Cf. Lettres au P. des Bosses

pouvons concevoir de notion qui soit entièrement isolée de toutes les autres. Le passage des suites limitées aux séries infinies, des différences aux différentielles, des sommes aux intégrales, devient une démarche naturelle de la raison qui se trouve justifiée par la raison même. En ce sens la continmlé leibnizienne était, par son caractère abstrait, surtout applicable à l'algèbre. En faisant du calcul des différentielles un cas particulier du calcul des différences, Leibniz posait a priori la continuité algébrique. C'est cette idée qui devait bientôt ouvrir la voie au calcul des dérivées partielles et à la théorie moderne

des fonctions.

La continuité géométrique ne ressortait pas directement des principes de Leibniz. Assurément elle pouvait se déduire des propositions de sa métaphysique, puisque l'étendue est une forme sensible de ce que l'entendement perçoit rationnellement. ^ Mais c'est là une voie indirecte qui ne pouvait suffire aux géomètres purs, à ceux que laissait indifférents la métaphysique leibnizienne. Pour ceux-là les théories de Newton donnaient plus de lumière. La continuité, telle que la conçoit Newton, est un fait, plutôt qu'un principe. C'est une particularité de la nature que l'esprit humain n'a pas constatée tout d'abord, mais que sitôt qu'il la observée, il a dû tenter de réduire en nombres. Comme les nombres entiers sont les premiers résultats de nos réflexions sur les grandeurs discontinues, la continuité mathématique est aussi l'expression d'un fait observé. L'expérience, ou la nature, nous enseigne chaque jour que d'une courbe a une courbe voisine il est une infinité de passages. Entre deux an-les quelconques nous pouvons encore insérer une série da"ngles intermédiaires, toujours plus grands les uns que les autres, car la nature ne connaît point de bornes'. L'expérience à la vérité ne nous présente jamais tous les intermédiaires réunis. Mais il suffit que dans des cas difTérenls elle nous en fasse connaître un grand nombre, pour que l'analogie nous invile à en admettre partout. U suffit par exemple de faire quelques observations suivies sur un phénomène, de constrmre en fonction d'une variable quelques grandeurs « corrélatives .. pour voir l'ensemble des observations se coordonner sur une

i. Comp. Principes, L. I, S. 1, Seholie.

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courbe continue. Ainsi la continuité physique nous est révélée d'abord par nos diagrammes. De là nous nous élevons à la continuité géométrique, plus tard seulement à la continuité logique. La comparaison algébrique des nombres ne donne qu'une continuité abstraite, puisque la continuité véritable tire son origine du mouvement. Les aires successives décrites par le mobile, les distances parcourues par la masse qui tombe^ s'ajoutent comme des flux réguliers. L'allure des formules algébriques qui traduisent nos observations, participe de la même régularité. Mais cette propriété de calcul ne s'impose pas comme une loi de l'esprit, elle résulte d'innombrables rapprochements entre les données de l'expérience.

On comprend alors que Newton donne une forme géométrique et quasi-concrète au principe de continuité. Lorsque les conditions expérimentales varient un peu, la courbe des observations se déplacera un peu également. Si par exemple le mouvement d'un projectile dans un milieu dépourvu de résistance se fait suivant une hyperbole, il faut que dans un milieu très peu résistant, quelle que soit d'ailleurs la loi de son action, la trajectoire, dans ses parties observables, se rapproche sensiblement de l'hyperbole *. De même l'aire décrite par un mobile ne variera pas d'une façon brusque lorsque la trajectoire se déforme lentement, car l'expérience ne présente nulle part de lacune observable. La continuité mathématique résulte donc non de ce que nos idées s'imposent à la nature, mais du fait que nos systèmes de signes ont du se plier aux observations. C'est pour cela que Newton fait appel à la continuité surtout dans les problèmes graphiques. De là l'importance qu'il attache aux quadratures géométriques ; de là l'usage des interpolations, qui reproduisent la continuité réalisée dans la nature. En entrant dans cette voie, Newton rendait possible la création d'une Géométrie Intinitésimale. Pour lui la continuité ne se

1. V, Principes, L. H, S. 2, Prop. X. Scholie. « Celle ligne (trajectoire dans un milieu résistant) est donc du genre hyperbolique, mais c'est une espèce d'hyperbole qui est plus éloignée des asymptotes vers le sommet et qui dans les parties très éloignées s'en rapproche davantage que les hyperboles dont j'ai parlé ici. Mais cependant la différence qui est entre elles n'est pas assez grande pour qu'elles ne puissent pas être prises les unes pour les autres sans inconvénient dans la pratique. Et peut-être sontelles plus utiles que les hyperboles décrites avec plus de soins et plus composées. »

LA PORTÉE DU CALCUL DES FLUXIONS

conçoit pas algébriquement et a priori. La cohésion d'une figure dans ses différentes parties, cohésion accessible à nos calculs parce qu elle est vériliable par nos sens, est la forme vraie du continu mathématique. Si Leibniz, par des notations conventionnelles, a favorisé considérablement l'essor du calcul intégral, les procédés graphiques de Newton ont été surtout utiles dans l'étude des courbes algébriques et dans la géométrie des infiniment petits . La méthode de Puiseux, qui est inséparable des découvertes de Riemann, a son fondement dans une construction indiquée par Newton*.

Leibniz, semble-t-il, avait saisi la différence profonde qui le sépare de Newton, lorsqu'il écrivait au mois d'avril 1716 à l'abbé Conti, pour revendiquer la priorité du Calcul des Différences vis-à-vis de la méthode de Newton qui est celle de la Fluxion des Lignes. La voie que j'ai suivie, dit-il, est plus ayialytique, tandis que celle de Newton est plus voisine des considérations concrètes. Et ailleurs il reproche à Newton de trop particulariser ses solutions en leur imposant une forme figurée, au lieu que sa propre méthode est à la fois plus simple et plus universelle"^. On conçoit en effet que Leibniz, parti des notions de caractéristique universelle et d'Analyse combinatoire pour arriver à un calcul général des idées humaines, ait trouvé modeste et particulière la méthode de Newton. Il aspirait à donner un système complet de toutes nos perceptions, et le point de vue métaphysique se mêlait étroitement chez lui au point de vue proprement mathématique. Procédant d une façon toute différente. Newton ne séparait pas les considérations infinitésimales des données physiques ou cinémaliques qui