Méth. Flux. p

« Lo tantum tendit problema, ut determinentur contemporaneæ partes aut differentiæ absolutarum quantilatum w, +, y aut z, descriptæ data Fluendi ratione. Nihil autem interest cujusnam absolutæ magnitudinis sint hæ quantitates, dummodo earum contemporaneæ vel correspondentes differentiæ conveniant cum proposita fluxionum ratione ».

Newton a l'idée très exacte que les formules tirées de sa méthode, étant calquées sur les problèmes mécaniques, ne peuvent donner qu'une détermination relative. Elles impliquent une certaine part d'arbitraire, que les conditions initiales peuvent seules lever. Le calcul infinitésimal renseigne bien sur la correspondance de grandeurs variant ensemble (contemporaneæ), mais le point de départ de cette correspondance doit être un couple de valeurs données par une mesure absolue. Ce qu'on peut demander à la méthode nouvelle est donc différent de ce que donne l’algèbre. Celle-ci fournit toujours l'expression complète d'une grandeur en fonction d'une autre, elle permet de tirer d'une relation implicite un nombre déterminé. Au contraire l'analyse infinitésimale ne permet de tirer d'une relation qu'une autre relation. Substituant aux relations infinitésimales des relations en termes finis, elle introduit une part d’arbitraire que les problèmes réels ne comportent pas. Comme un problème de mécanique céleste reste le même lorsqu'on le déplace dans l’espace et dans le temps, une équation différentielle demeure satisfaite pour tout un ensemble de solutions. Ces deux espèces d'indétermination sont aux yeux de Newton solidaires l’une de l’autre. Le calcul infinitésimal et la dynamique proprement dite sont tous deux et pour la même raison des sciences rigoureuses, mais relatives.

Reste-t-1l possible alors que la méthode de Newton, comme il arrive pour la méthode cartésienne ou la méthode de Leibniz, constitue aux yeux de son auteur un instrument parfait, universel, dont il reste à faciliter l'emploi, mais dont on ne saurait songer à étendre la portée ? Est-elle la réponse unique, définitive à toutes les questions d'ordre mathématique, ou peuton concevoir à côté d'elle d’autres procédés de calcul, valables dans certains domaines, et que l’analyse infinitésimale domine sans les détrôner ?

On sait que Descartes, bien qu'il se soit borné aux quantités finies, attribuait à son algèbre une portée absolue. Pour lui la géométrie des anciens, de même que l'algèbre des modernes, devenaient désormais sans emploi. Tous les problèmes devaient se résoudre de la manière la plus commode et la plus simple par sa méthode de constructions fondée sur la classification des courbes. Descartes croyait en effet qu'il n'était pas de ques-

on, si composée soit-elle, que l'emploi de l'énumération ne permit de ramener à un système d'équations, soit algébriques, soit transcendantes. Il pouvait donc dire dans son Discours de la Méthode qu’il connaissait le moyen de s'élever « à toutes les vérités que l'esprit humain saurait trouver‘. » Non seulement il était venu à bout de quelques questions qu'il avait jugées autrefois fort difficiles, mais il lui semblait aussi vers la fin qu'il pouvait déterminer, en celles même qu'il ignorait, par quels moyens et jusqu'où il était capable de les résoudre. On comprend alors qu'il ait négligé de chercher dans la géométrie classique ou dans la théorie des indivisibles la solution d'aucune difficulté. Il ne prévoyait la possibilité d'aucun problème où son algèbre püt être mise en défaut.

