IV. Subordination des groupes : le principe de Klein

Nous venons de voir que les groupes de transformations peuvent se subordonner les uns aux autres, par degré de généralité décroissante et de complexité croissante, en allant du plus étendu au plus restreint. C'est ce que l'on exprime en disant que les groupes subordonnés sont des sous-groupes du groupe le plus général. Les transformations de ce groupe comprennent, comme cas particuliers, les transformations des groupes plus restreints ; les transformations de contact comprennent les transformations continues, qui comprennent les homographies, qui comprennent les affinités, qui comprennent les similitudes, qui comprennent les déplacements. Les propriétés géométriques, conservées par le groupe le plus général, le

1 Nachr. Ges. Gôlt , 1871, p. 418; Math. Ann., 1871, p. 573 ; 1873,

sont aussi par ces sous-groupes, mais non réciproquement : les propriétés qui ne sont pas altérées par les transformations d'un groupe cessent de subsister en partie dans un groupe plus étendu. Ainsi les relations métriques de congruence, de parallélisme, de perpendicularité, de régularité, ne subsistent pas dans le groupe projectif; pareillement, les notions projectives de droite et de plan ne subsistent pas dans VAnalysis situs, où l'on n'envisage que des variétés à une ou plusieurs dimensions.

Etant donné le groupe fondamental d'une géométrie déterminée, on peut se proposer de définir les conditions qui permettent de l'obtenir en partant d'un groupe plus étendu. Félix Klein a établi ce théorème, que nous appellerons, pour abréger, le principe de Klein :

Si Von veut remplacer le groupe fondamental g par un groupe plus étendu G, une partie seulement des propriétés géométriques de V espace est conservée. Les autres propriétés n ■apparaissent plus comme des propriétés intrinsèques des figures de V espace, mais comme des propriétés, invariantes relativement au groupe G, du système formé en adjoignant aux points de l'espace une figure fixe, assujettie à cette unique condition : les transformations du groupe G, qui changent cette figure en elle-même, sont celles du groupe fondamental g.

Ce théorème comporte le corollaire suivant :

// est équivalent d'adjoindre aux figures ou aux points de l'espace une figure fixe et d'étudier les propriétés, invariantes par rapport à un groupe G, du système ainsi obtenu ; ou de restreindre U étude du groupe G aux seules transformations qui n altèrent pas la figure fixe considérée .

Le, principe de Klein permet d'obtenir, en partant d'un groupe donné, des groupes de plus en plus restreints, par l'adjonction d'une figure invariante. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse d'obtenir le groupe métrique en

L Rougier. 6

parlant du groupe projectif. Les propriétés métriques d'une figure F ou, plus généralement, des points de l'espace, apparaîtront comme des propriétés projectives de la figure plus complète formée par F et une surface fixe, appelée surface fondamentale ou Absolu, qui est une quadrique, ordinaire dans le cas des géométries noneuclidiennes, et dégénérée (cercle imaginaire de l'infini) dans le cas de la géométrie euclidienne. La géométrie métrique se présente alors comme une spécialisation de la géométrie projective par l'adjonction aux points de l'espace d'une quadrique fixe en elle-même. L'étude métrique des déplacements est ainsi ramenée à l'étude projective des homographies qui laissent invariante une certaine forme quadrique à l'infini. En vertu du corollaire de Klein, deux voies se présentent alors pour développer lagéométrie métrique ordinaire du point de vue projectif : la première consiste à étudier les propriétés projectives des figures de l'espace par rapport au cercle imaginaire de l'infini ; la seconde consiste à étudier les propriétés invariantes, non pour toutes les transformations du groupe projectif. mais seulement pour celles qui n'altèrent pas le cercle imaginaire de l'infini et qui sont justement les déplacements, les similitudes, les symétries ou les combinaisons de ces opérations qui constituent le groupe métrique.

V. Application du principe de Klein : l'interprétation métrico-projective des géométries non-euclidiennes.

Une des applications les plus remarquables du principe de Klein est celle qui a conduit cet auteur à l'interprétation projective des métriques euclidienne et noneuclidiennes.

