V. la théorie des comètes dans le L. UI

Bloch.

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LA PHiLOSOPHlb: DE NEWTON

orbites. Il admettait que l'ellipse déterminée par un trrs grand nombre de positions réelles est identique à l'ellipse véritable. Mais déjà les astronomes anglais avaient simplifié son calcul et cherché à construire l'orbite en partant du moindre nond)re d'observations. Ils avaient constaté qu'en notant la position et la vitesse d'une planète à un instant donné, on a tous les éléments nécessaires à la détermination du mouvenuMit ultérieur. Il fallait donc, pour que la solution do iNewton fut comj)l»'te, qu'elle put se déterminer d'une manière univo([ue à l aide des positions et des vitesses initiales. Il fallait en d'autres termes que les solutions |)ériodiques du problème des forces centripètes, qui sont susceptibles de représenter suivant les cas une conique quelconque, ne pussent plus, si l'on se donne les conditions initiales, représenter (ju'une seule ellipse idenlicpie à l'ellipse réelle.

On voit que nous soulevons de la sorte le problème de la détermination unique d'un mouvement par les conditions initiales. Est-il certain qu'en lixant arbitrairement une j)osition et la vitesse correspondante du mobile on puisse construire sa trajectoire, et cela d'une façon univo({ue ? Sommes-nous sûrs que la forme de courbe trouvée est identicpie à la trajectoire réelle, ou peut-il y avoir d autres courbes que notre calcul ait laissé échapper?

Newton ne semble pas s'être préoccupé beaucoup de celle question de principe. Après avoir trouvé que le mouvement elliptique, quels qu'en soient les caractères cinématiques, suppose toujours une force inversement proportionnelle au carré de la distance, il admettait, sous la seule réserve d'une vérification pratique, qu'on pouvait choisir l'ellipse de façon à l'identifier avec une ellipse donnée. On peut démontrer en effet qu'une ellipse est déterminée entièrement par un foyer, un point et la tangente en ce point, si l'on connaît *cn outre deux diamètres conjugués. Or, lorsqu'on se donne la position et la vitesse initiale du mobile, on se donne justement tous ces éléments. Il existe donc une ellipse et une seule satisfaisant aux conditions réelles, et il n'y a pas en dehors d elle d'autre trajectoire possible.

Le raisonnement de Newton sur ce point est au fond un appel au bon sens. Le bon sens nous enseigne qu'un mouvement

réel ne peut évoluer que d'une seule manière ; si nous fixons les conditions dans lesquelles il commence, toutes les particularités ultérieures peuvent s'en déduire. 11 serait absurde qu'un mouvement réel fut jamais ambigu, ou put se développer en deux sens différents. Si donc nous trouvons d'une manière ou d'une autre une trajectoire qui satisfasse à certaines conditions concrètes, nous sommes sûrs qu'elle est la trajectoire réelle. En d'autres termes les équations du mouvement sont susceptibles d'une solution et d'une seule parce que le mouvement est de sa nature susceptible d'une réalisation et d'une seule. Ce que le bon sens prévoit vaguement, le calcul le confirme avec exactitude. Il est toujours possible de disposer de l'arbitraire qu'introduisent les solutions de la mécanique de façon à les adapter justement à telles conditions concrètes que

l'on veut.

Newton pensait (ju'un problème mécanique est rigoureusement déterminé de sa nature, comme le phénomène qui lui correspond. C'est en s'appuyant implicitement sur ce principe qu'il résout le problème inverse du mouvement Képlérien'. Une pareille solution pourrait sembler aujourd'hui incomplète et sans rigueur. Nous demandons qu'indépendamment de toute idée concrète on démontre, au point de vue du calcul, Vexistence des trajectoires répondant à des conditions données et la non-existence de solutions multiples. Newton ne pouvait se préoccuper de semblables questions. Pour lui les mathématiques ontleur point de départ dans des observations physiques, et, si l'usage que nous en faisons est fidèle aux premières conventions, il est impossible que nous déduisions du calcul des conséquences incompatibles avec les faits. C'est ce qui se présenterait, si le problème de l'attraction, une fois résolu dans le cas général, ne pouvait s'adapter aux cas particuliers. L'existence des solutions en mécanique, et l'existence de solu-

1 Cf. Principes, L. I, S. 3, Prop. XIII, p. 71. « Si un corps quelconque attiré continuellement vers un centre par une force réciproquement proportionnelle au carré des distances part dun lieu l> suivant une droite quelconque PR et avec une vitesse quelconque, le corps se mouvra dans une section conique cp.i aura pour lun de ses foyers le centre des foixes, et réciproquement, car le foyer, le point de contact et la position de la tangente étant donnés, on peut décrire la section conique qui aura à ce point une couvhme donnée, el deux orbites qui se touchent et qui sont décries avec la même vitesse et la même force centripète ne sauraient différer entre elles ».

