudentes de nombres auront permis de dégager des relations simples, il sera permis de donner à ces relations une forme analytique abstraite qu’on vérifiera indirectement. Mais c'est à une phase secondaire'qui doit toujours être précédée d'une période d'épreuve, de préparation. C’est dans celte période qu'il y a lieu de dresser des lableaux numériques, de les analyser et de les comparer. L'usage des tableaux numériques, loin d'être la substitution d’un empirisme grossier aux déductions de la physique mathématique, n’estque la préparaton de cette dernière par la voie la plus naturelle. I fut un temps où l'astronomie elle aussi devait se contenter de dresser patiemment des tables numériques. C’est l'époque des travaux qui ont précédé les grandes découvertes de Kepler. Si Newton a pu substituer l'algèbre, la géométrie, le calcul des fluxions aux méthodes anciennes de l'astronomie, c'est que celle-ci