Leibniz, mieux instruit que Descartes de la géométrie infinitésimale, ne pouvait s’en tenir à l'algèbre comme méthode unique. Mais aussi métaphysicien que Descartes et aussi désireus de construire un système scientifique définitif, Leibniz fait de son propre calcul, c’est-à-dire de la méthode différentielle, l'instrument unique de l'esprit. Tout ce que Descartes pensait résoudre par l'emploi de l'algèbre ordinaire, Leibniz déclare le résoudre par l'algèbre infinitésimale. Déjà sa Caractéristique Universelle nous a fait voir qu’il croyait posséder un algorithme général et parfait. La méthode des différentielles, qui se rattache par plus d’un point à son idée des Caractéristiques, se présente aussi comme répondant sans faute à toutes les questions que la nature peut poser. Fondée sur un principe de la raison, à la fois universel et nécessaire, cette méthode ne peut avoir de limite que celle résultant de la confusion de nos idées. La continuité de la nature ? qui se vérifie en toutes choses, fait qu'on peut appliquer partout le calcul des grandeurs continues. Et comme le principe de continuité se suffit à lui-même, comme le nombre des principes ne doit pas être accru inutilement, et que rien ne laisse prévoir un temps ou d'autres règles mathématiques deviendront nécessaires, 1l est

A Disc. de la Méth. Ille Partie.

2, On sait que le principe de continuité se présente d'abord chez Leibniz comme un principe mathématique. Dans les lettres au P. Des Bosses, Leibniz explique que la forme la plus nette du principe de continuité est celle qui est suggérée par le passage insensible d'une figure à une autre : « Datis ordinatis, etiam quæsita sunt ordinata ».

naturel que Leibniz ait cru trouver dans son calcul des infiniment petits une méthode à laquelle l'avenirne peut rien ajouver.

Newton, moins épris d'unité que Leibniz ou Descartes, ne croit pas suppléer par sa méthode aux méthodes antérieures. Il ne croit pas davantage qu’on puisse tirer de son calcul une répense satisfaisante à tous les problèmes à venir. La méthode des fluxions est d’une application féconde, non pas dans tous les cas possibles, mais dans ceux-là seulement qui sont susceptibles d'interprétation mécanique.

Il ne faut pas pousser l'esprit systématique au point d’imposer l’emploi d’une méthode dans un ordre de recherches pour lequel elle n’est pas faite. Il n’est même pas bon de préférer toujours un procédé facile et très général à une méthode moins simple ou plus restreinte qui pénètre plus au fond de la difficulté. Ainsi Descartes s’est laissé duper par un besoin facice d'unité, lorsqu'il a négligé la géométrie pure pour traiter toutes choses par la voie algébrique. Newton déclare que la lecture d'Euclide, à laquelle il est revenu sur le tard, lui a appris au moins autant que la géométrie cartésienne’. Ilest des questions où la méthode des anciens doit être employée de préférence à toule autre, et Newton lui-même, dans les Principes, au lieu de se servir uniformément de la géométrie infinitésimale, emploie très souvent les méthodes de Pappus, d'Euclide ou d'Archimède ?, De même la méthode cartésienne garde sa valeur après les découvertes de Newton. La construction graphique des grandeurs doit être faite chaque fois qu'on le peut même lorsque la méthode des quadratures a fourni un résultat numérique exact, car la construction des lignes fait voir d'une manière instructive et élégante ce que le calcul donne Souvent comme un résultat brutal*. Enfin la méthode des indi-

4. V. Pemberton, Éléments de la Philosophie Newtonienne, Amster- «dam 1755.

2. Newton n'abandonne la méthode des anciens que lorsqu'elle mène à des longueurs et à une accumulation de démonstrations ad absurdum ‘(L. [, $S. 1, Scholie, p. 47).

3. Méth. Flux. p. 170. « Postquam area curvæ alicujus ita reperta est et construcla, indaganda est demonstratio constructionis, ut omisso, quatenus fieri potest, calculo algebraico, theorema fiat concinnum et <legans, ac publieum lumen sustineat ».

visibles, que Newton croit avoir remplacée par un procédé plus rigoureux et plus maniable, ne perd pas pour cela toute valeur. Une fois qu'on a compris la notion de limite, il est permis pour faire image et faciliter l'intuition d'employer le langage des indivisibles. À vrai dire Newton, dans les Principes mathémaliques de la philosophie naturelle, où il cherche 3 laisser le moins de prise possible à la critique, s’abstient de parti pris de revenir aux idées de Barrow et de Cavalieri. Mais on voit par son /ntroduction à la quadrature des courbes qu'il admet les indivisibles comme un moyen de découvrir des relations qu’on justifie ensuite par la Méthode des Fluxions '. Cette dernière méthode, loin de rendre inutiles toutes les autres, ne leur est supérieure que dans certains cas. Il n'existe pas un mécanisme unique auquel on puisse soumettre indistinetement tous les problèmes. Pas plus que l’Arithmétique ne disparait devant l’Algèbre, la Géométrie ne disparaît devant l'Analyse infinitésimale.

