Arith. Univ., p. 2 n21b1d

rations. Malgré cela il lui est impossible d’y voir de simples conventions. Il est peu conforme à la réalité de séparer l'opération de son objet, afin d'en étudier les propriétés abstraites. En fait, l'addition algébrique nous est suggérée par la nature ; les lignes et les longueurs s’additionnent de la même manière. La multiplication n’est pas, comme les mathématiciens la présentent, une addition généralisée. Elle aussi est réalisée dans la nature. La multiplication des lignes par le mouvement engendre un rectangle, et cette opération géométrique, modèle et type de l'opération abstraite, jouit des mêmes propriétés qu’elle. C’est une tendance fâcheuse de présenter l’Arithmétique comme tirant d'une seule formule tout son développement : cela supposerait que le discontinu a seul frappé l'esprit humain, et que la numération des quantités est son unique besoin. Au lieu de cela, il est évident que la mesure du réel, laquelle implique le continu, justifie d’une manière plus profonde l’évolution de la science. La génération du nombre entier, comme la génération des nombres les uns par les autres, sont avant tout le résultat des tentatives qu'a faites l'esprit humain, pour obtenir un accord croissant entre sa pensée et son milieu.

Il est arrivé souvent que cet accord n'ait pu s'établir d’un seul coup pour tous les cas. Par exemple, les règles de la soustraction et de la division se sont trouvées en défaut lorsqu'il s’est agi de soustraire un nombre plus grand d’un nombre plus petit ou de diviser un nombre donné par un nombre premier avec lui. Comment maintenir la généralité des opérations en face de ces impossibilités particulières ? Il suffira, dit-on, d'une convention : j'appellerai nombre négatif celui qui, ajouté à un nombre quelconque, donne une somme moindre que ce nombre; J'appellerai nombre fractionnaire celui qui, sans être entier peut être rendu tel à l'aide de la multiplication par un facteur convenable. Mais cette façon de présenter les choses ne fait comprendre ni pourquoices conventions réussissent ni pourquoi elles réussissent seules. Il se pourrait que des conventions différentes, voire même contradictoires, aboutissent aux mêmes avantages ; etnous savons aujourd’hui que notre arithmétique, loin d’êtrele seul système conventionnel possible, figure comme un exemple entre mille de systèmes complets de théorèmes.

Si donc nous voulons saisir la raison de son utilité, il faut en chercher l'origine dans le voisinage de l'expérience. Que fait l’arpenteur ou le maçon qui veut mesurer la différence de deux longueurs : 1l déplace le zéro de sa règle jusqu’à le faire coïncider avec l'extrémité de l'une d’elles ; si ce déplacement est impossible, il sera obligé de compter les divisions de sa règle en sens inverse du sens ordinaire, et au lieu de les retrancher illes ajoutera!: c'est l’origine des quantités négatives. Que fera le même ouvrier si les dimensions de son échelle ne lui permettent pas une évaluation précise? Il procédera à un changement d'échelle, ou, si l’on préfère, à un changement d'unité. Les nombres qu'il ne pouvait évaluer tout à l'heure deviennent à présent des nombres entiers. C'est l’origine des grandeurs fractionnaires. Ainsi l'idée de sens sur une droite?, l’idée du changement d'unité, qui traduisent au fond toutes deux des expériences concrètes, interviennent aux débuts même de la science arithmétique. Ceci nous apprend déjà que cette science est solidaire des autres sciences mathématiques, et qu'il y a de la géométrie jusque dans celte proposition : 2 moins3 font —1. Mais nous en inférons surtout que le développement de la science du calcul, loin d’être lié à la seule rigueur d’une nécessité interne, implique une large part d'expérience acquise.

Arrivés à ce point, nous comprendrons sans peine la manière dont Newton introduit les nombres irrationnels. On vient de voir, lorsqu'il s’agit des quantités négatives ou fractionnaires, que le procédé employé pour les définir n'est pas la convention pure et simple. C’est l'extension à des grandeurs nouvelles de procédés de mesure éprouvés dans les cas connus. Il est important en effet, si les objets varient, que les procédés de mesure restent les mêmes, ce qui oblige, chaque fois que l’on crée une classe nouvelle de nombres, à y faire rentrer les classes anciennes comme cas particuliers. Les opérations sur les quantités négatives ou fractionnaires jouissent de toutes les propriétés des opérations sur les entiers positifs * ; elles ont été

4. En d'autres termes, il remplace la différence a — b par la somme 4 + (1 — b), où ? représente la longueur de l'étalon employé. Ceci est légitime si la différence mesurée est connue & priori à moins de { près, condition qu'on peut supposer toujours réalisée,