L. Rouoier

amené à coïncider par un déplacement convenable satisfont à une équation :

Q (#/', a?g°, a?3°, yxQ, y.}\ y3°, xu ac2, a?3) = 0 représentant une surface contenant le second point (#t°, .r-0, #3°), mais non le premier (z/t0, y2°, */3°) •

4° Autour d'un point y.", ?/•/', //3°), il existe une région triplement étendue et de dimensions finies, telle que, le point (î/!0, y y, ?/;i") restant fixe, tout autre point (xi\ x.J\ x-f) de cette région puisse être amené, par un déplacement continu, en un quelconque des points situés sur la surface correspondante définie ci-dessus, c'est-àdire dont les coordonnées vérifient l'équation :

Si Ton admet ces quatre postulats, il n'y a plus que trois métriques possibles, auxquelles correspondent trois groupes distincts, suivant la façon dont on définit la distance de deux points.

Nous conviendrons d'appeler dans la suite axiomes de Lie le système précédent de propositions premières. En le formulant, Sophus Lie a montré que la vraie nature de la géométrie est d'être avant tout « l'étude analytique d'un groupe », celui des déplacements1. Il a montré, de

1 Poincaré, Journal de l'Ecole polytechnique, 1890, p. 1. — Comp. Bulletin de la Société mathématique de France, séance du 22 novembre 1887, p. 210-21G; S. H., p. go; R. M. M., 1" janvier 1897, p. ^4-67 ; The Monist. octobre 1898, p. 9-21. Poincaré apprécie en ces termes l'oeuvre de Sophus Lie (Journal des Savants, mai 1902, p 269) : « Lie a voulu former tous les types possibles de lois cinématiques. Il a cherché de quelle manière peuvent se combiner les divers mouvements possibles d'un système quelconque, ou, plus généralement, les diverses transformations possibles d'une figure. Si l'on envisage un certain nombre de transformations et qu'on les combine ensuite de toutes les manières possibles, l'ensemble de toutes ces transformations forme un r/roupe. A chaque groupe correspond une géométrie, et la nôtre, qui correspond au groupe des déplacements d'un corps solide, n'est qu'un cas très particulier. Mais tous les groupes que l'on peut imaginer posséderont certaines propriétés communes, et ce sont précisément ces propriétés communes qui limitent le caprice des inventeurs de géométries; ce sont elles, d'ailleurs, que Lie a étudiées toute sa vie. »

plus, que le système d'axiomes choisi par lui caractérise les groupes continus de transformations projectives concernant une quadrique ordinaire ou dégénérée, et les groupes qui leur sont isomorphes, c'est-à-dire qui peuvent s'en déduire au moyen d'une transformation ponctuelle. Nous appellerons métriques ces différents groupes.

Les principales propriétés communes aux groupes métriques sont les suivantes (I) :

Il existe une infinité de transformations ou déplacements), par lesquelles on peut amener un point quelconque A en une position quelconque A'.

Il n'existe pas, en général, de déplacements du groupe capables d'amener à la fois deux points donnés A, B, respectivement en deux positions données A', B'. Il faut pour cela qu'une certaine quantité, qui dépend de A et de B, soit égale à la quantité analogue formée avec A' et B'.

S'il existe une transformation du groupe amenant deux points déterminés A, B, respectivement en deux points déterminés A', B', il y en a une infinité. En particulier, il existe une infinité de déplacements qui laissent fixes deux points A et B; mais tous ces déplacements laissent également fixe une infinité d'autres points qui forment une certaine ligne, appelée ligne principale relative au groupe. D'où il suit que, par deux points quelconques, il passe une ligne principale relative au groupe.

Par trois points quelconques de l'espace, il passe une surface appelée surface principale relative au groupe, qui jouit de cette propriété : toute ligne principale relative au groupe passe par deux quelconques de ses points et y est contenue tout entière, etc.

Il existe trois groupes distincts, avec l'inimité de leurs isomorphes, possédant les propriétés (Ij. Mais l'ensemble des axiomes I) ne suffît pas à caractériser la structure des groupes métriques. II faut, pour chacun d'eux, faireappel à un axiome supplémentaire. Si, aux axiomes (I)> on joint le suivant (II) :

II existe, dans le groupe, des déplacements tels que chaque point de l'espace décrive une ligne principale relative au groupe;

il n'existe plus qu'u/i seul type de groupes satisfaisant à l'ensemble des propriétés (I) et (II) : c'est celui qui correspond à la géométrie d'Euclide.

