L. Rougier

Klein * a fourni une autre interprétation intuitive de la planimétrie riemannienne. Cette géométrie se reflète entièrement clans la géométrie ordinaire des gerbes de droites: en substituant aux « points » du plan, les « droites » de la gerbe, et aux termes « droite » et «distance», ceux de ((faisceau» et d' « angle», toutes les propositions de la planimétrie elliptique se trouvent ramenées aux propositions ordinaires de la géométrie de la gerbe, et réciproquement.

A la différence de ce qui se passe pour le plan riemannien, il n'existe pas de surface réelle à courbure constante négative qui offre, dans la géométrie euclidienne, l'image intégrale du plan lobatchefskien. La surface-type qui correspond à ce plan est une sphère de rayon imaginaire, par suite non représentable. Mais il existe des surfaces euclidiennes réelles, appelées pseudo-sphères, dont la métrique est identique à la planimétrie de Lobatchefski, à condition de se restreindre à une région convenablement circonscrite, comprise entre deux arêtes de rebroussement: telles sont les surfaces obtenues en faisant tourner la développante d'une chaînette autour de la génératrice, ou deux demi-branches d'hyperbole autour de leur asymptote. Si on appelle droites les géodésiques de ces surfaces, on constate que, par un point pris hors d'une droite, on peut mener une infinité de droites non-sécantes, dont deux répondent à la définition des parallèles du géomètre russe. On obtient ainsi une interprétation euclidienne d'une région limitée du plan hyperbolique. Cette interprétation est, en quelque sorte, la réciproque de l'interprétation donnée par Lobatchefski, sur les horisphères, de la planimétrie euclidienne.

De son interprétation, Beltrami tire l'argument suivant, pour prouver l'indépendance du postulat d'Euclide:

1 Malh. Ann., 1873, p. 140.

Toutes les géodésiques d'une région convenablement limitée de la pseudo-sphère respectent les axiomes et les postulats d'Euclide, sauf celui des parallèles. Si celui-ci était une conséquence logique des premiers, il s'appliquerait nécessairement aux géodésiques de la pseudosphère, ce qui n'est pas. Donc le postulatum est irréductible.

Cette interprétation n'est toutefois pas entièrement satisfaisante. Si elle garantit que le postulat d'Euclide ne puisse être démontré en restant dans le plan, il n'est pas prouvé que cette démonstration soit impossible, en employant des constructions dans l'espace. Aussi les successeurs de Beltrami ont-ils cherché, comme nous le verrons, des interprétations valables pour la géométrie à trois dimensions.