Le premier en date, Caydev1 considéra les propriétés

1 A Sixlh Memoir on Quantics, ap. Lond. Phil. Trans., 18Ô9, p. 61-90; Coll. Math. Papers, Cambridge, 1889. t. II, p. 061-592; Phil. Trans.. 1870, p. 5i ; Papers, 1893, t. III, p. 460.

métriques de l'espace, comme les propriétés projeclives d'un espace plus complet formé par l'adjonction aux points de l'espace euclidien du cercle imaginaire de l'infini, donné dans un plan impropre à l'infini, comme intersection imaginaire de toutes les sphères de l'espace. Cette figure a la propriété de n'être transformée en ellemême que par celles des transformations du groupe projectif qui sont des transformations du groupe métrique. Dans ses recherches purement analytiques, Cayley envisage les expressions les plus générales de la distance de deux points et de l'angle de deux plans comme des invariants par rapport à une conique quelconque, arbitrairement fixée, qu'il appelle conique absolue ou simplement l'Absolu du plan. Il interprète ensuite les formules ainsi obtenues dans le cas où la conique absolue est le cercle des sphères imaginaires dans le plan à l'infini. Il envisage, enfin, le cas où la conique absolue dégénère en un couple de points, et il observe qu'il se ramène à celui de la métrique euclidienne des figures situées dans un plan ordinaire, lorsqu'on fait coïncider les. deux points fondamentaux imaginaires avec deux points déterminés du plan, les deux points circulaires. Ainsi se trouve édifié le système géométrique qu'il appelle métrique projective ; et, plein d'un légitime orgueil, il s'écrie : « Projective geometry is ail geometry ». Il explique ainsi sa' pensée : « Les propriétés métriques des figures ne sont pas des propriétés de figures considérées en soi, indépendamment de tout autre, mais ce sont leurs propriétés projectives, lorsqu'on les considère en connexion avec une autre figure, à savoir la conique appelée Absolu », si bien que '< la géométrie métrique n'est qu'une partie de la géométrie projective ».

Les recherches de Cayley sont purement analytiques. Elles se bornent à montrer l'identité de la métrique euclidienne et de la métrique projective, dans le cas le

plus simple, celui du plan. En 1871, F. Klein1, en partant du système projectif de von Staudl, qu'il affranchit du postulat des parallèles, montra, par des considérations d'ordre géométrique, comment la géométrie projective de Cayley comprend, comme cas particuliers, les trois métriques, tant pour le plan que pour l'espace. Pour cela, il envisage les différentes formes que peut prendre V Absolu, et il introduit, dans l'expression de la distance de deux points, un paramètre constant K, susceptible de prendre, suivant les cas, une valeur réelle ou purement imaginaire.

Considérons, à cet effet, une surface du second degré, supposée quelconque, appelée quadrique fondamentale ou Absolu. Deux points de l'espace A et B déterminent, par l'intersection de la ligne AB qui les joint et de la surface, deux points P et Q sur cette dernière. Le logarithme du rapport anharmonique (A B P Q), multiplié par une constance arbitraire K, sera dit la distance des deux points donnés. Pareillement, étant donnés deux plans, on peut, par leur intersection, mener deux plans Êangents à la surface fondamentale. Ceux-ci déterminent avec les plans donnés un certain rapport anharmonique. Le logarithme de ce rapport anharmonique, multiplie par la constante arbitraire K, sera dit Y angle des deux plans. Il résulte de ces définitions que les points de la surface fondamentale sont à une distance infinie de tous les autres points, Y Absolu étant l'ensemble des points à l'infini. Une transformation n'altérant pas Y Absolu changera P et Q en deux autres points de Y Absolu, A et B en deux points A' et B', A B en A' B'. Nous appellerons déplacement une pareille transformation, si elle équivaut à une suite continue de transformations; ce sera une symétrie

1 Math. Ann., 1 87 1 , p. 573; 1890, p. 044; Nicht-euklidische Géométrie, Gôltingen, 1889-1890, t. I, p. 98 et suiv.

dans le cas contraire. On obtient ainsi une détermination métrique projective générale, qui permet de retrouver les trois géométries métriques, lorsque Ton précise la nature de V Absolu, comme il suit :

i° Lorsque Y Absolu dégénère en section conique imaginaire, on obtient une métrique correspondant à la géométrie parabolique ou ordinaire.

