II. Les recherches de Sophus Lie

Sophus Lie1 suppose tout d'abord que l'espace est une

1 Ber. Ges. Lpz. 38 (1886), Math., p. 337; Théorie der Transformalionsgruppe, t. III, p. 471, 49$ (section 6).

la théorie; des groupes DE TRANSFORMATIONS 69

variété numérique à trois dimensions (condition qu'il aurait pu n'introduire qu'en dernier lieu); où se trouve fixé un système de coordonnées :

Les déplacements dans l'espace, en tant qu'ils sont composables et réversibles, forment un groupe de transformations ponctuelles. Cette hypothèse remplace celle qu'Helmholtz rattache à la notion de congruence, à savoir que la congruence est une relation réciproque et transitive. Le problème d'Helmholtz se ramène à celui-ci : caractériser par des axiomes les groupes de déplacements correspondant aux métriques euclidiennes et non-euclidiennes, en les distinguant de tous les groupes possibles de transformations d'une variété v6. Sophus Lie est parvenu à deux solutions : l'une, en faisant des hypothèses se rapportant au voisinage infiniment petit de chaque point de la variété vA; l'autre, en posant les postulats convenant à une région finie de la variété v 3.

Si Ton suit cette dernière voie, où l'on envisagé les propriétés des déplacements dans une région finie, simplement connexe, de l'espace, on arrive au résultat suivant :

La géométrie métrique générale de l'espace peut être fondée au sens différentiel, c'est-à-dire pour une région limitée de l'espace, sur les postulats suivants :

i° L'espace est une variété numérique à trois dimensions (v3), où l'on peut fixer un système de coordonnées.

2° Les déplacements sans déformation sont des transformations ponctuelles, qui constituent un groupe réel et continu (c'est-à-dire engendré par des transformations infinitésimales), comprenant les inverses de toutes ces transformations.

3° Si l'on fixe arbitrairement un point (y.0, z/2°, yAù) de l'espace à trois dimensions, les coordonnées œl1 x%, xA des points avec lesquels un point {x^ x2°, x's0) peut être