On pourrait croire que le point de vue de Newton est le point de vue éclectique, Si Newton admet indifféremment la méthode de Barrow, celle de Fermat, celle de Descartes et la sienne propre, c’est, peut-il sembler, par simple manque d'esprit systématique. Il nous parait beaucoup plus exact de voir dans cette attitude un respect minutieux des faits. D'abord Newton ne dit nulle part qu'un problème donné puisse indistinctement s’aborder par une méthode quelconque. S'il admet la variété des méthodes, c’est pour réserver chacune d'elles à un ordre de problèmes spécial.

Ainsi l'algèbre sera applicable chaque fois qu'il s’agit d'obtenir rapidement une valeur numérique. Les constructions cartésiennes auront leur utilité quand des caleuls extrêmement laborieux peuvent se remplacer par un tracé facile. Les fluxions devront intervenir partout où l’on peut faire les développements en série. Certains problèmes par leur nature même s’accommodent mieux de certains modes de raisonnement. La géométrie pure, par exemple, admet fort aisément la méthode

A. Intr. ad Quad Curv. p. 207. « Peragi tamen potest analysis in figuris quibuseumque, seu finitis seu infinite parvis, quæ figuris evanescentibus finguntur similes, ut et in figuris, quæ per Methodum indivisibilium pro infinite parvis haberi solent, modo caute procedas ».

synthétique, tandis que la théorie des nombres nécessite souvent des démonstrations par l'absurde. C’est un fait qu'il faut accepter comme tel et qu'il est difficile de s'expliquer. De même lorsqu'il s’agit d'appliquer les développements en série à l'expression d'une irrationnelle, il arrive très généralement qu’il y a plusieurs développements possibles. Selon la manière dont on groupe les termes, selon l’ordre où s'effectuent les divisions, on aboutira à une série ou à une autre. Est-ce à dire que ces deux séries soient équivalentes et mènent aussi aisément à la solution ? Loin de là, il peut arriver que l’une converge très rapidement, et soit d’un usage parfaitement commode, tandis que l’autre, rigoureuse par elle-même, se trouve parfaitement inutilisable.

Il n’y a donc pas de série qui soit, toujours et partout, la meilleure, ni de méthode toujours la même qui permette de découvrir la série à choisir. Il intervient une sorte de tact, de sentiment de la difficulté, qui peuventindiquer dans chaque cas donné, comment il faut conduire les développements. On peut dire, tout à fait pour les mêmes raisons, qu'il n'y a pas de méthode unique adéquate à tous les problèmes d'intégration. Ce que nous appelons problème d'intégration est un nom générique et confus qui s'applique à tout un ensemble de questions hétérogènes. La première classe de ces problèmes comprendles quadratures proprement dites, auxquelles la Méthode des fluxions s'applique parfaitement ?. Une classe toute différente se compose des problèmes relatifs aux équations différentielles et ici il faut compléter le calcul des fluxions par une méthode d'approximations successives dont Newton a donné la première esquisse. Ensuite viendraient des problèmes plus complexes, ceux qu'on envisagera sous le nom de problèmes aux différences finies : ils nécessitent à leur tour une méthode particulière, et en généralisant cette manière de voir, on peut dire que Newton con-

1. Post. Epist ad Oldenb. 24 oct. 1676, p. 346. « Quælibet series habet proprium usum, el in suo genere optima est. Si datur tangens salis parva, vel satis magna, non recurrendum erit ad sinum aliquem, ut inde computetur arcus, et vice versa. Series dalo congruens est æqualio pro solvendo proprio problemate »..

