Cf. Principes, L. 11, S. 8, Prop. XIII, p

on peut dire qu’elles sont utiles. Il n’y aurait lieu de les rélormer que le jour où le progrès des sciences montrerait entre la définition et la mesure un désaccord observable.

La définition de la masse est donnée par Newton dans la première page des Principes. Celte définition, malgré sa simplicité, est peut-être la plus importante de toutes, etilestintéressant de comparer l’idée que se faisait Newton de la masse matérielle avec l’idée qu’on admet aujourd’hui‘. On verra que sur plus d’un point Newton a eu le pressentiment exact du rôle qui revient à la notion de masse.

Remarquons d’abord qu'avant lui Képler et Galilée s'étaient servis de cette idée, mais sans reconnaître les difficultés où peut conduire la comparaison des masses. De plus. ils confondaient trop souvent la masse et le poids, ne voyant dans la balance qu'un instrument de mesure des poids. 1l est mdiscutable que la notion de masse se présente sous un jour différent selon qu’on l’applique à un corps déterminé ou à la comparaison de corps hétérogènes. Prenons d'abord un corps bien homogène, un volume d'air par exemple à température constante. Cet air présentera des propriétés bien différentes selon qu'il remplit un récipient très grand ou qu'on le confine dans un espace très petit. Dans un cas sa tension est très faible, dans l’autre il peut acquérir une pression capable de surmonter la cohésion des solides. Ces différences d'état commencent par être perçues sous forme qualitative, et lorsque nous voulons en apprécier la valeur nous introduisons une notion quantitative, celle de densité. Il est extrêmement remarquable que l’idée de densité soit donnée par Newton comme une idée fondamentale, antérieure à celle de masse?. Cette idée n’a pas besoin d'être expliquée, Newton la considère comme claire par ellemême eti1l s’en sert pour définir les autres. Il est nécessaire de rappeler ici que la notion de densité venait de recevoir une illustration nouvelle par les célèbres expériences de Boyle. La compressibilité de l'air avait été étudiée par le savant anglais

1. Appell, Traité de mécanique, Ch. I et E. Picard « Quelques réflexions sur la mécanique suivies d’une première leçon de Dynamique, Paris, Gauthier- Villars, 1902.

2. V. Rosenberger, UT. Theil, Der Inhalt der Principien der Naturlehre,

entre certaines limites de température, et on conçoit que Newton, familiarisé avec les résultats de Boyle, ait admis l’idée de densité comme une notion primitive. Quoiqu'il en soit, la densité d'un gaz varie, à température donnée, selon le volume qu'il occupe, et cependant, le gaz restant le même, quelque chose doit demeurer constant. Cetélément constant, Newton l'appelle la « quantité de matière » du gaz. La « quantité de matière » ne tombe pas directement sous le sens, mais nous concevons vaguement ce que ce mot signifie. Pour faire de cette idée vague une idée scientifique, il faut d’abord en donner une définition quantitative, puis vérifier par des mesures que celte définition répond à la réalité. Or la quantité de matière augmente évidemment avec la densité d'une part, avec le volume de l'autre. L'idée la plus simple est de la définir comme proportionnelle à ces deux facteurs, et pourla commodité du calcul on peut la supposer égale à leur produit. Il reste à examiner par l’expérience si le produit de la densité par le volume est effectivement une constante physique, et c’est ce qui résulte, avec une approximation très grande, des expériences de Boyle. Alors la définition de Newton devient légitime. A une réalité qui reste invariable (l'air sur lequel on opère) nous avons fait correspondre un nombre invariable (la quantité ou masse de cet air). On vérifie de plus qu’en opérant sur des volumes différents d’un même gaz, pris sous les mêmes conditions de température et de pression, les constantes numériques qu'on leur fera correspondre seront différentes : elles seront doubles pour des volumes doubles, comme elles seraient doubles, à volume constant, pour des densités initiales doubles. L'idée du sens commun reçoit ainsi à la fois une confirmation et une extension. La quantité de matière, qui est une caractéristique d’un gaz donné, varie dans le sens prévu lorsque nous modifions les facteurs dont elle dépend. On peut dire que la masse d'un corps est un nombre constant attaché à ce corps, et qui va permettre la mesure précise des propriétés mécaniques du Corps.

