CHAPITRE II

C’est un fait général dans l’histoire des idées que l'influence exercée par les sciences exactes sur les progrès de la philosophie. Une telle influence n'a pu être douteuse que dans les siècles de mysticisme ou aux époques de bouleversement moral qui ont signalé les crises de l’histoire. Il est clair que le moyen âge, aveuglé par la foi, les contemporains d'Épicure ou de Zénon, désireux surtout de sérénité morale, les poètes-philosophes d'Alexandrie, attendant d'un amour divin toute paix intellectuelle, devaient ailleurs que dans la science chercher d’obscures inspirations. Et encore ne faudrait-il ici affirmer qu'avec réserve. Le labeur scientifique du moyen âge a été plus grand qu'on ne dit généralement!, et son influence sur la philosophie scolastique s’est montrée directe et profonde. Epicure ou Lucrèce, tout en méprisant la science, s'en servent à chaque instant, et l'on peut dire que leur morale même est remplie de physique et de mathématiques. En tous cas, de Platon jusqu'à Kant, chaque système rationnel de philosophie s’est vu accompagné d’un système scientifique nouveau, comme aussi chaque progrès dans les sciences a entrainé une modification dans la vue d'ensemble qu'on se faisait de l'univers.

Il est une remarque qu'il faut ajouter. Si les sciences ont dû quelque chose aux progrès de l'esprit philosophique, c'est presque toujours dans leur partie concrète ou appliquée. Les idées toutes formelles d’Aristote sur la matière et l'être ont marqué d'une profonde empreinte ? les premières recherches sur la

1. Cf. par exemple Cantor, Gesch. d. Mathem, t. IL. 2. Voy. Lange, His{. du Malérialisme, N. I.

physique. Démocrite, par sa théorie du monde autant que par ses essais d'expériences, a été, comme l’a fait voir M. Berthelot, le véritable initiateur de la chimie. L'école néo-académicienne et l’école sceptique ont introduit l'esprit critique en médecine. Les préceptes logiques de Bacon ont servi de règle aux sciences expérimentales.

Au contraire, si nous nous demandons quelles sciences ont aidé le plus au développement des idées philosophiques, nous verrons que, toujours el partout, ce furent les sciences mathématiques. L’arithmétique de Pythagore a donné aux anciens la première notion de l'harmonie naturelle. La géométrie était pour Platon le passage nécessaire de l'erreur à la sagesse. Les progrès de l'algèbre ont amené Descartes à la recherche d’une méthode philosophique possédant à la fois la clarté et la rigueur. Spinoza, Leibniz, Kant ont tiré de leurs idées sur l’étendue les véritables prémisses de leurs systèmes. Il semble qu'il y ait là une loi générale, d’après laquelle les idées de rapports sont les plus propres à servir de base aux autres. La manière dont nous concevons la grandeur, la continuité, les relations de figure, la réalité que nous donnons à nos expressions et à nos formules, déterminent le fond même de nos idées. Le sens des conceptions les plus simples varie selon le cadre où nous les plaçons, et le système qui semblait évident au disciple d’Aristote parce qu'il croyait vivre au centre d’une sphère finie, semblera impossible au philosophe moderne, par cela seul que la géométrie l'a rendu familier avec la notion d’étendue sans limites.

L'invention du Calcul Infinitésimal, qui a rendu possible la théorie des fonctions, est une deces découvertes mathématiques dont le contre-coup était inévitable sur la marche des idées. Si l’on considère la philosophie de Descartes, dont l’auteur croyait à coup sûr qu'elle répondraitpendantlongtemps à toutes les exigences de esprit moderne, et si l’on se demande pourquoi, trente ans après la mort de Descartes. son système n'avait plus d’adhérents que parmi les obstinés ou les relardataires, on est obligé d'admettre l'explication que fournit l’histoire : la méthode de Descartes, entièrement inspirée de ses découvertes mathématiques, avait été un instrument utile tant que ces découvertes ne furent pas dépassées. Sa géométrie, et surtout son

BLocu. 3

algèbre, sa manière de discuter les équations, de classer les courbes, de construire graphiquement les problèmes, étaient autant d'innovations donton ne saurait nier l'importance et qui, avec les travaux de Fermat, ont fait progresser les mathématiques plus que des siècles n'avaient fait. Descartes avait donc eu raison lorsqu'il s’en était inspiré pour trouver une méthode universelle. Sa philosophie, ayant la même certitude que celle dont la géométrie se pique, et profitant à sa façon du progrès immense accompli par cette science, était naturellement faite pour donner confiance. Il était difficile de croire qu'après une réforme si importante ne vint pas une période d'évolution paisible, où la philosophie d’une part, les mathématiques de l’autre, se développeraient spontanément dans le sens marqué par Descartes.