•i° Lorsque Y Absolu est une quadrique imaginaire, fixée arbitrairement, on obtient une métrique correspondant à la géométrie elliptique.

3° Lorsque Y Absolu est une quadrique réelle, autre qu'une surface réglée, on obtient une métrique correspondant à la géométrie hyperbolique.

Dans le cas elliptique, la constante arbitraire (vecteur choisi pour unité) K est un nombre imaginaire; dans le cas hyperbolique, K est un nombre réel ; dans le cas parabolique, K est égal à l'infini. La géométrie parabolique se présente comme un cas limite de la géométrie hyperbolique.

Envisageons, en particulier, l'interprétation projective des métriques non-euclidiennes Dans le cas de la géométrie elliptique, où Y Absolu est une surface imaginaire, les points P et Q, où A B coupe Y Absolu, étant imaginaires, on appellera distance A B le logarithme de (A B P Q) divisé par ii. Aucune droite n'ayant de points à l'infini, la droite sera une courbe fermée de longueur finie. On est conduit immédiatement à des formules trigonométriques qui sont celles de la géométrie elliptique : ce sont les formules de la trigonométrie sphérique ordinaire, dans lesquelles le rayon de la sphère est représenté par la constante :

Considérons le cas de la géométrie hyperbolique. Si l'on se borne aux constructions qui ne sortent pas de

l'intérieur de la surface, en faisant usage de la détermination métrique correspondante, ces constructions obéissent aux mêmes lois que la géométrie hyperbolique établie pour les constructions dans l'espace. Toute droite, par exemple, a deux points réels à l'infini, car toute droite passant par l'intérieur de la surface coupe la surface en deux points réels. Par un point, on peut mener à une droite deux parallèles, les de.ux droites qui joignent ce point aux deux points d'intersection de la droite donnée de l' Absolu.

On obtient ainsi, pour les trois géométries métriques, des images adéquates dans la détermination métrique projective générale de Cayley, en supposant Y Absolu, tantôt dégénérant en section conique imaginaire, tantôt imaginaire, tantôt réel et non réglé. Mais ces images se changent dans l'objet même qu'elles représentent, lorsque, clans le cas de la géométrie parabolique, on fait coïncider la conique fondamentale avec une conique déterminée, le cercle imaginaire à l'infini; dans le cas des géométries elliptique et parabolique, lorsqu'on fait coïncider deux surfaces absolues avec une surface du second degré déterminée.

Il convient de démontrer maintenant que les trois métriques ordinaires sont seules possibles. Pour cela, Klein part de la détermination métrique projective des déplacements des figures. Dans la métrique ordinaire, les déplacements d'une figure sont formés par les mouvements, en nombre sextuplement infini, qui n'altèrent pas la distance des couples de points de la figure. Dans la métrique projective, les déplacements d'une figure seront formés par les homographies qui laissent en outre invariable une surface, la surface des points à l'infini, et qui s'expriment analyliquement par des substitutions linéaires. On démontre alors que seules les surfaces du second degré sont changées en elles-mêmes après un

nombre sextuplement infini de substitutions linéaires. Les points à l'infini, qui constituent l' Absolu, doivent ainsi former une surface du second degré. Pour déterminer l'espèce de surface du second degré qui doit servir à la détermination métrique, il suffit de remarquer qu'un plan, tournant continuellement autour de son axe situé dans ce plan à une distance finie, revient à sa position initiale, ce qui suppose que deux plans tangents, que l'on peut mener à la surface fondamentale par une droite située à une distance finie, sont imaginaires. Or, ils ne sont imaginaires que dans les trois cas précédemment définis.

Les recherches métrico-projectives de Klein concordent ainsi avec celles de Riemann en géométrie différentielle analytique, et avec celles d'Helmholtz, pour établir que, si l'on admet le libre déplacement des figures, il y a trois définitions possibles, et trois seulement, de la distance de deux points ou de la forme des corps.