Si nous passons du cas d'un gaz homogène à celui de gaz de nature différente, nous pouvons étendre à chacun d'eux la détinition précédente et trouver quelle est la quantité de matière, qui lui correspond. De même, si nous prenons des solides

comme la neige ou la poussière !, il nous sera possible de leur appliquer la définition générale des masses. Mais en affectant ainsi chaque corps d’un coefficient qui lui est propre, nous avons rendu possible la comparaison de matières hétérogènes. Qu'il s'agisse du soufre, du fer ou de l’eau, les nombres qui mesurent la quantité de matière sont tous de même espèce. Les masses seraient-elles donc indifférentes à la nature particulière des corps ? Dénoteraient-elles une propriété commune aux objets qualitativement les plus disparates ? Voilà la question que Newton doit résoudre s'il veut donner à l'idée de masse toute sa généralité.

Remarquons que la définition des masses, telle qu’on l’a donnée tout à l'heure, repose sur une hypothèse. Nous avons admis que les masses étaient exactement égales au produit des densités par les volumes, alors que l'expérience nous apprend seulement qu’elles sont proportionnelles à ce produit. La difficulté n'apparaït pas si nous nous bornons à étudier les états successifs d'un même corps. Mais lorsque nous passons d'un corps à un autre, qu'est-ce qui nous assure que le coefficient de proportionnalité supprimé de nos formules ne prend pas une valeur différente ?Il se peut que ce coefficient soit caractéristique de la nature du corps et varie lorsque les propriétés physiques, chimiques, élastiques varient. Ce serait alors faire une série d'hypothèses peu naturelles et peu concordantes que de définir partout la masse d'une manière statique, comme le produit de la densité par le volume. Si l’on veut éviter la contradiction, ou pour le moins les incohérences, il faut vérifier scrupuleusement que toutes les définitions statiques de la masse sont compatibles entre elles. Pour cela il faut d'après Newton recourir à des expériences nouvelles et compléter les définitions statiques par des définitions dynamiques.

Avant d'expliquer la définition nouvelle que Newton va donner des masses, 1l convient d’insister sur le rapprochement. qu'il fait entre les Définitions en général et les Hesures. Nous avons dit souvent que la philosophie naturelle avait pour but essentiel la constitution d'un système de mesures. C’est le besoin pratique de la mesure qui est à l’origine des sciences.

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physiques comme il a servi d’aiguillon au développement des sciences mathématiques. La façon la plus simple de satisfaire à ce besoin eût été de constituer, dans chaque ordre de phénomènes, une unité particulière convenablement choisie, de réaliser cette unité au moyen d’un étalon commode, et de superposer, chaque fois qu'il est nécessaire, l'étalon ou un de ses sous-multiples à la grandeur qu'on veut évaluer. Celte façon de procéder serait la seule possible si les différents ordres de grandeurs que nous nous proposons d'évaluer étaient entièrement hétérogènes entre eux. Il faudrait alors évidemment une unité de longueur pour évaluer les longueurs, une unité de surface pour évaluer les surfaces, une unité de masse, une unité de temps, pour évaluer les masses etles temps, etc. C'est probablement la première idée qui soit venue à l'esprit de l’homme d'employer ainsi dans chaque cas spécial une unité de mesure spéciale. Mais lobservation des lois de la nature n’a pas tardé à lui faire voir qu’il était possible de rapprocher l'un de l’autre certains ordres de phénomènes. Par exemple il s’est aperçu bien vite que la surface d'un carré ne restait pas invariable lorsque le côté changeait de longueur, qu'elle se modifiait suivant une fonction simple des modifications subies par le côté, et qu'on pouvait admettre très exactement la loi de proportionnalité à la seconde puissance du côté. De même il a été reconnu de bonne heure que les nombres dont on se sert pour mesurer les volumes sont mathématiquement proportionnels aux cubes des dimensions linéaires. Plus tard d’autres relations furent découvertes entre la longueur des courbes, l'aire qu’elles enferment, la courbure qu’elles affectent, et la longueur de quelques lignes simples telles que les ordonnées etles abscisses, De là l'idée qu'il était inutile d'introduire des unités spéciales de surface, de volume, de courbure, etc. On admit qu’il était plus simple de regarder les unités correspondantes comme des unités dérivées et de rechercher par des lois mathématiques à exprimer leurs relations avec l'unité de longueur, qui seule est fondamentale. De la sorte la mesure directe de quantités difficilement accessibles a pu se remplacer par une mesure indirecte, celle des longueurs fondamentales en fonction desquelles s'exprime la quantité qu'on désire mesurer. Mais ceci n'a pu se faire que grâce aux définitions géométriques. C'est parce

que la géométrie est arrivée peu à peu à ramener à des définitions simples la construction des aires, le tracé des courbes, la genèse des surfaces et des volumes, qu'il a été possible de se fonder sur des relations établies a priori pour éviter une foule de mesures pénibles. Aulieu d’être obligé de recourir sans cesse à des unités indépendantes et peu maniables, on arrive à évaluer une aire ou un volume par un petit nombre de déterminations linéaires.