C’est cependant le contraire qui eut lieu. Les mathématiques, orientées par Fermat et Descartes, venaient de recevoir une impulsion qui devait aller en s’accélérant. Comme Descartes avait cru trouver dans l'algèbre l'instrument tout-puissant de la raison, les précurseurs de Newton et de Leibniz, tentérent de chercher dans un symbolisme nouveau le moyen d'aborder des problèmes imprévus. C’est par la physique que commencèrent à se faire jour les lacunes de la théorie cartésienne ; ce sont aussi les hypothèses physiques de Descartes qui amenèrent d'abord la refonte de sa géométrie. Le but essentiel du cartésianisme avait été de rendre les mathématiques immédiatement applicables à la réalité, telle du moins que le concevait l'esprit constructif du maitre. On peut dire que le même but est celui de Newton, puis de son école. Mais l'esprit d’observation propre à celle-ci l'oblige à voir la réalité d'une façon moins simple et moins schématique. Les relations numériques entre les objets, c'est-à-dire l'algèbre proprement dite, ne représentent que l'aspect momentané des choses, l’ordre universel tel que le conçoit l'intuition cartésienne. Les lois du changement et du mouvement ne peuvent s'élucider par FAlgèbre toute seule. La continuité qui y préside a besoin d’une expression spéciale, et c’est la Géométrie Infinitésimale qui va la fournir!.

1. « C'est l'étude scientifique des phénomènes naturels qui avait guidé Newton et Leibniz, comme leurs prédécesseurs, jusqu'à leurs découvertes

L'idée d'une « Géométrie des Infinis » n’était pas absolument nouvelle. Sans remonter aux premiers aperçus que nous ont laissés les anciens eux-mêmes, on sait que dès le xrv° siècle, les géomètres s'étaient préoccupés de l’idée de limite. Campanus! et Thomas de Bredwardin? avaient, semble-t-il, rencontré d'insurmontables difficultés à définir l'angle suivant lequel une droite coupe une courbe, principalement au cas où la droiteest mobile et tend, à la limite, vers l’une quelconque des tangentes à la courbe. Cette difficulté ne fut surmontée que deux siècles plus tard par les travaux de Cardan. Dans son Opus novum de proporthionibus, publié à Bâle en 1570, on trouve la définition rigoureuse de l'angle de contact ou de contingence. C’est l'angle que forme une courbe avec sa tangente regardée comme limite de sécantes infiniment voisines. Une telle notion avait été suggérée à Cardan par l'étude de l'intersection des courbes. Si nous convenons de mesurer l'angle de deux courbes par l’angle des tangentes au point commun, il estclair qu'entre deux cercles par exemple, nous pourrons en insérer une infinité d’autres se coupant sous des angles de plus en plus petits :il suffira de diviser enun nombre croissant de parties égales l'angle des tangentes primitiveset de considérerles droites de division comme les tangentes à des cercles nouveaux. Nous obtenons de la sorte des angles « indivisibles », c’est-à-dire infiniment petits, dont la somme reproduit l'angle donné. Mais que devient la construction si les deux cercles sont déjà tangents? Est-il possible de mener entre un cercle et sa tangente un autre cercle faisant avec la tangente un angle moindre que le premier? Cardan répond très hardiment que tous les cercles intercalés entre un cercle donné et sa tangente forment, aussi bien avec la courbe qu'avec la droite des angles égaux. Ces angles ne sont pas de grandeur finie, ce sont les «indivisibles » de tout à l'heure. Et si l'on demande comment il est possible qu'un angle évanouissant (celui de la sécante et de la tangente) demeure supérieur

définitives : une fois acquises les deux notions d'intégrale et de différentielle, c’est encore l'étude de la nature qui devait en diriger les premières applications. » — Painlevé, le Problème moderne de l'intégration des équations différentielles (Bull. des Sc. Math., T. XXVIIL. p. 193).

