Cf. Méthod. Flux. p

« … Problematis sensum esse, quod velocitate motus data ad quodcumque temporis momentum, spatium descriptum per totum tempus est determinandum ».

récentes émises par les modernes !. On va voir quelle simplification Newton a introduite dans la science en mesurant indirectement la croissance à l’aide d'unités mécaniques, et non, comme on peut essayer de le faire, d'une manière directe au moyen de l'algèbre.

Si nous considérons les valeurs successives que prend une fonction quand la variable augmente, on peut se demander comment la fonction se comporte quand la variable croît indéfiniment (on suppose que la fonction demeure définie). On peut aussi, au lieu de faire croître la variable indéfiniment, la faire tendre uniformément vers une limite finie. Dans les deux cas, la question se pose d'évaluer la croissance ou la décroissance de la fonction. La notion intéressante développée de nos jours, c'est qu'il est possible de se faire une idée de cette croissance ou de cette décroissance en la comparant à des types canoniques de fonctions croissantes ou décroissantes. Supposons par exemple qu'il s'agisse d’une fonction régulière, dont le développement en série de Taylor soit connu dans le voisinage d'un point, on saura que son type de décroissance, lorsque æ tend vers la valeur zéro, est le même que celui de la variable ou d’une puissance positive de la variable. Si l'on étudie une fonction entière dans le voisinage du point à l'infini, il pourra arriver que son type de croissance soit le même que celui de l’exponentielle, ou que celui d'une transcendante croissant plus vite que l’exponentielle. D'une façon générale il sera possible d'instituer une « échelle de croissances » ou un tableau de fonctions types, dans lequel viendront se placer, directement ou par interpolation, toutes les fonctions qui se rencontrent dans le calcul. Dans cette conception, la comparaison des grandeurs au point de vue de la croissance relative peut se faire d'une manière purement algébrique. C’est un problème de classification, entièrement indépendant de la notion de vitesse.

Newton n'a pasle moindre pressentiment d’une classification de ce genre, et l’on peut ajouter qu’au point de vue pratique cette lacune a eu des effets heureux. Si les premiers efforts de la science s'étaient portés sur une comparaison théorique des fonctions, il est extrèmement vraisemblable que vu le petit

1. V. Borel, Mémoire sur les Séries Divergentes, Ann. de l’École Normale Sup. 1899.

nombre de fonctions connues à celte époque, on n’eût obtenu aucun résultat. Au lieu de cela, une variété immense de problèmes mécaniques se présentaient comme pratiquement donnés et nécessairement résolubles. Dans ce domaine l'accroissement des distances, la limite des vitesses, le rapport des espaces, etc., soulevaient des problèmes de mesure qui obli- | geaient à faire choix d'un mouvement canonique, type régulier de changement, auquel les autres puissent se comparer. Or ce type normal de croissance nous est offert par la nature même. C’est la croissance uniforme et illimitée du-temps pendant lequel le mouvement s'effectue C’est à ce type que nous rapporterons les autres, et nous sommes assurés que cette comparaison est possible, puisque tout ce qui ne varie pas uniformément s'écoule dans le temps, qui lui varie uniformément. Nous avons là une véritable règle, qui peut servir à l'évaluation de changements même irréguliers. Transportons cette notion de temps dans le calcul des Fluxions. La croissance uniforme et continue pourra se comparer à la fluxion du temps, pris non pas formellement, mais métaphoriquement. La croissance irrégulière ou non-uniforme secomparera aux vitesses variées qu'on rencontre dans les problèmes mécaniques ‘. De toute façon, la comparaison des fluxions prend un sens simple et concret, que l'algèbre proprement dite ne pouvait suggérer tout d’abord.

Le calcul infinitésimal, du moment qu'il s'inspire d’analogies mécaniques, ne peut-il être accusé de manquer de rigueur ? Les lois du mouvement ne nous sont connues que par des expériences approchées, et si ces lois doivent nous guider dans la solution des problèmes abstraits, ces problèmes eux aussi ne seront résolus que d'une manière approchée. La vitesse est accessible à nos sens d’une manière assez grossière. C’est une

4. Cf. Méth. Flux. p. 54. « Cum autem hic Tempus tantum considerandum veniat, tanquam expositum etmensuratum æquabilimotu locali, et, præterea, cum solæ quantitates ejusdem generis invicem comparari valeant, ut et velocitates quibus augentur aut minuntur; ideirco in iis quæ sequuntur, Tempus formaliter non considero, sed suppono quod una ex proposilis quantitatibus homogenea cum aliis crescat æquabili fluxu, ad quem cætereæ, tanquam ad Tempus, referantur, quæ ideo per analogiam haud inconcinne dici potest Tempus, Quoties igitur vox Tempus in sequentibus invenietur (eam autem sæpiuscule usurpavi perspicuitatis et distinctionis causa), hoc verbum sumendumest non quasi Tempus intellexissem in sua formali significatione, sed tanquam significans quantitatem illam a Tempore diversam, cujus æquabili Incremento vel Fluxu Tempus exponitur et mensuratur ».

moyenne qu'ils établissent entre les valeurs instantanées de la vitesse vraie. Rien ne nous assure qu'un observateur subtil, doué de sens plus délicats que les nôtres, verrait entre l’espace, la vitesse et le temps les mêmes relations que nous croyons constater. Peut-être même que le fait d'une vitesse toujours bien définie cesserait d’être évident pour lui. En tous cas même pour nous, si toutes les vitesses des corps observables étaient augmentées d'un même nombre, rien ne semblerait changé dans l'univers, car l'observation ne saisit jamais le mouvement absolu. Si toutes les vitesses se trouvaient soudain multiphiées dans le même rapport, il n'est pas certain non plus que nos sens le remarqueraient, car les rapports les frappent bien plutôt que la grandeur absolue des termes. Devons-nous donc renoncer tout à fait à la comparaison féconde des fluxions et des vitesses ? Devons-nous simplement reconnaitre dans le calcul infinitésimal une part de relativité aussi grande que celle qu'on rencontre en mécanique ? C'est à ce dernier parti que se range Newton.

Le calcul infinitésimal n’est pas un calcul erroné, mais c’est un calcul relatif. Les erreurs que nous commettons en évaluant l'aire d’une courbe, lorsque nous assimilons les moments successifs à des rectangles parfaits, nous sont exactement connues. S il n'est pas commode de les calculer, nous savons du moins avec certitude que leur somme ne dépasse pas un certain nombre et va diminuant de plus en plus. Quant nous parlons des vitesses successives qu’un corps possède aux différents points de sa trajectoire et quand nous nous en servons pour déterminer la position qu'il atteindra dans un temps donné, nous faisons un calcul approximatif si l’on veut, mais non un calcul erroné. Le calcul est approximatif au début, parce que nos sommations portent sur un nombre d’intervalles borné (quoique très grand), mais il finit par être rigoureux une fois que nous passons à la limite, puisque la somme des erreurs commises tombe au-dessous de toute grandeur assignable.

En mathématiques, il ne faut négliger aucuneerreur, si petite soit-elle !. Mais le nom d'erreur ne convient pas aux approxima-