Un effet du même genre se produit en physique. Là les objets que l’on rencontre sont d’une hétérogénéité encore plus grande. Les quantités de chaleur ou de lumière, les pressions, les tensions, les densités, sont autant de réalités irréductibles qui semblent exiger pour leur mesure des unités elles aussi irréductibles. Le degré, qui sert à la mesure des températures, la toise, qui sert à la mesure des distances, le grain, qui sert à la mesure des forces, sont autant d’étalons bien distincts, entre lesquels nos sens ne peuvent établir de rapport. Mais ce que les mathématiques ont fait « priori, les sciences de la nature ont pu peu à peu le tirer du progrès des observations. Elles -aussi ont découvert entre des quantités en apparence incomparables des relations sinon déductives du moins expérimentalement certaines. C'est ainsi que le principe d’Archimède établit une relation homogène entre des nombres qui représentent des réalités d'aspect bien différent, un poids, un volume, une poussée verticale. C'est ainsi encore que les lois de Boyle, -contemporaines du temps où écrivait Newton, établissent un rapport numérique entre des volumes et des poids spécifiques. Plus tard la science découvrira des relations que Newton ne pouvait soupçonner entre un travail et une quantité de chaleur (principe de l’équivalence), entre une intensité de courant et ‘un flux magnétique (loi de Laplace), entre une masse matérielle et une masse électrique (lois de l’électrolyse). Ces exemples font voir que la signification d’une loi physique est toujours la suivante : elle permet la définition indirecte d’une quantité qu'il serait malaisé d'évaluer directement. Si par exemple nous avons à mesurer la quantité totale d'électricité qui a traversé un vols tamètre, il suffira d'une mesure indirecte, celle d’un volume, ou mieux celle d'un poids. De même la quantité de chaleur dégagée par un frottement, par un changement d’état ou une

combinaison chimique pourra s'évaluer indirectement si l’on se rapporte à sa définition telle qu’elle résulte des lois chimiques, thermochimiques ou thermodynamiques. En somme tous les principes généraux de la physique ou de la philosophie naturelle sont autant d'équations mathématiques entre des grandeurs concrètes hétérogènes. Il suit de là que le choix des unités ne doit plus se faire d’une façon arbitaire. Il convient qu'elles obéissent aux relations qui subsistent entre grandeurs d'espèces différentes. Il faudra par exemple que l'unité de chaleur soit la même que l'unité de travail si l’on admet que le travail peut se transformer intégralement en chaleur. On devra se servir d’une unité de vitesse liée à l'unité d’énergie si la force vive d'un mobile est une des formes de son énergie. De même les unités lumineuses, magnétiques, électriques devront satisfaire aux relations simples qui résultent de l'électromagnétisme ou de la photométrie.

Newton, bien qu'il ne püût prévoir toutes les relations dont la science allait s’enrichir, avait bien compris l'influence exercée par les lois physiques sur les définitions. On peut voir au début des Principes, comme aussi au Livre IT et même dans l’Optique, qu'il jugeait nécessaire d'approprier le choix des unités à l’état présent de nos connaissances. Les relations que Galilée avait découvertes dans le cas de la chute des corps, celles que Boyle venait d'établir dans le cas de la compression des gaz, mais surtout les propres découvertes de Newton sur l’oscillation d’un pendule dans un lieu quelconque allaient influer fortement sur l'idée qu'il devait se faire de la mesure des masses. Nous avons dit que la mesure directe et statique des masses, celle qui consiste à attribuer à chaque corps une masse proportionnelle à sa densité, laissait en suspens la question de savoir si la masse de corps différents est une grandeur qui peut se comparer à elle-même. On va voir maintenant que Newton, partant de principes dynamiques, aboutira à une nouvelle définition des masses fondée sur une loi expérimentale. Alors au lieu d'une mesure directe, nous pourrons à la faveur de cette définition procéder à des mesures indirectes. Comme la mesure des surfaces peut se faire par une simple évaluation de lignes, le calcul des masses va s’obtenir par des observations faites sur des longueurs. Il

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restera à vérifier par l’expérience que la nouvelle définition des, masses cadre bien avec celle qui ressort des expériences de Boyle.