La question des géométries non-euclidiennes s'est longtemps posée sous cette forme : Le groupe des déplacements défini par les propriétés (I), possède-t-il aussi la propriété (II)? Ce qui veut dire : le postulat d'Euclide est-il démontrable ?

Depuis qu'il est établi qu'il n'en est rien, la question des géométries non-euclidiennes s'est posée en ces termes : Avons-nous des raisons a priori ou a posteriori de définir le déplacement d'une figure invariable par l'ensemble des propriétés (I) et (II), c'est-à-dire par le groupe euclidien, et de nommer plans et droites les surfaces et les lignes principales relatives à ce groupe? Ces raisons sontelles rationnelles, empiriques ou de simple commodité, ce qui revient à demander : les axiomes d'Euclide sont-ils des vérités nécessaires, des vérités contingentes ou de simples conventions opportunes?

L'axiome (II) qui, joint aux axiomes (I), caractérise le groupe euclidien, a reçu divers énoncés dans la théorie des groupes de transformations.

Etant donné un groupe, appelons sous-groupe de ce groupe, tout groupe qui comprend une partie de ses transformations. Un groupe g est dit sous-groupe invariant du groupe G, s'il est changé en lui-même par une transformation de ce groupe. C'est ainsi que le groupe des déplacements euclidiens est un sous-groupe invariant du groupe des homothéties ou groupe des similitudes. En effet, on sait que si l'on effectue sur toutes les figures de l'espace une même homothétie dans un rapport donné, et si l'on altère en même temps l'unité de longueur dans le même rapport, tous les théorèmes de la géométrie ordinaire sont conservés; autrement dit, le groupe de la

géométrie euclidienne est invariant par rapport an groupe des similitudes. Cette propriété, qui ne fait intervenir que la structure d'un groupe, suffît à différencier le groupe euclidien des groupes métriques non-euclidiens, qui ne comportent pas de figures semblables. Elle est donc équivalente à l'axiome (II) qui caractérise le groupe euclidien.

Cet axiome peut être encore remplacé par celui-ci : Le groupe des translations est un sous-groupe invariant du groupe des déplacements. Une droite D et un demi-plan P passant par D étant donnés, on appelle translation un déplacement changeant les points de D en d'autres points de D, les points de P en d'autres points de P : c'est un glissement du demi-plan P le long de la droite D. Il est évident que le produit des deux translations est encore une translation, et, si l'on transforme une translation par un déplacement, on obtient une autre translation, la droite et le demi-plan étant seulement transportés dans l'espace. Le groupe métrique euclidien jouit seul de cette propriété : il possède le groupe des translations comme sous-groupe invariant.

Avant de quitter les travaux de Lie, une dernière remarque s'impose. Toute transformation ponctuelle, c'est-à-dire toute opération transformant un point de l'espace en un autre, équivaut, en géométrie analytique, à un changement d'axes de coordonnées, et toute propriété invariante par rapport à une transformation ponctuelle est indépendante du changement d'axes correspondants. C'est ce qui résulte directement de la forme donnée aux postulats d'IIelmholtz.

Envisageons un système de coordonnées constitué par trois axes euclidiens trireclangles : un point de l'espace sera défini par trois coordonnées x, y, z, qui sont les distances de ce point aux trois plans formés par ces axes. Les coordonnées du même point changent avec le système

auquel on les rapporte et deviennent, par exemple, as', //. s', dans le nouveau système. On appelle formules de transformation des coordonnées, les relations qui expriment les coordonnées anciennes as, y. z. en fonction des nouvelles. Ces relations font intervenir les paramètres, au nombre de six, qui définissent la position relative des deux systèmes d'axes. L'ensemble de toutes ces transformations de coordonnées, correspondant à toutes les valeurs possibles des six paramètres qui caractérisent une transformation, forment un groupe. Ce groupe peut être défini par la propriété suivante : si Ton considère deux points, de coordonnées x±1 yu %., a?2l y2? z% dans un premier système; x\, y'u z't, x2, y'2, zr2, dans un second, il existe une fonction des six coordonnées qui reste inaltérée pour toutes les transformations. C'est l'invariant Cl d'Helmholtz, la distance de deux points, dont le carré d"2 a pour valeur :

d- = (x, — x, - -h (y2 — y,f -f (z* — z, - = (x2 — x\Y2 -h ( y2 — y if + (z'o — z't i-.