1. Jean Campanus de Novare, chapelain du pape Urbain IV de 1261 à 1281.

2, Procurateur de l'Université d'Oxford vers 1325.

à un angJle fixe (celui de la tangente et du cercle), nous dirons que ce dernier, pris à larigueur, est exactement nul. Aussi bien ce qui nous intéresse n'est pas son évaluation directe, c’est la manière dont on s’en rapproche. Lorsque la sécante tend à se confondre avec la tangente, l'angle de ces deux droites tend lui aussi vers zéro, ce qui n'empêche que la variation plus ou moins rapide de l'angle de contingence, c'est-à-dire d'une quantité constamment mobile, peut donner l’idée d’une propriété fixe de la courbe, savoir de sa courbure. Cardan, puis Pelelier, partirent de là pour construire les tangentes et les normales aux courbes.

Vers la fin du xvr° siècle et au commencement du xvr° siècle des considérations d'un ordre tout différent amenèrent les mathématiciens à la nécessité d’une géomélrie infinitésimale. Les sciences physiques et astronomiques se voyaient arrêtées dans leur développement parl'absence de moyens analytiques propres à mener à bout leurs calculs. La découverte du théorème des aires, dont les applications devaient être si fécondes, posa tout de suite le problème des quadratures planes. L'étude des solides planétaires, des volumes de révolution, dont l’astronomie faisait si souvent usage, obligeait à l'emploi de cubatures dont Archimède n'avait pu donner la méthode. De là les célèbres recherches tentées par Képler et Guldin? en vue de mesurer les solides par des méthodes analogues à celles dont Archimèdes’était servi pour évaluer les aires. C’est dans sa Stereometria Doliorum que Képler a donné l'essentiel de ses artifices avec quelques exemples importants (quadrature du cerele, cubature du tore, volumes des solides ayant la forme « d’une poire, d'un citron, d’une olives »). Il est douteux que Képler ait possédé une méthode infinitésimale véritable, et l’on peut supposer que dans bien des cas il avait appliqué à la géométrie

1. « Cum ergo circuli curvitas maneat, et angulus tendat in punctum perpetua diminutione, necesse est ut curvitas circuli impediat divisionem recte. » — Opus Novum de Proportionibus, L. XNI, De subtilitate.

2. Paul Guldin (1577-1643), né à Saint-Gall, débuta comme orfévre, puis entra dans l’ordre des Jésuites (1597). 11 enseigna à Rome, à Vienne et à Graz. C'est dans l'ouvrage en 4 volumes intitulé Centrabaryca (1635-4641) qu'il énonça la fameuse « règle de Guldin » destinée à ramener aux quadratures les cubatures de révolution.

3. Voy. Opera Kepleri, Ed. Frisch, T. IV, p, 551-646, et Chasles, Aperçu Hislorique, p. 56.

un procédé de tâtonnement et d'approximation semblable à celui qu'il employait en astronomie. On sait que les lois portant son nom ont été le fruit d'inductions laborieuses, fondées sur l'accumulation des expériences. Il semble admissible qu'un tel observateur, plus soucieux de vérification que de démonstration, ait cherché à essayer des formules dont l'expérience lui fournissait le contrôle. Il ne prétendait pas, de son propre aveu, être « apodictique », et il a énoncé parfois des théorèmes inexac{s en invitant d'autres à en chercher la démonstration. Ce qu'il faut reconnaître chez Képler, ce n’est donc pas un pressentiment exact du calcul infinitésimal, c’est plutôtun ensemble d'intuitions heureuses, qui ne tarderont pas à être reprises et précisées. On peut citer comme particulièrement curieuse la relation dont il se servait pour la mesure des zones sphériques, et qui équivalait à l'intégration formelle de sino!. Mais nous devons signaler surtout son interprétation des maxima et des minima, qui allait être le point de départ des travaux de Cavalieri et d’Huyghens.

