FT)S = F(TS

En général, la multiplication des transformations n'est pas commutative, c'est-à-dire que l'on n'a pas, en général, TS = ST. Par contre, elle est associative, c'est-à-dire que l'on a, U désignant une troisième transformation :

(TS)U=T(SU) ; on peut alors désigner chacun de ces produits par TSU.

Si F' est la transformée de F par T, nous désignerons par T1 la transformation inverse qui remplace F' par F ; par définition, les égalités :

F' = FT, F = FT-1, sont équivalentes.

Le produit d'une transformation T et de son inverse T"1, appliqué à une figure F, remplace cette figure par ellemême. C'est ce que l'on appelle une transformation identique, désignée par le symbole i , et l'on a : TT-l=T-1T.= i.

Etant donné un ensemble de transformations, appliquées à des éléments quelconques, on dit que cet ensemble forme un groupe, si le produit de deux transformations quelconques de cet ensemble et la transformation inverse de chacune d'elles font encore partie de cet ensemble. On démontre alors que, si cette condition est remplie, un groupe renferme les produits de puissances quelconques des transformations qui y figurent. Par exemple, les similitudes forment un groupe, parce que, si F est semblable à F' et F' à F", F est semblable à F" ; et, si F est semblable à F', F' Test à F. On voit que, lorsque les transformations effectuées sur les éléments d'un ensemble forment un groupe, il existe entre les éléments de cet ensemble, déclarés alors homologues, une relation symétrique et transitive, c'est-à-dire un ou plusieurs éléments communs, dont on peut former le concept abstrait. Ces éléments communs s'appellent les invariants d'une figure par rapport au groupe de transformations considéré. Ce sont les propriétés et les relations d'une figure qui ne sont pas altérées par les transformations de ce groupe. Dans les similitudes, ce sont les angles homologues et le rapport des longueurs homologues ; dans les symétries, les angles et les longueurs des figures, mais non leur sens ; dans les inversions, les angles et les contacts, etc.

Les figures homologues, obtenues à laide de transformations, qui forment un groupe, sont dites égales par rapport à ce groupe. Tout groupe conduit à définir une certaine sorte d'égalité : ainsi, deux figures sont dites égales en Anal y sis situs, si l'on peut passer de l'une à l'autre à l'aide d'une transformation ponctuelle continue

quelconque ; deux figures sont dites égales, en géométrie projeetive, si Ton peut passer de l'une à l'autre à l'aide d'une homographie ; deux figures sont dites égales, en géométrie métrique, si l'on peut passer de l'une à l'autre au moyen d'un déplacement. Réciproquement, étant données deux transformations remplaçant, la première une figure quelconque F par la figure égale F', la seconde la figure F' par la figure égale F'', le produit de ces deux transformations, qui a pour eiï'et de remplacer la figure F par la ligure F", appartiendra encore aux transformations considérées, puisque les deux figures F et F'', étant égales à F', sont égales entre elles. Il en résulte que l'axiome : deux /iqures égales à une même troisième sont égales entre elles, équivaut à cet énoncé ; les transformations qui permettent d'obtenir des figures égales, les unes à partir des autres, forment un groupe.

Gela nous conduit à formuler incidemment une remarque importante. La géométrie métrique repose sur la définition de figures métriquement égales, et les axiomes métriques ont pour objet de préciser cette notion. On peut procéder alors de deux laçons différentes. On peut partir de la notion de figures égales et définir un déplacement sans déformation comme un mode de transformation ponctuelle, changeant une figure quelconque en une autre figure égale. On peut partir de la notion de déplacement sans déformation, et définir, comme figures égales, deux figures qui dérivent l'une de l'autre par un déplacement sans déformation. Dans le premier cas, on énoncera les propriétés formelles de l'égalité, à savoir : la réflexivité, la symétrie, la transitviité, l'associativité (résultant des trois autres), qui s'expriment logistiquement par les écritures suivantes :