Les formules qui expriment les x, y, z en fonction de .r\ y . z' doivent donc satisfaire à cette condition : si, dans l'expression \x2 — .r,)2 -h (y2 — y if -h (z2 — z\)-, on remplace les «r, y, z, par leurs valeurs en fonction des x', y. z\ le résultat doit être simplement :

[x2 — xl)--h(y2— yi)"+(-s — z ,)-.

Cette condition suffit à caractériser complètement le groupe euclidien. Si nous avions pris des axes non-euclidiens, c'est-à-dire si, au lieu de droites euclidiennes,, nous nous étions servis de droites non-euclidiennes, nous eussions trouvé, pour la distance de deux points, un invariant d'une autre forme.

Dans la figure formée par deux points, il y a donc un élément intrinsèque, la distance de ces deux points, qui est indépendant du choix des axes de coordonnées. Dans les figures plus compliquées, d'autres éléments invariants,

d'autres fonctions des coordonnées des points de la figure s'introduisent, qui caractérisent la figure indépendamment du système d'axes employé. La géométrie pure fait intervenir uniquement de pareils éléments et traduit les propriétés d'une figure par des relations entre ces éléments. Les propriétés, ainsi énoncées dans le langage intrinsèque de la géométrie, peuvent s'exprimer, comme dans la géométrie analytique de Descartes, par des relations entre les coordonnées des points de la figure. La forme de ces relations doit évidemment être indépendante du système d'axes adopté; autrement dit, cette forme doit être invariante pour tous les changements de coordonnées, c'est-à-dire pour toutes les transformations du groupe métrique considéré. Le principe de la relativité de l'espace est l'affirmation d'une telle invariance. Chaque fois que l'on parle d'un principe de relativité (géométrique^ mécanique, physique, etc.), on a en vue l'étude des invariants relatifs à un certain groupe de transformations; si bien que l'on peut remplacer l'expression : théorie des invariants relatifs à un groupe de trans for mations , par cette autre : théorie de la relativité par rapport à un groupe. Ces considérations trouveront leur emploi, lorsque nous serons amenés à parler de la théorie de la relativité de Lorentz, d'Einstein et de Minkowski.

III. Systématisation de la géométrie, d'après la théorie des groupes de transformations.

Les travaux de Sophus Lie montrent que l'objet de la géométrie ordinaire est l'étude d'un groupe, le groupe des déplacements euclidiens. Ce groupe contient en luimême toute la géométrie. En effet, la géométrie a pour but d'étudier celles des propriétés des figures qui restent inaltérées, lorsqu'on leur fait subir un déplacement quel-

conque, c'est-à-dire qui ne dépendent ni de leur position, ni de leur orientation. On peut dire, par suite, que la géométrie ordinaire est la théorie des invariants du groupe des déplacements euclidiens.

Ce groupe supposé connu sous sa forme analytique de groupe de transformations à trois variables, tous les théorèmes de la géométrie peuvent s'en déduire par le calcul. Un algébriste, à qui ce groupe serait proposé et qui saurait simplement que les trois variables qui y figurent représentent, suivant une loi inconnue, les points de l'espace, pourrait de lui-même reconstituer les notions de droite, de plan, de distance, etc. Il remarquerait que les transformations du groupe qui laissent fixes deux points donnés, A et B, laissent fixe en même temps une infinité d'autres points formant une ligne, la droite A B ; il parviendrait à la notion de figures égales, en considérant les figures transformées au moyen d'une transformation quelconque du groupe ; l'égalité des figures lui permettrait de mesurer les longueurs et les angles, puis de définir le nombre appelé la distance de deux points et les trois nombres appelés coordonnées d'un point. Bref, il pourrait établir toute la géométrie ordinaire et la géométrie analytique, comme on a coutume de la faire. En possession de ces notions, il serait capable de définir toute espèce de groupes de transformations, doués d'une structure différente de celle du groupe euclidien.

On peut dire qu'il y autant de géométries qu'il y a de groupes continus de transformations. Chacune a pour objet l'étude des invariants relatifs à un groupe de celte espèce. En présence d'un tel groupe, on peut toujours se poser la question suivante : trouver toutes les propriétés géométriques que ses transformations n'altèrent pas, c'est-à-dire les propriétés qui subsistent sans modification, lorsqu'on fait subir aux figures de l'espace l'une quelconque des transformations du groupe. L'ensemble de

ces propriétés constitue une géométrie. On peut donc définir une géométrie comme l'étude des propriétés géométriques qui demeurent invariantes par rapport à un certain groupe de transformations. Toute géométrie revient ainsi à l'étude algébrique des invariants relatifs à un certain groupe de transformations.

