Géométrie des Indivisibles, L. II, prop

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LA PHILOSOPHIl-: DE NEWTON

L'ORIGINE DU CALCUL DES FLUXIONS

qu'assez tard les travaux de Cavalieri. C'est par le Père Mersenne, semble-t-il, qu'il fui mis en relation avec lui, et nous avons de Fermât un opuscule de 1644, sans grande portée, où sont résolues quelques questions de Cavalieri ^ Bien avant cette date, Fermât était en possession dune méthode extrêmement profonde et générale, par laquelle il avait abordé avec succès la plupart des problèmes de géométrie analytique. La quadrature non seulement de la parabole, mais des paraboles et hyperboles d'ordre supérieur, la cubature du paraboloïde de révolution, la rectification de la cissoïde et de la spirale sont un exemple des résultats auxquels Fermât s'était élevé-. Sans examiner la question de savoir si c'est à lui véritablement qu'il faut faire honneur des premières méthodes du calcul intégral, il nous suffira de signaler une invention , d'apparence secondaire, en réalité plus importante que tout ce qui avait été fait jusquelà. C'est celle de la notation différentielle, dont Fermât faisait un emploi méthodique.

Fermai est le premier qui ait fait servir l'algèbre à la désignation de ces grandeurs évanouissantes qui doivent s'éliminer à la fin du calcul. Nous verrons bientôt qu'une des parties essentielles de l'œuvre de Newton, une des causes les plus précises de son confiit avec Leibniz, fut la question de la notation infinitésimale. Nous envisagerons à ce moment la portée philosophique de cette question. Retenons seulement que Fermat, dans la recherche des maxima et des minima, se servait d'un symbole toujours le même, la lettre £, pour désigner l'accroissement infiniment petit de la fonction. Si, par exemple, nous voulons chercher les valeurs de l'abscisse qui rendent l'ordonnée d'une courbe maxima, nous appellerons A celte ordonnée, .1 + £" l'ordonnée infiniment voisine, et en nous servant de la « propriété caractéristique » de la courbe, c'està-dire de son équation, il nous suffira d'écrire que ces deux valeurs sont égales pour obtenir une formule, divisible par £', d'où l'inconnue se tire algébriquement. Remarquons que la notation de Fermai présentait à la fois un avantage et un inconvénient. En employant des lettres analogues pour désigner les

4. Œuvres de Fermât, Ed. P. Panneryet Ch. Henry, T. I, p. 195. 2. Cf. Cantor, Gesch. d. Math., T. III, p. 785 sqq.

quantités ordinaires et les infiniment petites, il montrait clairement que les mêmes règles sont applicables aux unes et aux autres et que le « calcul des infinis » n'est qu'une extension naturelle de l'algèbre. Mais en n'affectant pas d'un signe dislinclif les grandeurs qui décroissent indéfiniment, il rendait malaisé le calcul des accroissements, sitôt qu'ils ne dépendent plus d'une manière tout à fait simple de la variable indépendante.

Malgré cela il est juste de dire qu'après la décomposition des figures en éléments simples, telle que l'enseignait Cavalieri, après l'évaluation des volumes et des aires, telle qu'on la trouve chez Kepler et Guldin, il ne manquait plus qu'une notation appropriée pour donner au calcul nouveau toute son ampleur. Cette notation, Fermât l'a trouvée, et on peut dire que s'il l'avait choisie plus commode, il était capable de pousser ses découvertes aussi loin que le firent Newton et Leibniz. Comment se fait-il donc que vers 1635, aune époque où le calcul infinitésimal s'était presque constitué de lui-même, un esprit comme celui de Descartes ail apparu sans rien ajouter à cette partie de la science ? Comment s'expliquer que l'Algèbre et la Géométrie proprement dite aient seules profité de ses recherches, alors qu'aussitôt après sa mort, Pascal en France, Newlon et Leibniz en Angleterre et en Allemagne devaient reprendre et pousser jusqu'au terme les travaux de Cavalieri cl (le Fermai ? Il y a à cela des raisons historiques que nous comprendrons si nous analysons l'esprit de la Géométrie Cartésienne et si nous voyons les rapports étroits qui la relient à sa philosophie.

La Géométrie Analytique passe pour être l'invention propre de Descartes. 11 y a là une idée si accréditée qu'il en faut chercher l'origine dans un fait réel. Descaries a su, mieux que ses prédécesseurs, employer les ressources de l'algèbre à la discussion des problèmes géométriques. Mais n'entend-on par Géométrie Analytique que la désignation des longueurs par des lettres ? Il semble que le principe de celle science, telle que nous la concevons aujourd'hui, soit tout autre chose. Remplacer Fétude d'une courbe par celle d'une équation, tel est le véritable rôle de la Géométrie Analytique. On comprendra mieux cette définition en se reportant à ce qui se passe dans le plan.