2. Cf. Intr. ad Quad Curv. p. 207. « Ex Fluxionibus invenire fluentes

problema difficilius est, et solutionis primus gradus æquipollet quadraturæ curvarum ».

çoit une hiérarchie de problèmes et de méthodes, s'élevant progressivement de l’arithmétique à l'algèbre, de l'algèbre au * calcul infinitésimal, de là à d'autres procédés encore, sans qu'on puisse dire jamais de l’une ou de l’autre de ces méthodes qu’elle soit la dernière et la seule parfaite.

De cette façon la multiplicité des méthodes n'apparaît plus comme un signe d'éclectisme. On doit y reconnaitre bien plutôt l'instinct profond de la réalité et des classements qu’on peut y établir. Si nous admettons l’usage de méthodes différentes, c est que la multiplicité des problèmes est sans doute réductible, mais non comme le croyaient Leibniz et Descartes réduchble à l'unité. La continuité même de la nature enseigne que les difficultés varient d’une manière continue. Il sera bon de posséder, en face d’un certain ordre de problèmes, la méthode la plus propre non à résoudre tout problème quel qu'il soit, mais celui qui nous est posé. De la sorte les différentes méthodes que l'histoire des mathématiques a vu surgir peu à peu, loin de se supplanter l’une l’autre, se complètent en s'ajoutant. La véritable facilité, la véritable simplicité, ne peuvent résulter, comme le disaient Descartes et Leibniz, de la possession d’un instrument universel. Elles proviennent d'une adaptation exacte de nos recherches au genre de problème qui les sollicite !.

D'ailleurs l'emploi de méthodes différentes dans des cas différents résulte d’une nécessité pratique. Lorsqu'on nous demande de résoudre un problème, on ne nous demande jamais de le résoudre absolument, mais avec une approximation que l'on assigne. C'est une idée constante chez Newton, que le degré d’exactitude d’une méthode doit être proportionné au but poursuivi. Les mathématiques n'ayant d'autre usage que la résolution des problèmes concrets, il convient de leur demander des résultats dont la précision s’accorde avec les données. S'agit-il par exemple de déterminer par le calcul la trajectoire d'un corps céleste? Trois genres de formules pourront donner la solution. Les unes seront complètes et rigoureuses, elles représenteront dans tous ses détails latrajectoire de l'astre. Les

4. Cf. Méth. Flux. p. 95. « Eo enim pacto, pro manibus habens plures methodos diversas, semper usurpare poteris faciliorem, simul ac simpliciorem ».

BLocs.

autres ne donneront de son mouvement qu'une approximation première. D'autres enfin permettront de trouver, avec une approximation poussée jusqu'à un ordre arbitraire, les éléments de son orbite. L'évaluation grossière, par la première approximation, est celle dont se contentaient les Anciens. Elle s’accordait avec l’état de leurs connaissances, et les avait menés à l'idée des trajectoires circulaires. La solution complète, celle qui tient compte de tout le détail des forces perturbatrices, est un idéal auquel on ne peut prétendre tant que le plus grand nombre de ces forces demeurera inconnu. Dans l’état actuel de la science, les mesures astronomiques ne dépassent pas un certain ordre de précision, et si l'on veut les confirmer théoriquement, les formules qu’on se propose d'établir devront être exactes jusqu'au même ordre.