« Je désigne, dit Newton dans la première définition des Principes, la quantité de matière par les mots de corps ou de masse. Gette quantité se connaît par le poids des corps. Car j'ai trouvé par des expériences très exactes sur les pendules, que les poids des corps sont proportionnels à leur masse. Je rapporterai ces expériences dans la suite. » Les expériences auxquelles Newton fait allusion, et qui sont en effet un modèle de précision scientifique, sont celles qu’il décrit au début de la sixième section et à la fin du livre It. Mais d'où vient que la notion de poids intervienne ici? Serait-il nécessaire, pour la mesure des masses, de se servir de l’idée de force et particulièrement de la pesanteur? II semble bien que ce soit l'idée de Newton et l'on peut éclaircir sa pensée de la façon suivante.

Prenons une quantité de matière assez petite pour pouvoir être assimilée à un point matériel, par exemple une goutte d’eau. Nous savons qu'il suffit de la choisir assez ténue pour que les erreurs résultant de l'assimilation à un point tombent en dehors de la limite d'observation. Laissons agir sur ce point une force déterminée, ce qui ne signifie pas autre chose que la placer en un endroit de l'espace où il ne reste pas immobile de luimême.Nous pourrons supposer notre goutte d'eau à l'extrémité d'un filtrès fin et la soumettre à l'action de la pesanteur. Si l'on suppose l'adhérence parfaite on peut amener la goutte à rester immobile bien qu'elle subisse l'attraction de la terre. Observons alors le fil qui la supporte. Nous verrons qu'il s'est très faiblement allongé et que la tension résultant de cet allongement maintient en équilibre le poids de la goutte. Suspendons au même fil, dans le même endroit, à la place de la goutte d’eau un morceau de fer. Choisissons-le de dimensions très petites de façon qu'il soit lui aussi assimilable à un point matériel. Il pourra arriver, si l'on s'arrange de façon

1. Prop. XXIV, Th. XIX, Cor. 7. « Et de là on voit tant la manière de comparer les corps entre eux quant à la quantité de matière de chacun. que celle de comparer les poids du même corps en divers lieux, pour connaître la variation de sa gravité. Et par des expériences très exactes j'ai toujours trouvé que la quantité de matière dans chaque corps était proportionnelle à leurs poids. » Voy. aussi le Scholie de la p. 379.

convenable, que le fer reste suspendu en équilibre après que le fil aura subi le méme allongement. Ainsi deux points matériels différents, placés dans des conditions identiques, peuvent produire des effets identiques. Ceci prouve que les propriétés distinctives du fer et de l’eau n’interviennent pas dans l’expérience que nous venons d'esquisser. Le résultat de cette expérience ne dépend ni de la couleur, ni de la forme, ni de la dureté des corps en présence. Si l'allongement du fil est resté le même quand on a substitué le fer à l'eau, c’est que malgré les différences apparentes de ces deux corps, quelque chose est resté invariable en eux. C’est cette invariabilité que nous exprimons en disant que les deux corps ont la même masse. Remplaçons maintenant le fer par du cuivre, par du plomb, par un corps quelconque. La même définition sera valable, et nous mettons ainsi en évidence une propriété commune à tous les corps, propriété susceptible d'égalité, la masse matérielle. :

En fait, l'expérience idéale d’où nous sommes partis n’est pas celle dont s'est servi Newton. Il est remarquable qu'il se soit adressé à une expérience beaucoup moins directe, celle des oscillations du pendule. Mais la portée de ces expériences reste celle que nous avons indiquée. Deux poimts matériels de nature différente peuvent osciller, toutes choses égales d’ailleurs, dans des temps égaux. Newton convient alors de dire qu'ils possèdent des masses égales. Cependant une difficulté se présente : deux masses que nous considérons comme égales parce qu'elles déforment un même fil de la même longueur, seront-elles encore égales si nous les comparons au moyen du pendule ? En d’autres termes, l'égalité des masses est-elle indépendante de l'instrument qui nous sert à la constater, comme cela est évidemment nécessaire si la notion de masse doit être caractéristique des corps ? L'expérience permet de répondre d'une manière affirmative. La déformation des fils, les oscillations du pendule, la tension d'un ressort, l'équilibre d'une balance peuvent servir indifféremment à contrôler l'égalité des masses. Si cette égalité est vérifiée par l'un de ces moyens, elle le sera par tous les autres.