Ce point de vue a été systématisé par Félix Klein, dans son programme d'inauguration du cours de mathématiques à l'Université d'Erlangen *. Klein a été conduit à montrer les rapports de subordination et de corrélation existant entre les différentes géométries, métrique, projective, affine, topologique, etc., et à retrouver les résultats de Riemann, d'Helmhollz et de Sophus Lie par une nouvelle voie, la voie projective.

Chaque géométrie, d'après Klein, est caractérisée par le groupe de transformations qui lui correspond. La géométrie métrique ordinaire correspond au groupe des transformations formées en combinant les déplacements, les similitudes et les symétries. Les déplacements conservent les longueurs, les angles, et, en outre, le sens des iigures ; les similitudes conservent les angles et les rapports des longueurs ; la symétrie par rapport à un plan quelconque conserve les angles et les longueurs, mais non le sens des figures, deux figures symétriques n'étant pas congruentes. Le groupe des transformations formé en combinant les déplacements, les similitudes et les symétries, conserve les angles et les rapports des longueurs, c'est-à-dire la forme d'une figure. A ce groupe, Klein donne le nom de groupe principal (Hauptgruppe). Une propriété d'une figure quelconque sera dite géométrique, quand elle ne sera pas altérée par les transformations de

1 F, Klein, Vergleichen.de Betrachlnngen ùber neuere geomelrische Forsckungen, Programm zum Eintritt in die philosophische Fakullàt; Erlangen, 1872; Abgedruckt (mit Zusaten) in Math. Ann , iS<j3, p. 63. Trad. fr. Fade, Ann. Ec. iXorm., 1891, p. 87, 17.) et suiv.

ce groupe, quand elle sera un invariant du groupe principal.

Les propriétés géométriques sont indépendantes de la position, de la grandeur absolue d'une figure et du sens dans lequel ses parties sont disposées ; il n'y a pas, en géométrie, de grandeur absolue ni de position absolue, ce qui est une première forme de la relativité de l'espace. Il n'y a que des positions relatives et des rapports de grandeurs. C'est pour cela que, quand on démontre un théorème au sujet d'une figure déterminée, il est vrai de toutes lès figures de même espèce, quelles que soient leur grandeur et leur position dans l'espace. Une propriété d'une figure qui varie quand la figure se déplace, se dilate ou se renverse, n'est pas une propriété géométrique, c'est une propriété géographique. Dans la géographie, chaque point a un intérêt individuel; il y a une grandeur et une position absolues sur la Terre. Au contraire, la géométrie, comme toutes les sciences abstraites, opère avec des notions de classes, et c'est l'ensemble de toutes les figures égales, semblables et symétriques à une figure donnée, qui constitue l'extension des notions des classes les plus restreintes.

Toutes les propriétés géométriques restent inaltérées pour toutes les transformations du groupe principal G. Il peut être intéressant d'étudier, parmi ces propriétés, quelles sont celles qui sont conservées par un groupe de transformations plus étendu qui contienne G comme sousgroupe. On dit alors que l'on élargit ce dernier groupe, en augmentant le nombre des conditions, et, par suite, en restreignant le nombre des invariants. Tel est le groupe projectif, obtenu en élargissant le groupe principal par l'adjonction de nouvelles transformations, les projections et les sections. Le groupe projectif change les droites en droites ; deux figures, par rapport à ce groupe, sont égales, si elles peuvent s'obtenir comme perspec-

tive l'une de l'autre. Les relations métriques de distance de deux points, de parallélisme, de perpendicularité, de régularité, de congruence disparaissent. Seules subsistent les propriétés qui se conservent dans toutes les transformations projeclives appelées encore homographies ou collinéalions : telles sont les relations d'ordre et d'appartenance concernant la position des points, des droites et des plans et le nombre appelle rapport anbarmonique de quatre points distincts en ligne droite.

Il existe d'autres propriétés géométriques, qui ne sont ni métriques, ni projectives. Ce sont celles qui restent inaltérées lorsqu'on fait subir aux figures des déformations continues quelconques. Telles sont les relations de continuité et d'ordre, inhérentes aux concepts de ligne et de surface, qui caractérisent une variété continue à plusieurs dimensions. Leur étude fait l'objet d'une géométrie purement qualitative, fondée par Euler et Riemann, appelée théorie du continu, Topologie ou Analysis Situs, qui est le substratum commun des deux géométries précédentes. Deux figures sont dites égales, par rapport à ce nouveau groupe, si l'on peut passer de l'une à l'autre au moyen d'une transformation continue quelconque. Une droite est égale à une parabole, un cercle à une ellipse, une sphère à une surface convexe quelconque. L'ordre de connexion des figures et le nombre de leurs dimensions sont les invariants du groupe ainsi défini.

