V. Les recherches de Helmholz

Pour foncier la géométrie métrique, on peut partir indifféremment des deux concepts fondamentaux de distance ou de mouvement ; à chacun de ces deux concepts correspond un ordre particulier de recherches. Riemann s'est proposé de caractériser la géométrie métrique par l'expression de la distance élémentaire entre deux points infiniment voisins ; postérieurement, Tilly1 a tenté, sans y parvenir rigoureusement, de caractériser directement l'expression de la distance finie entre les deux points essentiellement distincts. Ce premier ordre de recherches devait céder le pas dans la suite à celui où l'on caractérise la géométrie métrique par les propriétés des mouvements de figures indéformables, envisagés comme étant des transformations ponctuelles des figures dans une

1 Mém. Soc. Se. phys. nat. Bordeaux, 1880, p. 7-190; Mém. couronnés Mém. Acad. Belgique, t. XL VII, 1892-1893, p. 3-8o,

région de l'espace. Cette procédure est conforme à l'acquisition psychologique des notions métriques qui reposent sur l'existence de solides naturels invariables. Elle a pour point de départ certaines remarques d'Ueberweg, qui conduisirent Ilelmholtz à un exposé despostulats communs aux trois métriques. En mettant en lumière le caractère fondamental qu'ont les mouvements de constituer un groupe, F. Klein posa le problème sous son véritable jour : comme un problème ressortissant à la théorie des groupes de transformations. Ainsi formulée, la question fut traitée et résolue par Sophus Lie et Henri Poincaré. Enfin, la création de la géométrie projective et l'exposition, indépendante de toute notion métrique, qu'en a donnée von Staudt, devaient conduire Klein à inaugurer une nouvelle voie dans les recherches sur les postulats métriques, la voie projective, où les propriétés métriques des figures deviennent projectives par rapport à une certaine figure fixe appelée Y Absolu, et où Ion assimile les divers groupes de mouvements des solides indéformables aux groupes des homographies qui transforment Y Absolu en lui-même. C'est ce nouveau développement des géométries non-euclidiennes qu'il va maintenant nous falloir exposer.

Ce sont les travaux d'Helmholtz1, suscités par les recherches de Riemann, qui forment le lien logique entre ces dernières et la théorie des groupes de transformations.

Riemann caractérise une géométrie par l'expression de l'élément linéaire en fonction des coordonnées. Il choisit, comme expression de cet élément, la racine carrée d'une

1 Ueber die lhalsâchlichen Grundlagen der Géométrie, ap. 1 erh. d. Natur. Vereins Ifeidelberg, 1868, p. 197-202; Wiss. Abhandl., Leipzig-, i883, Bd. II, p. 610-617. — Ueber die Thalsachnn, die der Géométrie zu Grunde liegen, ap. Nachr. Ges. Gôtt., 1868, p. 193-221 ; Wis*. Abhandl., Bd. II, p. 6i8-639.

fonction quadratique des coordonnées, en disant que c'est l'hypothèse qui se recommande comme étant la plus simple. Il établit que le mouvement sans déformation des ligures dans l'espace n'est possible que dans un espace à courbure constante.

Ilelmholtz, suivant une marche inverse, se propose de justifier l'hypothèse de Hiemann sur la forme de l'élément linéaire, en montrant qu'elle est seule compatible avec le libre déplacement des figures dans l'espace, c'est-à-dire avec un espace à courbure constante ou homogène.

Beltrami, dans son Essai, avait déclaré : « Le critérium fondamental des démonstrations de la géométrie élémentaire consiste dans la superposition de figures égales1.» Ilelmholtz part d'une remarque semblable, à savoir que : « la base de toute démonstration dans la géométrie euclidienne consiste à établir la congruence de segments, d'angles, de figures planes et solides -.» Un tel procédé implique la possibilité de déplacer les figures sans les déformer dans l'espace : c'est le principe fondamental de la géométrie, queRiemann appellel'axiome de congruence et Ilelmholtz l'axiome de libre mobibilité.

Helmholtz est ainsi conduit à rechercher les conditions analytiques auxquelles satisfait un tel mouvement. Il les énonce explicitement dans les quatre postulats suivants, qu'il considère comme nécessaires et suffisants pour fonder la géométrie métrique :

i° Postulat touchant la continuité et les dimensions de V espace. L'espace est une variété numérique vn, an dimensions, où /? = 3, c'est-à-dire que la position d'un point est déterminée univoquement par trois variables continues, d'ailleurs arbitraires, xu x-2, x-à, appelées ses

1 Essai, ap. Ann. Ee. Norm., 1869, p. 9.5a.

3 Les Axiomes et la Géométrie,' ap. liev. Se. France et étranger, juin

coordonnées, de manière que deux points infiniment voisins soient représentés par des coordonnées infiniment voisines.

La condition /? = 3 peut n'être introduite qu'après l'énoncé des postulats pour n quelconque. Cette dernière façon de procéder est de beaucoup la plus rationnelle, parce qu'elle revient à définir la structure d'un groupe indépendamment de sa matière.

En vertu de ce postulat, qui implique ceux d'Archimède et de Cantor, le mouvement d'une région de l'espace sera défini par trois équations :

x2, xd)

x\ = y(xu

x2t xZj

Par cette transformation, un ensemble E de points (xu x%% x3) devient un autre ensemble E' de points (œ\, x'2, #3). On dit, en langage ordinaire, que cette transformation ponctuelle est un mouvement qui amène E en E'.

