V. ANGLES DROITS, AIGUS, OBTUS

Les exercices précédents ont donné à l'enfant une idée intuitive mais juste de l'angle, quoique aucune définition n'ait été énoncée. Maintenant nous lui faisons connaître , toujours par la vue seulement, les lignes perpendiculaires entre elles, les angles droits, aigus et obtus; il s'habituera à les reconnaître et à les tracer avec facilité; les problèmes qui l'occuperont ici consisteront en général à chercher combien d'angles droits^ aigus et obtus on peut former avec deux, trois, quatre, cinq lignes, etc.

VL POLTGONES

On fait d'abord chercher à l'enfant quel est le plus petit nombre de droites qui puisse fermer de tous côtés un espace

94^ JËIHJCATI^ INTiX.L^TVm.l4K.

plan; puis on lui fait connaître le triangle, le quadrilatère > kl pentagone, etc. On lui fait ensuite chercher les différents nooH bres de triangles, de quadrilatères, de pentagones, etc., qu'on peut former avec un nombre donné de lignes droites. Enfin oo lui apprend à connaître parmi les triangles ceux qui sont ree^ tangles, acutangles ou obtusangles, équilatéraux, isocèles ou scalènes; parmi les quadrilatères, le trapèze, le parallélogramme, le losange, le rectangle et le carré. L'enfant est ensuite exercé à combiner la ligne droite avec ces polygones; par exemple, à diviser chacun d'eux de toutes les manières possibles en triangles, en quadrilatères, etc.

Jusqu'à présent nos exercices ont eu pour but de combiner les lignes sous le rapport de leur position seulement ; niaiotenant nous nous occuperons aussi de leur longueur.

Et d'abord, pour exercer l'enfant à apprécier les différencçsde longueur entre les lignes, nous lui demanderons de tracer,, sans règle ni compas, une droite égale à une droite donnée ; puis des lignes doubles, triples, quadruples de la ligne donnée;, puis une ligne qui en soit la moitié, le tiers, les deux tiers, les^ trois quarts, etc.

Ces différents exercice^ r\e tarderont p99 à mettre notre élève en état de trouver la commune mesure entre deux droites; ce problème, par lequel Lacroix a commencé son traité de géométrie, n'exige qu'une opération graphique intuitive ; il est donc du domaine du rapport des formes.

Après avoir accoutumé l'enfant à apprécier la grandeur de» lignes, nous l'exercerons à reconnaître celle des angles. Notre élève a uQe idée intuitive de Panglo droit ; nous prendrons cetangle pour unité et nous le diviserons en un certain nombre de parties égales par voie de tâtonnement en prenant le coup d'œil des enfants pour juge de notre opération. Nous leur ferons ensuite construire un angle qui soit égal à une fraction quelconque d'un angle droit, puis à une fraction d'un angle donné, aigu ou obtus.

Lorsque les eafaats ^ront finiiliari^és aveci l'appréoiatioA

INTUITION DBS FORM BS, Blàn. DE GÉOII. , DBSSIN LIN. , PERSPECT. ti3

de la grandeur des lignes et des angles» nous les occuperons de la grandeur des surfaces rectangulaires. Ils commenceront par diviser un rectangle en parties égales par des parallèles à Vvm de ses côtés» puis ils construiront un rectangle double» triple, etc., d^m rectangle donné, enfin un rectangle qui en soit la moitié» les deux tiers» les trois quarts» etc. La divi^^ion du rectangle par des parallèles à ses côtés donnera lieu à une suite d'exercices sur le nombre des petits carrés égaux qui y soat contenus» et fournira à Tenfont une idée intuitive de la mesure des surfaces.

C'est le moBient de faire connaître un exercice qui amuse beaucoup les enfants» et qui exerce leurs facultés de manière à leur faciliter singulièrement l'étude de la géométrie qui va bientôt les occuper ; nous voulons parler des dictées de figures. Il s'agit de leur faire dessiner des figures géométriques sans les leur montrer pour modèles» mais en leur indiquant d'une maniée précise comment ils doivent tracer chaque ligne. Le maître dira, par exemple :

Dessines un caxré dont deux côtés soient horizontaux. De l'extrémité droite du côté «ipérienr» menez: une ligne droite au point miliea du côié inférieur. Du milieu du côté gauche du carré» nenez une ligne dixûte à l'extrémité droite du côté inférieur» etc.

Après chaque opération» il demandera aux «ifants ce. qulb ont fait» et il exigera que eeuxrcî le lui indiquent d'une manière précise en disant :.

J'ai dessiné un ci^ié dont deux d^lés sont horizontaux» eCie.

Puis le maître regardera les ardoises» pour s'assurer que les opérations, qu'il a dictées ont été exécutées exactement.