C'est encore Le besoin de la mesure, l'étude des solides présentant le volume le plus grand sous une surface donnée qui a obligé Képler à traiter dans sa Doliométrie? des conditions analytiques du maximum ou du minimum. Aux environs d’un maximum ou d'un minimumla variation d'une courbe commence par devenir insensible *. A la différence de ce qui se produit dans le voisinage d'un point ordinaire, l'accroissement d'une quantité qui approche d'un maximum ou d'un minimum est d'autant plus petit qu’on est plus près de l'avoir atteint effectivement. Dans le langage qui s’est généralisé depuis, nous traduirons fidèlement la pensée de Képler en énonçant cette formule :

Aux environs d'un maximum, les décréments de la fonction sont des infiniment petits du second ordre ; il en est de même

1. La somme des sinus des arcs de {°, 2, , v, est égale au sinusverse de w, ou, en langage moderne : ? sin © ns = \cos 6: Voy. Günther, Ueber eine Merkwürdige Beziehung zwischen Pappus und Kepler (Bibliotheca Mathematica d'Enestrôm, 1888, p. 81-87). 2. Opera Kepleri, IV, 602-612.

. Q In iis articulis, in quibus a minori ad asian iterumque ad minus

fit Funun, lege aliqua cireuli, semper est aliquousque insensibilis illa differentia, ». Doliometria, P. II, Th. 27.

de ses incréments au voisinage d’un minimum. La variation (differentia) d’une quantité qui oscille périodiquement entre une série de maxima et de minima s’annulle aussi périodiquement dans chacun des intervalles qui sont parcourus. On voit que Képler, guidé sans doute par le sentiment de la continuité, était arrivé presque d’instinct aux résultats qui seront établis bientôt par Huyghens.

L'École Italienne, inspirée également par le souci de satisfaire aux exigences de la physique, s'était orientée dès la fin du xvi° siècle vers la géométrie des indivisibles. Les mémorables travaux de Galilée, de Toricelli etde leurs élèves, eurent pour effet d’aiguiller les recherches vers l'analyse des grandeurs continues. L'importance pratique de la gravité, l'expression, mathématique des lois que Galilée en avait données", la tentation d'analyser par le calcul les trajectoires des mouvements curvilignes, étaient autant de raisons qui devaient diriger les géomètres vers des applications mécaniques. La théorie du centre de gravité leur permettait de donner une signification concrète aux quadratures les plus simples, comme inversement les considérations de symétrie qu’on tirait de l'étude de la pesanteur devaient donner des indications précieuses pour faciliter certains cas de sommations.

Cavalieri publie en 1635 sa géométrie des indivisibles, Geomelria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota. Nous savons que cet ouvrage a été connu de Galilée, avec qui Cavalier: entretint une correspondance, malheureusement mal connue, d’où il résulte pourtant qu’en 1626 le géomètre italien possédait déjà tout l'essentiel de sa méthode. L'originalité de Cavalieri se montre surtout dans le rôle qu'il assigne aux indivisibles. Il n’est pas le premier qui ait songé à envisager une figure comme la somme d'éléments infiniment petits, mais il estle premier qui ait interprété d'une façon rigoureuse le sens de ces indivisibles. Ce sont des éléments de comparaison qui ne doivent figurer que dans des rapports. Si nous leur donnons une existence absolue, nous retombons dans

1. «C'est en différenciant que Galilée déduit de sesexpériencessurle plan incliné les lois de la pesanteur, que Newton déduit des lois de Képler le

principe de la gravitation universelle. » — Painlevé, le Problème moderne

de l’inlégralion des équations différentielles (Bull. Sc. Math. T. XXNIIH, 193).

les difficultés que les sophistes anciens avaient déjà aperçues et que les artifices des géomètres modernes n’ont pas suffi à lever. Il est impossible de comprendre qu'une somme de quanütés nulles soit finie, et si ces quantités ne sont pas nulles ou ne voit pas ce que leur petitesse peut ôter de leur complexité. La vérité est que les indivisibles, ou éléments des figures, comme tousles autres symboles successivement introduits par les géomètres, n’ont et ne peuvent avoir qu'un sens relatif.