Les trois géométries, Y Analysis Situs, la géométrie projectivè, la géométrie métrique, correspondent à trois groupes de transformations fondamentaux. Chacune d'elles étudie les propriétés qui sont les invariants d'un de ces groupes. Dans la géométrie élémentaire, ces propriétés sont intimement liées entre elles; elles sont dans un rapport de subordination réciproque tel qu'on ne peut énoncer les propriétés d'un groupe sans se rapporter au moins en partie aux propriétés d'un autre.

C'est le développement de la théorie des groupes de transformations qui a permis de les distinguer, de les répartir en trois classes et de les étudier d'une façon indépendante. Grâce à cette classification, on peut reconnaître à quelle géométrie appartiennent les théorèmes que Ton trouve indistinctement énoncés dans la géométrie élémentaire. Soient les trois théorèmes suivants : « Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles » ; « les diagonales d'un parallélogramme se coupent en deux parties égales » ; « le nombre des arêtes d'un polyèdre convexe, augmenté de deux, est égal au nombre des faces, augmenté de celui des sommets » : le premier est un théorème de géométrie métrique, le second est un théorème de géographie projective, le troisième, appelé théorème de Descartes, appartient à Y Analysis Silus.

F, Enriques1 a montré que les trois classes de propriétés, étudiées par les trois géométrie?, correspondent, au point de vue de leur psychogénèse, à trois groupes de sensations :

i° Les propriétés qualitatives, qui concernent les rapports d'ordre et de continuité des lignes et des surfaces, se rapportent au sens général du tact;

i° Les qualités projectives, qui concernent les rapports d'appartenance des points, des droites et des plans, se rapportent aux sensations visuelles ;

3° Les propriétés métriques, qui concernent les rapports de congruence et de parallélisme, se rapportent aux sensations tactilo-musculaires que nous procurent nos organes explorateurs.

Il existe d'autres groupes continus de transformations auxquels correspondent d'autres géométries. Parmi

1 Questioni riguardanti la geometria elemenlare, Bologne, njoo, p. 16 et suiv. ; Rivista filosofica, 1901, p. 76; les Concepts fondamentaux de la Science, trad. Hougier, chap. m et iv, p. 42-83.

toules les transformations homographiques, considérons celles qui conservent le plan de l'infini : elles forment un groupe, le groupe des affinités, dénommé aussi groupe linéaire général, qui est un sous-groupe du groupe projectif. Le groupe des affinités conserve le parallélisme, mais non la perpendicularité : il est donc plus étendu que le groupe G, qui en est le sous-groupe. Dans la géométrie métrique, toutes les transformations conservent le parallélisme, les angles et les rapports des longueurs ; dans la géométrie affine, la rigidité des angles disparaît, mais le parallélisme des droites et des plans est conservé ; dans la géométrie projective, la rigidité des angles disparaît, aussi bien que le parallélisme, mais la rigidité des droites subsiste encore; dans Y Analysissitus toute rigidité disparaît. On peut dire, en matérialisant cette idée, que l'espace, dans Y Analysissitus, est uncontinuum amorphe, un espace gélatineux ; dans la géométrie projective, c'est un réseau de droites enchevêtrées ; dans la géométrie affine, c'est un espace articulé, parallélogrammique ; dans la géométrie métrique, c'est un espace formé de figures indéformables, cristallisé '.

Parmi les transformations affines ou linéaires, celles qui conservent le cercle imaginaire de l'infini forment le groupe principal ou groupe des similitudes. Parmi les similitudes, il y a lieu de distinguer celles pour lesquelles le rapport de similitude est égal à i . On peut répartir celles-ci en deux classes, suivant que les figures sont superposables ou non. Dans le premier cas, la transformation est un déplacement, et le groupe des déplacements est, comme nous lavons déjà vu, un sous-groupe invariant du groupe des similitudes. Dans le second cas, on obtient un retournement : les retournements ne forment pas un groupe, parce que le produit de deux retournements

1 Cf. J. Rey Pastor, la Systématisation de la Géométrie au moyen de la théorie des groupes, ap. Scientia, juin 1918, p. 420.

est un déplacement. Il y a lieu de remarquer qu'un déplacement est équivalent au produit de deux symétries si bien que les produits d'un nombre pair de symétries forment un groupe, celui des déplacements.

