Opéra Kepleri, IV

3. « In iisarticulis, in quibus a minori ad maximum iterumque ad minus fit mutalio, lege aliqua circuli, semper estaliquousque insensibilis illa differentia ». Doliometria, P. II, Th. 27. »

de ses incréments au voisinage d'un minimum. La variation (differentia) d'une quantité qui oscille périodiquement entre une série de maxima et de minima s'annulle aussi périodiquement dans chacun des intervalles qui sont parcourus. On voit que Kepler, guidé sans doute par le sentiment de la continuité, était arrivé presque d'instinct aux résultats qui seront établis bientôt par Hiiyghens.

L'École Italienne, inspirée également par le souci de satisfaire aux exigences de la physique, s'était orientée dès la fin du XVI* siècle vers la géométrie des indivisibles. Les mémorables travaux de Galilée, de Toricelli et de leurs élèves, eurent pour effet d'aiguiller les recherches vers l'analyse des grandeurs continues. L'importance pratique de la gravité, l'expression, mathématique des lois que Galilée en avait données*, la tentation d'analyser par le calcul les trajectoires des mouvements curvilignes, étaient autant de raisons qui devaient diriger les géomètres vers des applications mécaniques. La théorie du centre de gravite leur permettait de donner une signification concrète aux quadratures les plus simples, comme inversement les considérations de symétrie qu'on tirait de l'étude de la pesanteur devaient donner des indications précieuses pour faciliter certains cas de sommations.

Cavalieri publie en 1635 sa géométrie des indivisibles, Geometria indivis ibilibus continuorum nova quadam ratione promota. Nous savons que cet ouvrage a été connu de Galilée, avec qui Cavalieri entretint une correspondance, malheureusement mal connue, d'où il résulte pourtant qu'en 1626 le géomètre italien possédait déjà tout l'essentiel de sa méthode. L'originalité de Cavalieri se montre surtout dans le rôle qu'il assigne aux indivisibles. Il n'est pas le premier qui ait songé à envisager une figure comme la somme d'éléments infiniment petits, mais il est le premier qui ait interprété d'une façon rigoureuse le sens de ces indivisibles. Ce sont des éléments de comparaison qui ne doivent figurer que dans des rapports. Si nous leur donnons une existence absolue, nous retombons dans

1. «C'est en différenciant que Galilée déduit desesexpériencessurle plan incliné les lois de la pesanteur, que Newton déduit des lois de Kepler le principe de la gravitation universelle. » — Painlevé, le Problème moderne de Vintégralion des équations différentielles {Bull. Se. Math. T. XXVIII» 193).

L'ORIGINE DU CALCUL DES FLUXIONS

les difficultés que les sophistes anciens avaient déjà aperçues et que les artifices des géomètres modernes n'ont pas suffi à lever. Il est impossible de comprendre qu'une somme de quantités nulles soit finie, et si ces quantités ne sont pas nulles ou ne voit pas ce que leur petitesse peut ôter de leur complexité. La vérité est que les indivisibles, ou éléments des figures, comme tous les autres symboles successivement introduits par les géomètres, n'ont et ne peuvent avoir qu'un sens relatif.

De môme qu'on a institué des unités finies pour mesurer les quantités constantes, de même il faut des unités infiniment petites pour mesurer des quantités variables. L'introduction des nombres fractionnaires a permis d'évaluer l'aire dun carré quelconque à laide d'une unité de même espèce et de ses sousmultiples, c'est un besoin de mesure analogue qui a fait créer les infiniment petits. Comme la longueur d'une ligne n'est susceptible de mesure que sur un espace assez restreint pour qu'on puisse l'y considérer comme homogène, il faudra se servir d'unités très petites, grâce auxquelles cette homogénéité sera respectée. Comme l'aire d'une surface change de nature lorsqu'on se déplace sur la surface, il faudra employer des étalons superficiels assez petits pour s'appliquer sans erreur appréciable dans les régions où la surface reste uniforme. Ces étalons infinitésimaux, ces éléments d'aire et de longueur, disparaîtront finalement du calcul, où ils n'auront servi que d'intermédiaires, comme dans la géométrie ordinaire l'unité choisie n'intervient jamais dans l'estimation relative des grandeurs. Comparer les rapports des figures, au lieu de comparer les figures elles-mêmes, telle est la grande innovation de Cavalieri. Il énonça le premier théorème de calcul intégral qui fût à la fois rigoureux et fécond : les rapports de deux volumes finis sont les mêmes que ceux de la somme des volumes élémentaires qui les composent*. Par là il admettait à la fois la réahté du continu et la possibilité de sa mesure. Malgré l'obscurité de ses écrits, il contribua plus qu'aucun autre par sa Géométrie des Indivisibles comme par ses Exercices de Géométrie au développement de la science nouvelle.

Fermât, qui fut en tout un inventeur, ne semble avoir connu