FG = GF

Dans la seconde façon de procéder, on aura autant de propriétés corrélatives des déplacements :

i° Un déplacement nul fait correspondre à toute figure cette figure elle-même ;

2° Si un déplacement change une figure F dans une figure G, il existe un déplacement inverse amenant G en F ;

3° La transformation, résultant de deux déplacements successifs, est un déplacement ;

4° A et B étant deux points distincts, il existe des déplacements changeant A en B et B en A.

Tout groupe de transformations est caractérisé par ses invariants. On peut alors envisager un groupe comme formé de toutes les opérations, combinées entre elles de toutes les manières possibles, qui respectent certaines propriétés ou relations des objets auxquels on les applique. L'étude de ces propriétés et de ces relations, envisagées au point de vue formel de leurs rapports logiques indépendamment de la nature particulière des objets considérés, se ramène à l'étude de la loi de composition des opérations du groupe que l'on appelle sa structure.

L'étude de la structure des groupes de transformations conduit à les répartir en différentes classes. Pour cela, il convient d'en donner au préalable une définition analytique. Analytiquement, si l'on a un nombre n de variables indépendantes et une série de transformations de celles-là en de nouvelles variables (les valeurs des paramètres étant seules changées), cette série de transformations forme un groupe, si l'application successive de deux quelconques d'entre elles équivaut à une seule transformation de la série primitive. Le groupe est dit continu, lorsque l'on peut passer d'une transformation à

une autre par des variations infinitésimales contenues dans ce groupe ; il est dit discontinu dans le cas contraire. Les groupes discontinus se divisent : i° en groupes discontinus finis comprenant un nombre fini de transformations, qui se ramènent aux groupes de substitutions étudiés par Gallois ; i° en groupes discontinus infinis qui contiennent un nombre infini d'opérations, tels que les groupes fuschiens et kleinéens de Poincaré. Les groupes continus se partagent : i° en groupes continus finis, où les variables transformées sont des fonctions des variables primitives dépendant d'un nombre fini de paramètres arbitraires ; i° en groupes continus infinis, où ces fonctions dépendent d'un nombre infini de paramètres arbitraires. La théorie des groupes continus a été fondée par Sophus Lie ; encore celui-ci n'a-l-il envisagé qu'une catégorie très particulière de ces groupes.

D'après ces définitions, il est facile de se rendre compte que les déplacements forment un groupe. En effet, deux déplacements successifs équivalent à un déplacement unique. Ils peuvent être obtenus au moyen d'une série de variations infinitésimales : le groupe est donc continu. Ce groupe admet un invariant, qui est une certaine fonction des coordonnées des couples de points de toute figure qui se déplace. Sophus Lie est parti de là pour appliquer la théorie des groupes de transformations au problème posé par Helmholtz : déterminer un système de postulats qui soient à la base de la géométrie générale; ou, ce qui revient au même, déterminer tous les types , possibles de déplacements cinématiques.