Voy. Arith. Uriv., p

3. Propriété additive, propriété commutalive, propriété distributive.

créées en quelque sorte pour transformer ces nombres en entiers posiufs, et l’on peut dire que leur objet est de tourner, par une voieindirecte, un problème insoluble directement. L'introduction desirrationnelles représente une phase nouvelle dans le déplacement des difficultés.

Ici encore il sera important de maintenir les propriétés des opérations fondamentales, tout en en favorisant l'extension à un domaine plus vaste. La multiplication peut se définir comme la recherche d’un nombre X qui soit à un nombre donné M comme un autre nombre #» est à l’unité. On l’exprime par l’égalité suivante :

On peut démontrer qu'une pareille opération est {toujours possible, c'est-à-dire qu’elle amène toujours à un nombre de méme espèce que les nombres donnés : si »% et M sont des nombres rationnels de signe quelconque, il existera toujours un nombre rationnel et un seul, de signe déterminé, satisfaisant à l'équation (1). Supposons maintenant que lenombre X soit connu, et que l'un des deux nombres #% et M, supposés égaux, soit à déterminer. C’est le cas général de l'extraction des racines carrées, et ce cas oblige parfois à une opération impossible. Il serait facile de s’en tenir là, c’est-à-dire de constater l'impossibilité sans faire aucune convention nouvelle, si nous ne savions par l'expérience que notre problème a un sens. Car il nous suffit de construire un triangle rectangle dontl'hypothénuse soit X et la projection d'un autre côté sur elle égale à 1 pour que la longueur de ce côté réponde à la question. Orles règles del’extraction des racines permettent de trouver rationnellement » tant que X est un carré parfait. D'autre part le sentiment de la continuité nous assure qu'un problème résoluble dans des cas aussi voisins qu’on le veut doit l'être aussi dans les cas intermédiares. Il s'en suit que l'existence des irrationnelles, par exemple de V 2, loin d'être un fait de convention, correspond au contraire à une notion d'expérience. Ce qui peut présenter quelques difficultés, c'est la mesure effective des irrationnelles, à l’aide des unités rationnelles, si l'on veut rester fidèle aux procédés déjà usités. Mais ici encore une simple extension de la méthode d’approximation employée pour l'évaluation des.

quantités fractionnaires permettra d'arriver au but!. C’est le vrai sens de l'algorithme d'Euclide, qui montre immédiatement la différence des cas où la grandeur est incommensurable et des cas où elle est commensurable ; pour les uns, il se poursuit indéfiniment, pour les autres, il se termine de luimême.

Pourtant l'apparition des incommensurables marque quelque chose de plus : c'est le passage précis de l’Arithmétique à l'Algèbre. Bien qu’il n'y ait de différence absolue entre les nombres rationnels et les irrationnels ni au point de vue del’origine ni au point de vue de l'application, il faut remarquer qu'une irrationnelle ne pouvant se déterminer que par une suite infinie d'opérations, doit nécessairement être affectée d’un symbole provisoire. L'usage des notations algébriques, qui semble superflu tant qu'on reste dans le domaine des opérations rationnelles, s'impose immédiatement dès qu'il s'agit des nombres « sourds ». En les désignant par une lettre spéciale, nous rappelons qu'ils ne peuvent s’évaluer au moyen d'un nombre fini d'opérations, en même temps qu’il nous devient possible, grâce à la méthode des coefficients indéterminés, de les faire entrer dans des équations algébriques, qui serviront peut-être à les préciser.

Les nombres imaginaires n'étaient pas connus du temps de Newton. On s'était aperçu bien souvent qu'une équation pouvait n'avoir aucune racine réelle, et Descartes lui-même avait désigné sous le nom de racines fausses toutes celles qui impliquent un radical carré portant sur une quantité négative. Mais on s’accordait à considérer ces racines comme des indices d'impossibilité. C'est seulement avec les progrès de la théorie générale des équations, grâce aux travaux de d'Alembert et de ses successeurs, qu'on s'accoutumera à voir dans les racines imaginaires des quantités susceptibles d'être interprétées. L’aloèbre de Newton ne semble pas sur ce point différer de celle de Descartes. L'absence de racines réelles ne nous apprend qu’une chose, c’est que nous avons affaire à un problème inso-

4. Voy. Lecliones oplicæ, prop. XIV, lemme VE cor. Ie « Rationum, similitudines quæ quantitatibus commensurabilibus conveniuntindefinite, eo nomine conveniunt etiam incommensurabilibus similiter affectis, quem admodum ex Euclidis definitione similium rationum ostendi potest. »

luble. « I faut bien que dans les équations il y ait des racines impossibles, sans quoi, dans les problèmes, certains cas impossibles se trouveraient possibles !».

Pourquoi Newton n’a-t-il pas, comme on devait le faire plus tard, cherché à créer une nouvelle classe de nombres, les nombres complexes, pour rendre réalisables des opérations impossibles autrement: 11 lui suffisait d'un symbole nouveau appliqué aux racines «fausses », et permettant l'extension naturelle des règles ordinaires du calcul, pour aboutir au nombre imaginaire, comme il avait rencontré déjà le nombre fractionnaire et le nombre irrationnel. Une telle généralisation nous semble aujourd'hui aisée. De simples considérations de symétrie nous persuadent qu'une équation donnée doit avoir, dans tous les cas, le même nombre de racines. Mais c’est là une vue synthétique que ne pouvait avoir l'algèbre à ses débuts. Chez Newton particulièrement, pour qui l'algèbre marche de pair avec la géométrie, toute généralisation du calcul doit avoir son fondement dans une mesure concrète. On comprend aisément qu'il faille des nombres nouveaux pour mesurer des longueurs qui ne sont pas commensurables avec l'unité parce que de pareilles longucursse présentent effectivement danslanature. Mais rien dans la nature ne répond à une grandeur imaginaire. l'est donc vrai de dire avec Newton que si le calcul nous amène à des racines quine sont pas réelles, c'est un signe que le problème étudié ne peut avoir d'interprétation concrète. Il ne faudrait pas conclure de là que l’emploi si fécond des imaginaires ne puisse, par une voie détournée, amener à des solutions positives. Il est seulement fort naturel que ces voies détournées n'aient été utilisées qu'assez tard, après les progrès de l'analyse à la fin du xvm° siècle. Newton, à l'exemple de ses contemporains, envisage les racines imaginaires comme un simple moyen de reconnaître, lorsque la géométrie ne nous apprend rien, si un problème est possible ou impossible, car « une figure a des limites qu'une équation ne reconnait pas. »

Quelle que soitla nature des nombres dont nous nous servons, nous devons, en dernière analyse les faire entrer dans nos