Helmholtz caractérise alors la notion de corps solide à l'aide du postulat suivant :

20 Postulat concernant l'existence des corps solides mobiles. Entre les deux n coordonnées (xu œ2i ••• xn), iy i-, y-ii ••• yn) de deux points quelconques d'un corps solide, il existe une fonction :

£i(#i, #2, ... œn; ij{, y,, ... yn),

correspondant à la relation invariable que nous appelons distance, qui est la même pour tous les couples de points congruents aux premiers, c'est-à-dire superposables aux premiers par un déplacement du corps solide dans l'espace ; de sorte que, si Ton désigne par (x\, x'2, ... ad „)

LES GÉOMÉTRIE* NON-El'CLIDIENiNES 59

et (y\, //.>, ... y'n) les coordonnées de ces points après un mouvement quelconque, on aura :

11(^^2, . . . xn ; y1}yg, . . .yn)=£l [x\,x\, . . . x a ; y' t, ?/2, . . .?/„).

Ce postulat, qui mériterait le nom d'axiome de distance , impose des restrictions à la liberté des mouvements des différents points d'un solide rigide, dues aux équations fournies par l'invariant il entre les couples de points qui le composent. Ces restrictions conduisent à énoncer un troisième postulat :

3° Postulat concernant la liberté des mouvements. Si, dans un solide rigide, on choisit arbitrairement un point quelconque P1? ce point est entièrement libre de se mouvoir dans toutes les directions. Si, ayant fixé Pt , on choisit ensuite arbitrairement dans le solide un second point Po, la rigidité du corps implique une équation entre les coordonnées de ^x et celles de P.,. Si, ayant fixé Pi et P2, on choisit encore arbitrairement un troisième point P3, la rigidité du corps implique deux équations entre les coordonnées de P3 et celles de P2 et de Pt, et ainsi de suite. Pour que chaque point d'un corps solide soit entièrement fixé dans l'espace à n dimensions, il faut et il suffit que l'on fixe n points de ce solide ; entre les cordonnées de ces n points, on a :

n (n-\- 0 i 4-2+ ... + n= — LJT.J

équations de conditions.

Helmholtz, ayant posé ces trois postulats, se demande si les géométries compatibles avec ces prémisses se réduisent aux trois géométries ordinaires d'Euclide, de Lobatchefski et de Riemann. Il croit devoir faire une réserve. Il y a une géométrie encore concevable, telle que, si l'on fixe les deux points d'un solide et si on fait

tourner celui-là autour de l'axe passant par ces deux points, les dimensions du solide se mettent à croître proportionnellement à l'angle de rotation. Au bout d'un tour complet, la ligure ne coïncide plus avec ce qu'elle était auparavant. Elle ne décrit pas une courbe fermée, mais une spirale logarithmique. Pour exclure cette géométrie, Helmholtz énonce un nouveau postulat.

4° Postulat de monodromie. Si, dans un espace à n dimensions, [n — i) points d'un solide restent fixes, de façon qu'une rotation complète autour d'eux amène le corps à coïncider identiquement avec lui-même, la courbe décrite par un point quelconque du solide est fermée.

Des recherches postérieures de Sophus Lie1 ont montré que ce postulat, nécessaire pour fonder la géométrie plane où n = 2, est superflu dans le cas de l'espace où n = 3, si bien qu'il est possible de fonder la géométrie métrique générale de l'espace sur les trois premiers postulats, en convenant de les considérer comme valables pour tous les points d'une région de l'espace.

En s'appuyant sur ces quatre postulats, Helmholtz, grâce aux théorèmes bien connus sur les coefficients différentiels des fonctions de plusieurs variables, montre que l'hypothèse admise par Riemann, au sujet de la forme quadratique de l'élément de distance, est seule possible. Ces postulats ne laissent donc subsister que les trois métriques, qui sont ainsi seules compatibles avec le déplacement sans déformation des figures dans l'espace.

Sophus Lie a repris et a confirmé les recherches d'Helmhollz, en y appliquant la théorie des groupes continus de transformations qu'il nous faut maintenant exposer.

' S. Lie und F. En gel, Transformationsgruppen, Bd. III, p. 437, 498

LES GÉOMÉTRIES NON-EUCLIDIENNES Gi

Avant, de passer, toutefois, à ce, nouveau chapitre de l'histoire des géométries non-euclidiennes, il importe de l)ien mettre en lumière la convergence des recherches précédentes.

Pour Riemann, une géométrie est caractérisée par l'expression de l'élément linéaire en fonction des coordonnées. Si l'espace est homogène, si le déplacement sans déformation des figures est possible, cette expression est une forme quadratique, et seules trois métriques sont possibles. Pour Ilelmholtz. les propositions de la géométrie ordinaire ne sont pas autre chose que les lois des mouvements des corps solides indéformables sur lesquels repose la notion de congruence. Un mouvement sans déformation est celui qui n'altère pas la distance de deuv points quelconques d'un corps solide ou encore qui transforme en elle-même l'expression du carré de son élément linéaire : cela n'a lieu que lorsque cette expression est une forme quadratique, et l'on retrouve ainsi, comme seules possibles, les trois métriques de Riemann. Il y a donc trois définitions possibles de ces expressions : égalité de deux distances, déplacements sans déformation, solides indéformables, etc.

Pour aborder les travaux de Sophus Lie, de Félix Klein et d'Henri Poincaré, qui ont donné aux géométries non-euclidiennes leur véritable signification, il nous faut exposer la théorie des groupes de transformations, qui en est le véritable fondement.