Ainsi la résolution de tout problème suppose qu’on connaisse au préalable une limite supérieure de l'erreur permise. Comme les vérifications empiriques sont le seul gage que la solution est exacte, ce serait un travail inutile de chercher une approximalion illimitée. La rigueur obtenue de la sorte serait illusoire puisque nous ne saurions en avoir confirmation. Il vaut mieux faciliter le calcul en se satisfaisant d’une formule approchée, mais dont l'écart tombe au-dessous des grandeurs réellement appréciables. Nous aurons alors à choisir notre méthode selon les termes qu'on pourra négliger et les opérations qu’on pourra se dispenser de faire‘. Dans certains cas, ce sera l'Algèbre, dans d’autres, la Géométrie ordinaire, dans d’autres encore la Géométrie infinitésimale qui mènera plus directement au but. Si l'on tient compte à la fois de la précision obtenue et du nombre des opérations par lesquelles on l’obtient, il y aura

1. On trouve, dans les Principes mêmes, de nombreux exemples d'un pareil choix. Un des plus typiques est celui du Scholie de la Prop. XXXI, L. I, S. 6, p. 119. Il s’agit « de trouver, pour un temps donné, le lieu d'un corps quise meutdans une trajectoire elliptique donnée », Newton commence à l'aide de la géométrie analytique, par donner une solution rigoureuse correspondant à l'intersection d'une droite et d'une trochoïde. Puis ül remarque que la description de cette courbe est difficile et qu'il vaut mieux employer une solution approchée. Il se sert alors de l'Algèbre, et applique les approximations successives à la résolution de l'équation ao + bsin © = c. Enfin, pour satisfaire aux exigences astronomiques, il fait appel à une approximation unique, qui donne une solution « aussi exacte qu'il est nécessaire pour la théorie des planètes : car dans l’orbe

de Mars même, dont la plus grande équation du centre est de 10 degrés, l'erreur passerait à peine 1 seconde ».

toujours une de ces méthodes qui sera plus pratique que les autres.

Demandons-nous, à titre d’exemple, pourquoi les méthodes de résolution numérique des équations! se sont substituées dans certains cas aux méthodes algébriques. Apportent-elles des procédés nouveaux, inconnus de l'algèbre ordinaire ? On sait fort bien qu'elles se contentent de prendre les opérations fondamentales de l'algèbre et de les appliquer indéfiniment. Mais l'avantage qu'elles procurent par là, c’est qu’elles permettent d'extraire, par des approximations répétées, avec une exaclitude fixée à l'avance, des nombres que l'algèbre ordinaire n'aurait pu dégager. De même l’usage des fractions continues, des progressions illimitées, permet d'obtenir par la succession infinie d’additions ou de divisions, des quantités qu'on ne peut déterminer autrementavec la précision voulue. De même encore le développement en série est l'équivalent d'une division ou d’une extraction de racine poussée aussi loin qu’on le veut. Le sens des quadratures est analogue. Elles aussi sont des opérations simples reproduites un nombre infini de fois. Chacune de ces méthodes s’applique de préférence à un ordre de problèmes déterminé, parce qu’elle donne plus aisément que les autres l'approximation exigée par ces problèmes. A prendre les choses à la rigueur, il n'existe en mathématique qu'une seule méthode, l'addition des nombres entiers. La seule addition, rendue de plus en plus complexe pour s'adapter aux difficultés nouvelles, suffit à créer des types de méthodes appropriées à ces difficultés.

En ce sens on peut accorder à Descartes qu'il y a un élément commun à toutes les méthodes mathématiques. Mais cela n'empêche qu’en pratique une méthode donnée ne s'applique qu’à un groupe de phénomènes. Sitôt que la complication du groupe dépasse un certain degré, sans que l’approximation exigée pour la solution diminue, il sera nécessaire d'utiliser une méthode nouvelle. Cette méthode ne différera pas essentiellement des précédentes, elle continuera d'employer les opérations élémentaires du calcul. Mais elle mullipliera ces opérations de façon à atteindre l’approximation désirée. Chaque fois

1, On sait que Newton lui-même est l’auteur d’une de ces méthodes.