Si nous traçons dans un plan deux axes rectangulaires et que nous convenions de représenter par un point Tensemble de deux grandeurs corrélatives x et y, supposées égales (en grandeur et en signe) aux distances qui séparent le point des axes coordonnés, nous voyons que toute succession continue de valeurs attribuées k x ei y aura son image dans le plan, et cette image correspondra point par point aux solutions de l'équation. Le même fait se reproduit dans l'espace, et pour un géomètre moderne il est presque inconcevable que la géométrie analytique plane ne se complète pas immédiatement par la géométrie analytique à trois dimensions. L'une et l'autre, en tous cas, impliquent le continu. Elles admettent, comme on l'a démontré depuis, que la manière d'être d'une courbe ou d'une surface algébrique dans le voisinage, si proche soit-il, d'un de ses points, permet de juger de la façon dont elle se comportera en un point quelconque*. Les propriétés de contact, de courbure, de double courbure, sont susceptibles d'une expression générale, valable en tous points, sitôt qu'on possède l'équation de la figure, ou, comme le disait Fermât, sa « propriété caractéristique. » C'est parce que les solutions d'une équation à deux variables forment, sauf l'exception apparente des points critiques, un système uniforme et continu de valeurs, que nous sommes assurés de trouver d'un bout à l'autre de la courbe la conservation des mêmes propriétés géométriques. Si maintenant une ligne doit jouir de deux propriétés géométriques distinctes, nous aurons à chercher les deux équations générales qui expriment les propriétés algébriques équivalentes et un simple calcul d'élimination remplacera le tracé de la ligne demandée. L'Algèbre se présente de la sorte comme un substitut des difficultés géométriques. Ce sont les problèmes qui apparaissent comme difficiles, soit par la complication de leur énoncé, soit par l'incommodité de leur construction, que nous essayons de tourner par l'Algèbre. Au fond la nature du problème n'est pas modifiée par le langage sous lequel on l'énonce, et pourtant il y a une différence essentielle entre le cas où nous avons à grouper des données géométriques et celui où il faut discuter des formules algébriques. Les premières

1. Voy. Hadamard, La Série de Taylor et son Prolongement analytique^ chez Naud, 1900.

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forment un système d'éléments discontinus, qui sont susceptibles d'une combinaison et d'une seule, en dehors de laquelle il n'est pas de solution. Cette combinaison pourra apparaître d'emblée à un esprit familier avec l'usage des figures, mais il n'existe aucune règle certaine pour la distinguer des combinaisons stériles. Au lieu de cela le système d'équations représente une continuité parfaite. La combinaison des variables qui y figurent est assujettie à des règles fixes, et nous pouvons toujours, au moins théoriquement, obtenir sans effort d'invention le groupe des nombres qui les rendent compatibles. C'est là ce qui fait la vraie valeur de la Géométrie Analytique. Elle ne représente pas les équations par des courbes, mais les courbes par des équations. En d'autres termes elle n'a pas à construire, par des moyens géométriques, les racines communes à plusieurs équations, elle doit suppléer bien plutôt à l'insuffisance de nos moyens graphiques, en remplaçant la construction des lignes par la détermination des nombres qui les mesurent. Ce qui rend le second problème plus aisé à résoudre que le premier, c'est l'idée de la continuité, que la géométrie élémentaire admet sans doute, mais dont elle ne sait pas profiter. Avec la notion de variable et celle de fonction, l'Algèbre peut précisément faire l'analyse du continu et la Géométrie Analytique est le résultat de ce travail.

Les coordonnées rectangulaires, dont on a parlé plus haut, portent souvent le nom de coordonnées cartésiennes. Descartes a eu la notion très nette de l'emploi qu'on en pouvait faire, bien qu'il n'en indique nulle part la définition générale. 11 est bien certain qu'avant lui l'idée des ordonnées ou appliquées^ c'est-à-dire des droites parallèles limitées d'une part à la courbe, d'autre part à une droite fixe appelée règle ou base, a été utilisée par les géomètres du xvi® et du xvii^ siècle*. Descartes lui-même ne va pas plus loin. Il n'est pas parvenu à l'idée de la correspondance réciproque entre les abscisses et les ordonnées et nulle part dans sa géométrie on n'entrevoit nettement l'idée de fonction. Si la Géométrie Analytique de Descartes était vraiment ce que nous appelons de ce nom, il est évident qu'elle devait commencer par l'équation de la ligne droite. Or il est

1. Voy. Cavalieri, Géométrie des indivisibles, L. IV. — Kepler, Opéra, IV, 598.

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remarquable qu*cn aucun endroit on ne trouve chez Descaries celte équation si simple. La formule :

ux -|- vy -{- w =. 0

se rencontre pour la première fois dans le traité classique de y Hôpital S le premier ouvrage d'enseignement où la Géométrie Analytique figure d'une façon complète.

Descartes ne se préoccupe nullement de donner l'équation qui correspond à chaque espèce de courbes, et d'étudier sur l'équation, par la voie générale, les propriétés que la géométiÎ3 établit dans des cas particuliers. Les inconnues qui figurent dans les formules de Descartes ne sont jamais envisagées comme des variables, au sens moderne du mot. Les équations ne sont pas traitées comme renfermant sous une forme condensée l'ensemble des valeurs qui répondent au continu géométrique. Descartes tout au contraire, malgré le mépris qu'il professe pour la méthode des anciens géomètres, résout par une voie qui est neuve des problèmes posés à la façon des anciens. Quel est pour lui le sens d'une question ?Un problème mathématique revient toujours à un problème de construction. Ce que Ion demande à l'analyste, comme ce qu'on demande au géomètre, c'est de tracer une ou plusieurs longueurs dont la position permettra de construire, autant que possible par la règle et le compas, d'autres longueurs qui sont les inconnues'-^. Ainsi la construction de certains segments, déterminés en grandeur et en signe, est le but dernier de la géométrie cartésienne. Quand la règle et le compas ne suffisent pas, d'autres courbes sont indispensables. Mais l'intérêt que ces courbes présentent ne réside pas dans les propriétés générales communes à tous leurs points. Il réside dans le moyen qu'elles fournissent de découper une grandeur déterminée sur une