De même qu'on a institué des unités finies pour mesurer les quantités constantes, de même il faut des unités infiniment petites pour mesurer des quantités variables. L'introduction des nombres fractionnaires a permis d'évaluer l'aire d'un carré quelconque à l’aide d’une unité de même espèce et de ses sousmultiples, c'est un besoin de mesure analogue qui a fait créer les infiniment petits. Comme la longueur d’une ligne n’est susceptible de mesure que sur un espace assez restreint pour qu'on puisse l y considérer comme homogène, il faudra se servir d'unités très petites, grâce auxquelles cette homogénéité sera respectée. Comme l'aire d'une surface change de nature lorsqu'on se déplace sur la surface, il faudra employer des étalons superficiels assez petits pour s’appliquer sans erreur appréciable dans les régions où la surface reste uniforme. Ces étalons infinitésimaux, ces éléments d’aire et de longueur, disparaîtront finalement du calcul, où ils n'auront servi que d'intermédiaires, comme dans la géométrie ordinaire l'unité choisie n'intervient jamais dans l'estimation relative des grandeurs. Comparer les rapports des figures, au lieu de comparer les figures elles-mêmes, telle est la grande innovation de Cavalieri. Il énonça le premier théorème de calcul intégral qui fût à la fois rigoureux et fécond : les rapports de deux volumes finis sont les mêmes que ceux de la somme des volumes élémentaires qui les composentt. Par là il admettait à la fois la réalité du continu et la possibilité de sa mesure. Malgré l'obscurité de ses écrits, il contribua plus qu'aucun autre par sa Géométrie des Indivisibles comme par ses Exercices de Géométrie au développement de la science nouvelle.

Fermat, qui fut en tout un inventeur, ne semble avoir connu

1, Géométrie des Indivisibles, L. II, prop. 8.

qu'assez tard les travaux de Cavalieri. C'est par le Père Mersenne, semble-t-il, qu'il fut mis en relation avec lui, et nous avons de Fermat un opuscule de 1644, sans grande portée, où sont résolues quelques questions de Cavalieri !. Bien avant cette date, Fermat était en possession d’une méthode extrêmement profonde et générale, par laquelle il avait abordé avec succès la plupart des problèmes de géométrie analytique. La quadrature non seulement de la parabole, mais des paraboles ethyperboles d'ordre supérieur, la cubature du paraboloïde de révolution, la rectification de la cissoïde et de la spirale sont un exemple des résultats auxquels Fermat s'était élevé?. Sans examiner la question de savoir si c’est à lui véritablement qu'il faut faire honneur des premières méthodes du calcul intéoral, ilnous suffira de signaler uneinvention, d'apparence secondaire, en réalité plus importante que tout ce qui avait été fait Jusquelà. C’est celle de la notation différentielle, dont Fermat faisait un emploi méthodique.

Fermat est le premier qui ait fait servir l'algèbre à la désignation de ces grandeurs évanouissantes qui doivent s’éliminer à la fin du calcul. Nous verrons bientôt qu’une des parties essentielles de l'œuvre de Newton, une des causes les plus précises de son conflit avec Leibniz, fut la question de la notation infinitésimale. Nous envisagerons à ce moment la portée philosophique de cette question. Retenons seulement que Fer-mat, dans la recherche des maxima et des minima, se servait d'un symbole toujours le même, la lettre £, pour désigner l’accroissement infiniment petit de la fonction. Si, par exemple, nous voulons chercher les valeurs de l’abscisse qui rendent l'ordonnée d’une courbe maxima, nous appellerons À cette ordonnée, À + £ l'ordonnée infiniment voisine et en nous servant de la « propriété caractéristique » de la courbe, c'està-dire de son équation, il nous suffira d'écrire que ces deux valeurs sont égales pour obtenir une formule, divisible par £, d'où l’inconnue se tire algébriquement. Remarquons que la notation de Fermat présentait à la fois un avantage et un inconvénient, En employant des lettres analogues pour désigner les

1. Œuvres de Fermat, Ed. P. Pannery et Ch. Henry, T. 1, p. 195. 2. Cf. Cantor, Gesch. d. Math., T. II, p. 785 sqq.