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LA PIIILOSOI'HIE DE NEWTON

lions uniques, est pour Newton un axiome physique et non un théorème qu'il y ait lieu d'établir.

Les considérations qu'on vient de faire valoir donnent la solution complète du problème suivant : trouver le mouvement de deux points matériels qui s'attirent en raison inverse du carré des distances. Mais c'est là un problème fictif qu'on ne doit pas idenlitier d'une manière hâtive avec le problème astronomique. Le cas pratique de l'astronomie n'est pas celui de points matériels, c'est-à-dire de volumes infiniment |)etits assimilables sans erreur à des points. Le monde solaire comporte des masses énormes, dont les plus éloignées ont une parallaxe sensible, et dont les plus rapprochées peuvent prendre des dimensions apparentes considérables. 11 n est nullement évident à priori que les axiomes démontrés valables dans le cas des points matériels restent ri^^^oureusement vrais dans un cas tellement différent. Les observations que nous avons eu lieu de faire sur le mouvement de corps très petits situés à la surface de la terre, observations dont nous avons tiré la loi de l'inertie, la loi de l'égalité de l'action et de la réaction, et la loi de l'indépendance des effets de forces, ne peuvent s'étendre sans justification préalable au domaine tout nouveau des masses planétaires. Gomme ce sont justement ces lois (pii sont à la base de la théorie donnée par Newton du mouvement Keplérien, il est nécessaire, si l'on veut que cette théorie soit au moins une première approximation, que les principes fondamentaux de la mécanique soient à peu près vérifiés dans le

système solaire.

Ceci peut se prouver, soit directement, par des observations aidées de l'analogie, soit indirectcmenl par la comparaison des faits avec les conséquences déduites des principes. Mais de toutes façons il est indispensable d établir ([ue le cas céleste est bien un cas mécanique si Ton veut faire du système de lattraction autre chose qu'une belle hypothèse. C'est un des traits de l'esprit positif de ne pas faire de généralisations hâtives. Quand nous transportons un mode de calcul d'un domaine à un autre, il convient d'examiner si les conditions d'application de ce calcul subsistent. C'est une précaution que Newton prend toujours, et dans le cas présent il s efforce de prouver que des propositions comme le principe d'inertie, le

théorème du centre de gravité, la loi de l'additivité des forces se vérifient avec la même précision que dans la mécanique terrestre. Disons tout de suite que le succès des généralisations de Newton tient aux conditions toutes spéciales où se trouve placée la mécanique céleste. Elle étudie les corps qui se rapprochent le plus du corps solide idéal, elle a affaire à un milieu à peu près dénué de résistance, et le cas des forces centrales est un de ceux où la loi (l'additivité est tout de suite démontrable. Si au lieu d'aborder la mécanique céleste, la science positive se fût attaquée d'abord aux phénomènes élastiques, magnéticiues, Ihermodynamicpies, il est à craindre qu'on eût longtemps méconnu la généralité des axiomes de Newton.

Newton étend aux mouvements planétaires successivement le théorème du centre de gravité, le principe d'inertie et la loi d'additivité des forces.

Si nous nous reportons à l'Hypothèse première du L. IHS nous voyons que Newton admet comme une donnée de bon sens l'immobilité du centre du monde. « Le centre du système du monde est en repos : c'est ce dont on convient généralement ; les uns seulement prétendent que la terre est ce centre, et d'autres que c'est le soleil. » Bien que Newton énonce cette proposition comme une simple hypothèse, on a le droit d'être surpris de le voir faire des hypothèses de ce genre. Il semble que le « système du monde » soit une ancienne idée métaphysique, l'idée de la totalité des phénomènes situés dans l'espace absolu. En parlant du centre d'un tel système (et il faut entendre par là son centre de gravité) Newton dépasserait de beaucoup le domaine positif où il a coutume de se tenir. En réalité le « centre du monde », signifie pour Newton le « centre du système solaire ». Ce point est le seul qu'il nous importe de connaître, il est le seul qui intervienne en Astronomie. 11 est possible de démontrer géométriquement^ le théorème du centre de gravité pour le système solaire. Il est possible aussi d'en donner une démonstration empirique, comme celle qui est dissimulée au début du troisième livre, dans un corollaire où on ne l'attendrait pas^ Voici sur ce point le raisonnement de

i. Principes, T. II, p. 28.