Une fois définie l'égalité des masses, il ne reste plus qu'à en définir l'addition. Il est clair que le même procédé pourra

servir, au moins dans de larges limites. Une masse sera double, triple d’une autre si elle donne sous l’action d'une force quelconque une déformation double, triple de la première. Ici encore la définition est à peu près indépendante de l'instrument qu’on utilise, pourvu qu'on observe seulement des cas moyens et qu'on passe aux cas extrêmes par analogie.

Nous sommes ainsi amenés à attribuer aux différents points matériels, M, M’, M”... des coefficients m», m', m',... que nous appellerons les masses de ces points. Ces coefficients forment un système de nombres qui caractérisent la manière dont se comporte un point quelconque sous l’action d’un milieu. Ils peuvent se classer par ordre de grandeur et donnent lieu à une comparaison précise des « quantités de matière » de chaque corps. Surtout, et c’est là pour Newton le point important, la manière dont ils sont introduits va permettre une mesure indirecte, c'est-à-dire dispenser de substituer à la masse donnée une masse étalon ; il va nous être possible dorénavant de remplacer la mesure des masses par une mesure de temps, de poids ou de longueur. La physique nous apprend que des masses égales produisent sur une balance des déviations égales ; suspendues à des pendules égaux, elles oscillent dans des temps égaux. En nous appuyant sur ces lois naturelles il est possible de simplifier la mesure des masses. Si l'on connaît par exemple le poids et le temps, la masse s'en déduira par le calcul. On voit que la définition dynamique des masses se justifie par la commodité de ses applications. L'expérience nous enseigne au demeurant qu'elle est d'accord avec la définition statique, tirée des considérations de densité.

Que fütl advenu si la masse d'un corps, telle que nous la déduisons des expériences de Boyle, et la masse du même corps, telle qu'elle résulte de la comparaison des poids, eussent été différentes, ou pour parler d'une manière plus précise, si le système de nombres proportionnels auquel mènc la comparaison des densités eût été incompatible avec celui qui dérive de la comparaison des poids ? Remarquons que cette question n’est point factice. Newton semble dire au début des Principes que la « quantité de matière » de la neige, de la poussière, où d'un corps solide comprimé pour quelque cause que ce soit, est soumise aux mêmes lois qu’une masse gazeuse.

Ici l'erreur est évidente. Mais même en ce qui concerne les gaz, Gu jour où l'on se rendit compte qu'il y a des cas où la théorie de Boyle est en défaut, il fallut se demander si l'idée de masse peut subsister comme notion statique.

Il est certain que si Newlon avait pu prévoir ces diflicultés, il les eût résolues par un appel à l'expérience, L'égalité des masses fondée sur celle des densités n’est jamais vérifiée d’une manière absolue, pas plus que lorsqu'elle est fondée sur l'égalité des temps d’oscillation. Dans l’un et l’autre cas nous atteignons une précision qui dépend de la perfection de nos appareils et de nos sens, mais qui peut ne pas être la même. Il s’agit de savoir si le rapport des densités est une quantité susceptible d'une mesure plus exacte que le rapport des temps d'oscillaüon, ou si c'est le contraire. Bien que Newton ne résolve pas la question d’une manière positive, il est visible qu'il attribuait une précision bien supérieure aux mesures effectuées avec le pendule qu’à celles dont Boyle s'était servi. Il devient évident alors que les secondes pourront se contrôler par les premières, mais qu'il serait absurde de tenter la vérification inverse. D'ailleurs ni les unes ni les autres ne nous donnent la valeur rigoureuse des masses. Seulement l’approximation qu'on obtient par le pendule est beaucoup plus grande que l’autre. Il s’en suit que le désaccord apparent né de la double définition des masses peut se concilier aisément avec les exigences de la rigueur physique. Il suffit de faire de la notion de masse non pas une notion absolue, mais une notion limite semblable aux autres pour admettre qu'un certain procédé de mesure permette d’en approcher plus qu’un autre, et rendre de la sorte aux définitions leur sens véritable, qui est toujours provisoire.

Newton a clairement compris que cette notion de masse, dont il devait faire état dans toute sa mécanique, n’était par rapport à la réalité qu'une approximation première. « Je ne fais point attention ici, dit-il, au milieu qui passe librement entre les parties des corps, supposé qu'un tel milieu existe !. » C'est là une allusion certaine soit au milieu qui propage les perturbations lumineuses, soit à celui qui transmet les actions planétaires. Newton admettait la possibilité qu’un tel milieu