Une autre fois les rôles changeront; aux enCants de dicter les figures» soit qu'ils les aient déjà dessinées» soit qu'elles n'existent pour eux que dans leur imagination; au maître d'en exécuter le dessin en se conformant à la dictée de ses élevée. Ainsi les inexactitudes de dictée se traasfimrmeront immédiatement en irrégularités de dessin qui avertiront l'enfant de ce

S44 ÉDUCATION INTELLBCTURLLB.

qu'il y a de faux ou dMncomplct dans sa manière de s'énoncer, et qui l'obligeront à la rectifier. Les figures dictées^ d'abord très simples^ se compliqueront graduellement jusqu'à exiger une grande force d'attention^ soit de celui qui dicte^ soit de celui qui dessine.

L'utilité de ces exercices par rapport au dessin linéaire est évidente, car ils forment à la fois l'esprit d'invention et de combinaison, le goût, la justesse du coup d'oeil et de la main. Mais c'est surtout comme préparation à la géométrie qu'ils offrent de grands avantages ; car ils accoutument les enfants à exprimer d'une manière précise les divers rapports de grandeur et de position qui peuvent présider à la combinaison des lignes, et à se former une idée exacte de ces rapports d'après leur énoncé ; ils développent en eux une force d'attention telle, qu'elle leur rend facile une vive et complète représentation des figures les plus compliquées, dès qu'on les leur fait connaître par description. On comprend combien cette dernière faculté leur facilitera l'étude de la géométrie descriptive.

Les exercices, dont nous venons de décrire les commencements et d'indiquer la marche, peuvent occuper les enfants dès Tàge de quatre ou cinq ans jusqu'à celui de huit ou neuf ans. Alors ils auront acquis des idées intuitives claires et justes sur les rapports des formes, et une grande facilité à exprimer ces idées. Alors ils pourront soumettre au raisonnement leurs notions intuitives, et ils auront à démontrer par une logique rigoureuse les diverses propriétés qui résultent de la combinaison des lignes ; ils commenceront donc l'étude de la géométrie pcoprement dite. Mais il leur restera encore quelques notions intuitives à acquérir, ce sont celles dont la généralisation constitue les axiomes mathématiques.

Ces axiomes, indispensables pour les premiers pas à faire dans le domaine de la géométrie, ne sont autre chose que l'expression générale et abstraite d'une vérité que l'intuition a reconnue dans un fait sensible. Il faut donc commencer par faire observer aux enfants le fait sensible, après quoi ils n'auront

INTUITION DBS FORMES, ÉLÉM. DE GÉOM., DESSIN UN., PERSPECT. 245

aucune peine à saisir le sens et la vérité de Texpression qui seit à généraliser ce fait.

Ainsi ^ Ton montrera à Tenfant une ligne divisée par des points en plusieurs parties; on lui fera remarquer que la ligne entière est plus grande que chacune de ses parties, qu'elle est aussi longue que toutes ses parties réunies. Cette observation pourra être répétée au moyen d'un angle partagé en plusieurs angles, ou d'un rectangle partagé en plusieurs rectangles, etc. ^ et l'enfant concevra fort bien la vérité et la généralité de ces axiomes : Le tout est plus grand que la partie. Le tout est égal à la somme de ses parties. On s'y prendra de même pour les autres axiomes.

Parvenus à ce point, nos élèves sont prêts, non-seulement à comprendre les démonstrations géométriques, mais à les trouver, ce qui est le meilleur moyen de les posséder véritablement et pour toujoui*s.

Gomme nous voulons que Penfant trouve lui-même sa géométrie, nous sommes obligé de modifier un peu la marche ordinaire de cet enseignement, afin de mieux le graduer.

Ainsi nous rétablirons toutes les propositions intermédiaires qui peuvent faciliter les recherches de l'enfant, et que les auteurs de traités de géométrie avaient supprimées comme inutiles. Ainsi nous ferons démontrer les cas spéciaux d'une proposition avant la proposition générale, chaque fois que la démonstration du cas spécial sera plus facile que la démonstration générale. Enfin nous ferons résoudre aux enfants un grand nombre de problèmes relatifs à chaque propriété qu'ils auront démontrée; nous choisirons pour ces problèmes des sujets relatifs aux affaires de la vie, et nous donnerons ainsi à toutes leurs recherches théoriques l'intérêt d'une application actuelle.

Cette marche est plus longue que celle qui est suivie par nos professeurs, mais elle est à la portée d'un enfant de neuf ou dix ans; en quelques années elle lui rendra la géométrie si familière qu'il ne pourra plus l'oublier et qu'il en trouvera

!B46 ÉDOtATMN ntTRLLTCTUBLtB.

tai-iDéme les diverses applications aux sciences et auit aris.