qu'il s'est présenté un problème réfractaire à un certain genre de méthode, l'artifice employé pour le résoudre n'a pas consisté à modifier le problème pour le plier à la méthode. On a toujours modifié la méthode en lui permettant d'effectuer un nombre illimité de fois les opérations qu'auparavant elle ne pouvait effectuer qu’en nombre fini. Ainsi il est vrai de dire que la nature des opérations essentielles ne change pas lorsqu'on s'élève de l’Arithmétique à PAlgèbre, de l'Algèbre à l'Analyse, de l'Analyse aux méthodes supérieures que la science nous réserve. L'addition des nombres entiers se retrouve partout. Mais de cette opération si simple on en a déduit d'autres en larépétant indéfiniment, de celles-ci, d’autres encore parle même procédé et ainsi de suite. La nature des opérations reste simple, leur nombre seul devient de plus en plus complexe, etle passage d’une méthode à la méthode supérieure se marque par la multiplicité croissante des opérations, entrainant la précision croissante des mesures. Ne pouvant, par exemple, mesurer toutes les longueurs en nombres entiers, nous avons dà faire appel aux nombres fraclionnaires et aux nombres irrationnels, qui sont l'équivalent de suites illimitées de nombres entiers. Ne pouvant calculer par une même formule toutes les irrationnelles d’un type donné, nous les développons en séries entières, c'est-à-dire en une suite infinie de termes aisément calculables. Ne pouvant mesurer directement les aires, nous les avons décomposées en une sommeinfinie de termes élémentaires connus. Partout la pratique nous a obligés à une résolution de plus en plus parfaite des problèmes par une accumulation constante des efforts. Résoudre par des calculs simples, mais très nombreux, ce qui estinsoluble par une seule opéraluon, si compliquée soit-elle, voilà le principe qui est à la base des mathématiques. Nous gagnons de la sorte en puissance ce que nous perdons en brièveté. Le mathématicien, sur ce point, ressemble au physicien. Ce dernier lui aussi a constamment le choix entre différentes méthodes et celle pour laquelle il doit se décider lui est suggérée par la pratique. S'il s'agit d'évaluer une longueur avec une approximation donnée, il sera inutile pour le physicien de procéder au réglage des appareils avec plus de précision que la mesure n’en comporte. Faut-il au contraire une exactitude supérieure à celle dont on

s est contenté jusqu'ici, c’est en répétant avec des corrections successives le réglage précédent qu’on peut y parvenir. On voit que le souci des questions physiques n’abandonne jamais l'esprit de Newton. En mathématique comme en physique, il croit impossible d'appliquer, partout une méthode uniforme. Cela tient à ce que, dans l’un etl'autre cas, le résultat à obtenir n'est pas toujours requis avee la même exactitude. La suite illimitée des opérations qui donneraient théoriquement le nombre exact s'arrêtera, suivant les cas, à un terme de rang plus ou moins éloignét, et le choix de la méthode dépend étroitement du degré de précision dont on peut se satisfaire.

Après avoir fait voir que le Calcul des Fluxions ne peut supplanter d'une manière absolue aucune autre méthode, il convient d'insister pourtant sur ce qu'il apporte de nouveau par rapport à la géométrie d’une part, par rapport à l'algèbre de l’autre. Nous comprendrons alors pourquoi Newton appelle son calcul un calcul général, bien qu'en même temps il se refuse à l'appeler un calcul universel?.

La géométrie, comme l'avait remarqué Descartes, est trop astreinte à la considération des figures. Il en résulte qu'une quantité infinitésimale, ne peut devenir accessible à la géométrie que si elle prend la forme d’un élément figuré, attaché à une courbe ou à une surface. Ainsi la géométrie infinitésimale peut faire usage de la notion de vitesse, parce que la dérivée qui représente cette vitesse peut se construire simplement au moyen des tangentes. De même lerayon de courbure, ourayon du cercle osculateur, est un élément infinitésimal susceptible de figuration, dont la géométrie peut donner une idée. Mais

A. Cf. Anal. per Æquat. Infin. « Istos terminos semper omitto, quos nulli deinceps usui fore prævideo ».

9, Lettre à Leibniz, 1 juin 1676. « Non tamen omnino universalis evadit ». Cf. Principes, L. II, S. 2, Lemme Scholie : « En expliquant dans une lettre à D. J. Collins le 10 déc. 1672 la méthode des tangentes que je soupçonne être la même que celle de Slusius qui ne m'avait pas encore été communiquée, j'ajoutai: cela est plutôt un corollaire particulier d'une méthode générale qui s'étend. sans calcul embarrassant, non seulement à mener des tangentes à des courbes quelconques, mais aussi à résoudre d’autres espèces de problèmes très difficiles touchant les courbures, les quadratures, les rectitications, les centres de gravité des courbes, etc. ».

