A LAIDE

Etant donné un ensemble, multiplicité ou variété d'objets ou d'éléments quelconques, il suffit, pour que cet ensemble soit défini, que l'on puisse reconnaître : i° si un objet appartient ou non à cet ensemble ; 2°si deux objets de cet ensemble sont distincts ou non.

Nous dirons qu'un ensemble est une variété à n dimensions si, pour déterminer un élément de cet ensemble, il faut se donner n quantités ou paramètres,^, x2 ..., xn que l'on peut appeler les coordonnées de l'objet. Par exemple, tous les points dune ligne constituent une variété à une dimension ; tous les points d'une surface et tous les plans tangents à une surface constituent une variété à deux dimensions ; tous les points de l'espace et tous les plans de l'espace, une variété à trois dimensions ; toutes les droites de l'espace et toutes les sphères de l'espace, une variété à quatre dimensions ; tous les éléments de contact, formés d'un point et d'un plan passant par ce point, et toutes les coniques d'un plan, une variété à cinq dimensions.

Si l'on fait correspondre, suivant une certaine loi, à

chaque élément, de nature quelconque, d'un ensemble E, un élément de nature quelconque d'un autre ensemble E', on dit que l'on substitue E' à E, ou encore que l'on transforme E en E' ; E' est dit le transformé de E suivant la loi de correspondance adoptée. Si les deux ensembles E et E' coïncident, la transformation établit alors une certaine correspondance entre les éléments d'une même variété. Une substitution ou transformation est ainsi une opération binaire, qui fait correspondre biunivoquement, suivant une loi déterminée, à chaque élément d'un ensemble, un autre élément soit du même ensemble, soit d'un autre ensemble. Par exemple, en géométrie, la translation, l'homothétie, l'inversion, sont des transformations, puisqu'elles font correspondre, à chaque point d'une figure F, un autre point d'une figure correspondante F', appelée la transformée de la première suivant la loi de transformation adoptée.

En géométrie, on a commencé par étudier des tranformations relatives à des figures spéciales, avant de s'apercevoir qu'elles n'étaient qu'un cas particulier de transformations beaucoup plus générales, applicables à tous les points de l'espace, du plan ou de la droite, suivant qu'on fait de la géométrie à trois, deux ou une dimension . Par exemple, une des premières transformations étudiée est celle de Mercator, pour représenter la surface de la Terre sur un plan. On a remarqué ensuite que la projection stéréographique n'est qu'un cas particulier d'une transformation plus générale, l'inversion, applicable a tous les points de l'espace. Pour arriver à la conception d'une transformation de l'espace, grâce à laquelle sont transformées les différentes figures sises dans cet espace, il est nécessaire de regarder ces figures comme formées d'éléments infiniment petits, dont l'ensemble constitue l'espace et sur lesquels porte la transformation. Le point de vue le plus habituel consiste à regarder l'espace comme formé

6'i LA PHILOSOPHIE GÉOMÉTRIQUE DE POINCARÉ

de points qui, associés suivant des lois déterminées, engendrent les figures. Dès lors, une transformation de l'espace est une transformation de tous les points de l'espace, et la transformée d'une figure F est la figure formée de tous les points transformés des points de F. Les transformations ainsi définies sont dites ponctuelles. Nous verrons ultérieurement comment on peut établir d'autres transformations géométriques, en prenant comme élément générateur de l'espace et des figures sises en lui un autre élément que le point.

Désignons par T une transformation déterminée; si la figure F' est obtenue en appliquant à la figure F la transformation T, nous dirons que F' est la transformée de F par T et nous écrirons :