Voyons maintenant comment les choses se passent dans nos eolléges. Jusqu'à l'âge de quatorze ans environ^ les élèves ne ^nt pas jugés capables de comprendre la^éométrîe^ mais riea fie se fait dans le but de les y préparer. Tout à coup les voilà dans la classe de matliématiques élémentaires^ et le professeur leur démontre la première proposition d'un traité de géomé' trie^ puis il la leur donne à apprendre pour le lendemain. La plupart des élèves ne comprennent point complètement cette démonstration , parce qu'etle ne se lie à aucune notion déjà acquise par leur intelligence; ils lisent et relisent leur auteur jusqu'à ce que ses phrases se soient gravées dans leur mé-* moire ; ils trouvent qiie la géométrie est difficile^ aride et ennuyeuse , et les voilà dégoûtés des mathématiques. Ceux qui comprennent bien les démonstrations du maître trouvent plus d'intérêt à cette étude ; ce sont ceux qu'on interroge le plus souvent; en général ils répondent bien sur le sujet de la dernière leçon. Mais comme ils n'ont pas à chercher les démon^* strations^ comme ils ne font que les écouter^ afin de les graver dans leur nnémoire^ leurs facultés sont passives plutôt qu'actives. Ainsi l'attention est presque seule en jeu et se fatigue bientôt^ le jugement ne joue qu'un rôle secondaire^ et l'invention n'en joue aucun. Ciomment donc ces leçons offriraient-elles à l'en* faut un intérêt bien puissant? Comment des idées qui ne sont pas le fruit de son propre travail ^ et qu'on ne fait que présent ter à l'appréciation passagère de ses facultés^ se fixeraient-elles pour toujours dans son esprit? Faut-il donc être surpris^ si les élèves qui achèvent un premier cours de géométrie n'en savent plus le commencement, et si la plupart d'entre eux ne le possèdent jamais en entier?

Et voilà la marche qu'on appelle expéditive! En vérité, il serait temps de reconnaître qu'une méthode qui n'enseigne pas d'une manière certaine et solide est toujours trop longue. D serait temps de proscrire, et cette déplorable coutume d'ap^ prendre pour oublier, et cette méthode qui semble consister à

INTUITION DES FOMIBS, ÈLÈHL. i>fi dBOV. , IMÉàSiN LIN. , PERSPECT. ^47

feire passer des idées. Ou plutôt des mots, à travers le tète des «tifànts, de manière à y fortae^ une sorte de courant, dont l'effet ordinaire est d'empêcher que rien puisse s'y arrêter.

De même que les leçons sur Tintuition des formes ont préparé nos élèves à la géométrie , de même elles lès ont formés au dessin linéaire. En effet > déjà elles ont exercé leur mniH èC leur coup d'œil; déjà elles les ont h^tués à invente!* déè isômbinaisons de lignes d'un effet agréable > déjà elles ont commencé à développer leur goût.

Le dessin linéaire ne fera d'abord que continuer, étendre et perfectionner ce que nos premières leçons avaient ébauûbé, et par une série bien graduée d'exercices > il mettra bientôt nos élèves en état d'entreprendre avec succès des parties plus diffi^ cites de l'art du dessin. La suite de ces études élémentaires est maintenant exposée dans des ouvrages qui nous dispensent d'entrer dans le détail de teur gradation ; on peut consnltër> entre autres, le rraité de dessin linéaire, publié à Paris pat A. Boniface, disciple de Pestalozzi. Le dessin de la tète est bien le plus propre à former le coup d'oeil, la main et le goût; il lexige plus d'exactitude, plus de fini, plus de pureté de trait qu'aucun autre ; mais aussi il est, de beaucoup, le plus difiicile. On ne conçoit donc pas comment on a pu si longtemps donner aux commençante, pour premiers modèles, des yeux, des bouches et des oreilles, et l'on ne doit pas s'étonner qu'une pa« reille manière de procédi'r ait dégoûté le plus grand nombre des jeunes gens. Mais en commençant par des exercices réel<<' lement faciles et à la portée des enfants, en graduant avec soin les difficultés, il se trouve que tous les élèves prennent goût aU dessin et que tous y réussissent dans une certaine mesure. Aussi est-ce l'emploi de la méthode de Pestalozzi qui a permis d'introduire l'étude du dessin linéaire dans la moindre école primaire, et de lui faire produire d'heureux résultats.

Ces exercices élémentaires comprennent le dessin d'ornement et celui des meubles et ustensiles; ils conduisent au dessin topographiquè, à celui du paysage, de la tète et de

SIS éODCATION INTELLECTUELLE.

l'académie. Mais il ne faut point attendre que les élèves en aient parcouru une longue série pour les faire dessiner d'après nature.