3. Deuxième lettre à Oldenburg 2% oct. 1676, p. 342. Ego quidem haud quicquam generale in his obtinere potui, antequam abstraherem a Contemplatione Figurarum, et rem totam ad simplicem considerationem solarum ordinatim applicatarum reducerem ».

des notions comme celle d'accélération, et surtout celle des fluxions ou accélérations d'ordre supérieur, ne correspondent pas toujours à des particularités visibles de la figure. Assurément, par des constructions appropriées, on peut leur rendre un sens géométrique, et même une interprétation cinématique. Mais ces constructions sont très indirectes, compliquées, malaisées à obtenir. Dans la Méthode des Fluxions au contraire, les différentielles d'ordre supérieur se présentent tout naturellement, et l’ordre dans lequel on les rencontre lorsqu'il s'agit de développer en série la différentielle première, amènera Mac Laurin et Taylor à leurs développements célèbres. La notation de Newton permet donc déjà, ce que la géométrie ne saurait faire, d'aborder l'étude complète du contact des courbes. En employant une caractéristique commode pour désigner les flu- À xions successives, Newton résout un problème général, dont la géométrie n’avait pu soupçonner qu’un aspect, la construction des tangentes à une courbe donnée.

Mais le problème inverse des tangentes, mieux encore que le problème direct, fait toucher du doigt la généralité que le calcul infinitésimal possède par rapport à la géométrie. L'élément infiniment petit qu'il s’agit de sommer, le moment ou le terme élémentaire qui seul est donné, varie aux yeux du géomètre d'un problème à l’autre. C’est un arc dans les problèmes de rectification, une aire dans les problèmes de quadrature, un . volume dans les problèmes solides, un angle dans l'évaluation des distances angulaires. Chaque fois le géomètre est obligé d'avoir recours à une intuition particulière, et s’il avait à faire la sommation d'éléments non figurés ni représentables, aucun principe ne pourrait le guider dans la construction des limites. Au lieu de cela, le point de vue analytique est d'une généralité parfaite. L'élément très petit qu'il s'agit d'intégrer pourra tou-

4. Ce problème même, Descartes ne le résout que dans le cas où le point de contact est situé à distance finie. Les constructions deviennent caduques quand le point s'éloigne à l'infini. Au lieu de cela, le méthode générale de Newton s'applique aussi bien au tracé des asymptotes qu'à celui des tangentes proprement dites. « À l'égard des asymptotes, on peut les regarder comme des tangentes et leurs extrémités (si on peut s’exprimer ainsi) comme des points de contact. Imaginons donc que le point d'attouchement d'une tangente s'éloigne à l'infini, cette tangente deviendra asymptote, et les constructions des problèmes précédents se changeront

dans les constructions de problèmes où l’asymptote est donnée ». — (Principes, L. 1, S. 5, Prop. XXVII, Scholie).

jours se désigner par le même symbole, ds par exemple!, soit qu'il s'agisse de quantités linéaires ou superficielles, soit qu’on opère dans l’espaceordinaire ou dans un espace à plus de trois dimensions?. Les symboles du calcul infinitésimal sont indifférents aux réalités qu'ils désignent tandis que ceux de la géométrie ne sont jamais applicables qu’à certaines figures. C'est une raison suffisante pour reconnaitre dans l'analyse infinitésimale un procédé beaucoup plus général que la géométrie classique.