quantités ordinaires et les infiniment petites, il montrait clairement que les mêmes règles sont applicables aux unes et aux autres et que le « calcul des infinis » n’est qu'une extension naturelle de l'algèbre. Mais en n’affectant pas d’un signe disüncüf les grandeurs qui décroissent indéfiniment, il rendait malaisé le calcul des accroissements, sitôt qu’ils ne dépendent plus d'une manière tout à fait simple de la variable indépendante,

Malgré cela il est juste de dire qu'après la décomposition des figures en éléments simples, telle que l’enseignait Cavalieri, après l'évaluation des volumes et des aires, telle qu'on la trouve chez Képler et Guldin, il ne manquait plus qu'une notation appropriée pour donner au calcul nouveau toute son ampleur. Cette notation, Fermat l'a trouvée, et on peut dire que s'il l'avait choisie plus commode, il était capable de pousser ses découvertes aussi loin que le firent Newton et Leibniz. Comment se fait-il donc que vers 1635, à une époque où le calcul infinitésimal s'était presque constitué de lui-même, un esprit comme celui de Descartes ait apparu sans rien ajouter à cette partie de la science ? Comment s'expliquer que l'Algèbre et la Géométrie proprement dite aient seules profité de ses recherches, alors qu'aussitôt après sa mort, Pascal en France, Newton et Leibniz en Angleterre et en Allemagne devaient reprendre et pousser jusqu’au terme les travaux de Cavalier: et de Fermat ? Il y a à celà des raisons hisloriques que nous comprendrons si nous analysons l'esprit de la Géométrie Cartésienne et si nous voyons les rapports étroits qui la relient à sa philosophie.

La Géométrie Analytique passe pour être l'invention propre de Descartes. Il y a là une idée si accréditée qu’il en faut chercher l’origine dans un fait réel. Descartes a su, mieux que ses prédécesseurs, employer les ressources de l'algèbre à la discussion des problèmes géométriques. Mais n’entend-on par Géométrie Analytique que la désignatio: des longueurs par des lettres ? Il semble que le principe de cette science, telle que nous la concevons aujourd’hui, soit tout autre chose. Remplacer l'étude d’une courbe par celle d’une équation, tel est le véritable rôle de la Géométrie Analytique. On comprendra mieux cette définition en se reportant à ce qui se passe dans le plan.

Si nous traçons dans un plan deux axes rectangulaires et que nous convenions de représenter par un point l’ensemble de deux grandeurs corrélatives x ety, supposées égales (en grandeur et en signe) aux distances qui séparent le point des axes coordonnés, nous voyons que toute succession continue de valeurs attribuées à æ et y aura son image dans le plan, et cette image correspondra point par point aux solutions de l'équation. Le même fait se reproduit dans l’espace, et pour un géomètre moderne il est presque inconcevable que la géométrie analytique plane ne se complète pas immédiatement par la géométrie analytique à trois dimensions. L'une et l'autre, en tous cas, impliquent le continu. Elles admettent, comme on l'a démontré depuis, que la manière d’être d’une courbe ou d’une surface algébrique dans le voisinage, si proche soit-l, d’un de ses points, permet de juger de la façon dont elle se comportera en un point quelconque’. Les propriétés de contact, de courbure, de double courbure, sont susceptibles d’une expression générale, valable en tous points, sitôt qu'on possède l'équation de la figure, ou, comme le disait Fermat, sa « propriété caractéristique. » C’est parce que les solutions d’une équation à deux variables forment, sauf l’exception apparente des points critiques, un système uniforme et continu de valeurs, que nous sommes assurés de trouver d’un bout à l’autre de la courbe la conservation des mêmes propriétés géométriques.

Si maintenant une ligne doit jouir de deux propriétés géométriques distinctes, nous aurons à chercher les deux équations générales qui expriment les propriétés algébriques équivalentes et un simple calcul d'élimination remplacera le tracé de la ligne demandée. L’Algèbre se présente de la sorte comme un substitut des difficultés géométriques. Ce sont les problèmes qui apparaissent comme difficiles, soit par la complication de leur énoncé, soit par l’incommodité de leur construction, que nous essayons de tourner par l’Algèbre. Au fond la nature du problème n’est pas modifiée par le langage sous lequel on l'énonce, et pourtant il y a une différence essentielle entre le cas où nous avons à grouper des données géométriques et celui où il faut discuter des formules algébriques. Les premières