Le dessin d'après nature, il est vrai, a des diflBcultés qui lut sont propres; mais il offre aussi un charme et un intérêt particuliers. Gomme il permet de commencer par une ébauche dessinée à grands traits, et comme cette ébauche même peut avoir une valeur réelle, il est éminemment propre à relever le courage des jeunes gens qu'une certaine impatience, qu'une sorte d'inhabileté à finir les détails, empêche de réussir dans la copie servile d'un modèle.

Mais le dessin d'après nature exige la connaissance de la perspective, et les règles de perspective ne peuvent être démontrées mathématiquement qu'à l'aide de la géométrie à trois dimensions. Or, nous ne voulons point attendre que nos élèves soient aussi avancés dans les mathématiques pour les faire commencer à dessiner d'après nature ; nous sommes donc obligé de recourir à un autre moyen pour leur enseigner la perspective.

Dessiner un objet en perspective, c'est le dessiner tel que nous le voyons, tel qu'il se peint sur notre rétine. Dès notre première enfance, nous nous sommes habitués à juger par cette image de la forme réelle de l'objet, c'est-à-dire à rétablir cette forme dans notre imagination, tandis que nous ne la voyons que moditiée par la perspective; et cette habitude est devenue tellement forte chez nous que, sans une nouvelle étude, nous ne pouvons plus nous représenter l'objet tel qu'il est peint sur notre rétine, tel que nous le voyons réellement. L'étude qui nous apprend en quelque sorte à voir un objet tel que notre œil le voit réellement est la perspective. On conçoit donc que cette étude peut se faire d'une manière intuitive et expérimentale.

Pour que l'élève puisse voir réellement un objet en perspective, il faut que, dans l'image qu'il en perçoit, il sache apprécier, d'abord l'inclinaison de chaque ligne, c'est-à-dire Tangle

INTUITION DBS FORMES, ÉLÉM. DE OéOM. , DESSIN LIN. , PERSPECT. 249

qu'elle fait soit avec la verticale^ soit avec Thorizontale, puis la longueur relative de chacune de ces lignes.

Pour faire apprécier à notre élève l'inclinaison des lignes^ nous lui ferons tenir sa règle à bras tendu dans une position horizontale ou verticale^ en regardant d'un œil seulement, de manière à ce qu'elle lui paraisse rencontrer la ligne dont il veut mesurer l'inclinaison; cette ligne formera avec la règle un angle qu'il s'agira d'apprécier; or on se rappelle que notre élève a été habitué à cet exercice, il lui sera donc facile de dessiner sa ligne sur son papier en lui donnant l'obliquité convenable.

Pour lui faire reconnaître la longueur relative des lignes, nous lui ferons tenir sa règle de la même manière, en la plaçant de telle sorte qu'elle paraisse coïncider avec la plus petite des lignes à comparer. Quand l'extrémité de la règle paraîtra coïncider avec l'une des extrémités de la ligne, l'élève fera mouvoir son doigt sur la règle jusqu'à ce qu'il paraisse coïncider avec l'autre extrémité de la même ligne. La longueur ainsi trouvée sur la règle sera portée de la même manière sur l'autre ligne à comparer, et le problème sera réduit à trouver le rapport entre deux lignes superposées, ce que nos élèves ont appris par le rapport des formes. Il est essentiel que, pour ce mesurage, l'élève tienne toujours sa règle à bras tendu, afin qu'elle soit toujours à la même distance de son œil.

Les deux opérations que nous venons de décrire sufiSsent à l'élève pour dessiner d'après nature ; mais nous ne devons pas nous borner à lui fournir un moyen purement mécanique, il faut encore qu'il connaisse la perspective par ses règles. L'instituteur fera donc constater à son élève les diverses règles de la perspective linéaire au moyen des deux opérations qu'il sait effectuer, et ainsi il lui démontrera ces règles d'une manière expérimentale.

En considérant la perspective comme une branche des ma* thématiques, on pourrait rejeter les démonstrations expérimentales. Mais on est bien forcé de les admettre en physique.

t50 ÉDITGATION IMTSLE.BGtUBLUiv

6t c'est à la physique que se rattachera raaintënAnt pour nos élèves l'étude de la perspective. Nous croyons éoDe que cenxcij lorsqu'ils auront suivi tes exercices que nous indiquons^ connaîtront cette partie de Tart du dessin aussi bien^ avec autant de certitude, qu'ils pourront la connaître plus tard^ lorsque les règles leur en seront dénK)âtrées par les mathéoia*tiques.

Le moyen d'enseignement que nous venons de décrire était celui de Pestalozzi ; il est maintenant pratiqué par un grand nombre d'instituteurs , mais nous avons cru devoir en dire quelques mots pour ceux auxquels il serait encore inconnu. Ce moyen a pour nous le grand mérite de mettre les leçons de perspective à la portée de toutes les écoles primaires^ et d'augmenter ainsi^ pour un très grand nombre d'écoliers^ l'utilité des exercices de dessin auxquels on les occupe»

tx