L'algèbre elle aussi, bien qu'elle soit plus générale que l’arithmétique, l'estmoins quelaMéthode des Fluxions. L’arithmétique, comme on l’a vu précédemment, n’est pas un cas particulier de l'algèbre. Elle s'accorde avec elle mais ne se ramène pas à elle. Pareillement l'algèbre n’est pas un cas particulier du caleul infinitésimal. Elle garde ses règles propres à côté des procédés qui lui sont communs avec les méthodes différentielles. Néanmoins la portée de l'analyse est plus vaste que celle de l'algèbre, parce quelle s'applique à des problèmes plus compliqués. D'abord la généralité de l’algèbre se retrouve, avec des perfectionnements, dans la notation différentielle. L'algèbre exprime par la même formule tout un groupe de problèmes concrets, ayant des interprétations bien différentes : l'équation du premier degré peut répondre à un problème de parlage, d'intérêts, à l'étude d’un mouvement uniforme, à la détermination d'une ligne droite, etc. En analyse on trouve une généralité plus grande encore. Une seule équation différentielle répond à une infinité d'espèces du même problème et à une infinité de problèmes d'espèce différente. Les lois de la chute des corps, la recherche des points d'inflexion, la détermination dumaximum des vitesses, dépendent d’une même équation différentielle. Plus tard on fera voir que la distribution de l’électricité, la propagation de la chaleur, la circulation des fluides, et beaucoup d’autres problèmes physiques sont des aspects différents d’une même équation. Peut-être n’y a-t-il pas de problème, dit Newton, qui ne

4. Notation de G. Jordan, Cours d'analyse de l'École Polytechnique, HD PrChA

2. De Analys. per Æqual. Infin. « Notandum est quod unitas ista, quæ pro momento ponitur, est superficies cum de solidis, et linea cum de superficiebus, et punctum cum de lineis agitur ».

puisse s'exprimer par des équations différentielles convenables, et tous les problèmes qu'on résout par l'algèbre sont-ils des cas particuliers de problèmes très vastes que l'analyse résout d’une façon générale!.

La méthode la plus étendue dont l'algèbre fasse usage est en effet la méthode cartésienne des coefficients indéterminés. Cette méthode se retrouve tout entière dans l’analyse des infiniment petits. Lorsque nous voulons dégager d’une expression donnée le développement de plus en plus approché d’une grandeur, nous substituons à la place de cette grandeur, non plus un polynôme mais une série à coefficients arbitraires. Les coefficients se déterminent de proche en proche par des équations de condition, et si le développement se limite de lui-même, nous retombons sur le cas de l’algèbre ?.

Les conventions fondamentales de l'algèbre sont, elles aussi reprises et généralisées par le Calcul des Fluxions. La notion des quantités négatives va s'étendre par des définitions convenables aux aires, aux longueurs, aux volumes.C'est une généralisation qui n’est pas arbitraire, mais que la pratique rend indispensable si l'on veut qu'une formule réponde à tous les cas de figure#. Par l’analyse les opérations de l'algèbre sont éten-. dues et généralisées d’abord parce qu’on les applique un nombre illimité de fois, ensuite parce qu’on y soumet les symboles nouveaux que l'algèbre ne connaît pas. A vraidire les quantités dont l'algèbre s'occupe ne forment qu'un échelon dans la série des grandeurs symboliques. Entre les fluxions de la fonction ou ses différentielles, qui se suivent en série infinie, et les. sommes ou intégrales qu'elle fournit et qu'on classe d’après le tableau des quadratures, se trouve la fluxion d'ordre zéro (identique à la somme d'ordre zéro) qui est la fonction ellemême. Ainsi l'algèbre est une région frontière, qui sépare le domaine des fonctions différentielles et celui des fonctions intégrales. On doit donc retrouver par continuité les propriétés

1. De Anal. per Æquat, Infin. « Nec quicquam hujus modi scio, ad quod hæc methodus, idque variis modis, sese non extendit,. Et quicquid vulgaris Analysis per Æquationes ex finito terminorum numero constantes (quando id est possibile) perficit, hæc per Æquationes Infinitas semper perficiat ».