Il existe encore d'autres groupes intermédiaires, moins importants, qui correspondent à d'autres géométries possibles : la crémonienne, la ponctuelle, etc.1

Toutes les géométries précédentes ont ceci de commun : deux courbes ou surfaces tangentes se transforment en courbes ou surfaces tangentes. L'idée est venue à Sophus Lie"2 de faire abstraction de toutes les autres relations géométriques et de définir un système très large de transformations assujetties à la seule condition de respecter les contacts des figures. C'est le groupe des transformations de contact, dont tous les groupes précédents sont des sous-groupes. Dans ce groupe, l'élément qui engendre les figures de l'espace n'est ni le point, ni la droite ; c'est un élément formé d'un point et d'un petit segment plan, passant par ce point, appelé élément de contact ou écaille, et qui nécessite cinq coordonnées pour être analytiquement défini. Deux multiplicités, qui ont un élément de contact commun, sont dites tangentes ; une transformation est de contact, si elle transforme deux multiplicités tangentes en deux multiplicités tangentes : ces multiplicités sont alors égales par rapport au groupe considéré.

Appelons propriétés caractéristiques d'une géométrie, celles qui forment l'objet des théorèmes de cette géométrie et qui n'appartiennent pas aux figures qu'étudient des géométries plus générales. Appelons groupe fondamental ou groupe maximum des transformations d'une

1 On les trouve systématiquement exposées dans l'ouvrage suivant : J. Rey Pastor, Fundamentos de la geometria proyectiva superior, Madrid,. 191O.

- Géométrie der Beruhrungslransformationen, Ltipzig, 189C

géométrie, les transformations que Ton peut opérer sur les points de l'espace sans altérer les propriétés caractéristiques de celte géométrie. On devra alors s'arranger, au point de vue logique, pour choisir les concepts premiers d'une géométrie de telle sorte qu'ils soient des invariants par rapport au groupe fondamental correspondant, sans l'être pour un groupe plus étendu ou plus restreint. Dans ce cas seulement, la géométrie considérée sera indépendante des géométries plus particulières qui lui sont subordonnées. Un des défauts de VArialysis situs de nos jours est de présupposerla notion euclidienne de longueur, qui n'est nullement invariante par rapport au groupe des continuités. Un des défauts de la géométrie projective a été, pendant longtemps, de reposer sur des notions métriques, celles de demi-droite, de demi-cône, etc., qui ne sont pas invariantes pour les transformations homographiques. Enfin, il convient d'exclure des notions premières de la géométrie élémentaire celles de ligne, de surface, qui sont invariantes pour les transformations d'un groupe beaucoup plus large, correspondant à YAnalysis situs ; de même que, pour le même motif, les notions de segment et de droite, qui sont invariantes pour le groupe des affinités.

La géométrie élémentaire ayant été constituée la première, il est tout naturel que les autres géométries, obtenues à partir d'elle par voie d'abstraction, aient été longtemps encombrées de notions métriques, dont il est indispensable qu'elles se défassent progressivement. L'effort des logiciens s'est surtout employé à rendre la géométrie projective autonome. VonStaudt1 s'est préoccupé le premier de donner de cette géométrie un exposé indépendant des notions métriques d'angle, de distance, de rapport anharmonique. Dans sa théorie, il ne fait

1 Géométrie der Lage, Nuremberg, 1847.

8i LA PHILOSOPHIE GÉOMÉTRIQUE DE POLNCARÉ

intervenir que des axiomes concernant l'ordre et l'appartenance des éléments fondamentaux, points et droites. En ne faisant usage que de propositions très simples sur les combinaisons des points, des droites et des plans, il arrive à définir la division harmonique et la projectivité ; mais la démonstration qu'il trouve, pour justifier sa définition, exige, pour être valable, que la notion de pointlimite s'applique à la géométrie projective.A cette époque, cette notion était introduite en recourant à celle de parallélisme, caractérisée par une égalité d'angles ou par une congruence dans une rotation, concepts essentiellement métriques. Pour parfaire l'œuvre de Staudt, il fallait affranchir la géométrie projective du postulat d'Euclide. C'est à quoi est parvenu F. Klein *, en faisant appel à l'axiome de continuité, utilisé déjà en géométrie ordinaire.