1. Voy. Hadamard, La Série de Taylor el son Prolongement analytique, chez Naud, 1900.

és ESS SRE CE Fa

forment un système d'éléments discontinus, qui sont suscepüibles d'une combinaison et d’une seule, en dehors de laquelle ii n’est pas de solution. Cette combinaison pourra apparaître d'emblée à un esprit familier avec l'usage des figures, mais il n'existe aucune règle certaine pour la distinguer des combinaisons stériles. Au lieu de cela le système d'équations représente une continuité parfaite. La combinaison des variables qui y figurent est assujettie à des règles fixes, et nous pouvons toujours, au moins théoriquement, obtenir sans effort d'invention le groupe des nombres qui les rendent compatibles. C’est LB ce qui fait la vraie valeur de la Géométrie Analytique. Elle ne représente pas les équations par des courbes, mais les courbes par des équations. En d’autres termes elle n’a pas à construire, par desmoyens géométriques, les racines communes à plusieurs équations, elle doit suppléer bien plutôt à l'insuffisance de nos moyens graphiques, en remplaçant la construction des lignes par la détermination des nombres qui les

mesurent. Ce qui rend le second problème plus aisé à résoudre

que le premier, c’est l'idée de la continuité, que la géométrie élémentaire admet sans doute, mais dont elle ne sait pas profiter. Avec la notion de variable et celle de fonction, l' Algèbre peut précisément faire l'analyse du continu et la Géométrie Analytique est le résultat de ce travail.

Les coordonnées rectangulaires, dont on 2 parlé plus haut, portent souvent le nom de coordonnées cartésiennes, Descartes a eu la notion très nette de l'emploi qu’on en pouvait faire, bien qu'il n'en indique nulle part la définition générale. Il est bien certain qu'avant lui l’idée des ordonnées ou appliquées, c'est-a-dire des droites parallèles limitées d’une part à lacourbe, d'autre part à une droite fixe appelée régle ou base, a été utilisée par les géomètres du xvr et du xvu* siècle’. Descartes lui-même ne va pas plus loin. Il n'est pas parvenu à l'idée de la correspondance réciproque entre les abscisses et les ordonnées et nulle part dans sa géométrie on n’entrevoit nettement l'idée de fonction. Si la Géométrie Analytique de Descartes était vraiment ce que nous appelons de ce nom, il est évident qu'elle devait commencer par Féquation de la ligne droite. Or il est

4. Voy. Cavalieri, Géométrie des indivisibles, L. IN. — Kepler, Opera, IV, 5

remarquable qu’en aucun endroit on ne trouve chez Descartes cette équation si simple. La formule :

UT + Vy + W = 0

se rencontre pour la première fois dans le traité classique de l'Hôpital, le premier ouvrage d'enseignement où la Géométrie Analytique figure d’une façon complète.

Descartes ne se préoccupe nullement de donner l'équation qui correspond à chaque espèce de courbes, et d'étudier sur l'équation, par la voie générale, les propriétés que la géoméui? établit dans des cas particuliers. Les inconnues qui figurent dans les formules de Descartes ne sont jamais envisagées comme des variables, au sens moderne du mot. Les équations ne sont pas traitées comme renfermant sous une forme cor densée l'ensemble des valeurs qui répondent au continu géométrique. Descartes tout au contraire, malgré le mépris qu'il professe pour la méthode des anciens géomètres, résout par une voie qui est neuve des problèmes posés à la façon des anciens. Quel est pour lui le sens d’une question ? Un problème mathématique revient toujours à un problème de construction. Ce que l’on demande à l'analyste, comme ce qu’on demande au géomètre, c'est de tracer une ou plusieurs longueurs dont la position permettra de construire, autant que possible par la règle et le compas, d'autres longueurs quisont les inconnues ?. Aiïnsi la construction de certains segments, déterminés en grandeur et en signe, est le but dernier de la géométrie cartésienne. Quand la règle et le compas ne suffisent pas, d’autres courbes sont indispensables. Mais l'intérêt que ces courbes présentent ne réside pas dans les propriétés générales communes à tous leurs points. Il réside dans le moyen qu'elles fournissent de découper une grandeur déterminée sur une