I. L'Isomorphisme des groupes

de l'équivalence et le principe de Plucker.

Soient deux groupes de transformations G et G', portant sur deux ensembles d'éléments de nature différente E et E', comprenant des opérations d'un caractère tout différent. Supposons ces groupes astreints à vérifier les deux conditions suivantes : i° à chaque opération de G correspond une opération de G' et une seule ; 2° au produit de deux opérations quelconques de G correspond le produit de deux opérations correspondantes de G'; ces deux groupes sont dits isomorphes. Ils ne diffèrent que par leur contenu matériel; au point de vue formel, ils sont mathématiquement identiques. On dit alors qu'ils ont même structure, seules les propriétés formelles intervenant dans la définition de la structure d'un groupe et les propriétés formelles étant précisément celles qui sont communes à tous les groupes isomorphes. La structure d'un groupe se ramène elle-même à la loi de la combinaison de ses opérations. On peut donc dire que deux groupes d'opérations sont isomorphes, quelle que soit la nature des opérations, si ces opérations se laissent combiner suivant les mêmes lois.

L'ISOMORPHISME DES GROUPES 93

En partant de ces définitions, on peut énoncer un principe d'une importance capitale, que nous appellerons le principe d'équivalence : La condition nécessaire et suffisante pour que deux géométries soient équivalentes, c est-à-dire formellement identiques, c est qu'elles correspondent à deux groupes fondamentaux isomorphes.

Etant donnés une multiplicité E et un groupe de transformations G par rapport auquel on l'étudié, on peut toujours obtenir des groupes isomorphes, et, par suite, des géométries équivalentes, par le procédé suivant. On cherche une transformation H, ne faisant pas partie du groupe, qui transforme la multiplicité E en une autre E', et les opérations du groupe E en celles d'un autre groupe, appelé le transformé de G par la transformation H, ce que l'on écrit H"1 GH. Alors, à chaque opération de G correspondra une opération de H ' GH et une seule; au produit de deux opérations quelconques du premier groupe, le produit des deux opérations correspondantes du second; à toute propriété d'un objet de E, par rapport au groupe G, une propriété identique, relativement au groupe H"1 GH, de l'objet correspondant de E'. Ces deux groupes étant isomorphes, les géométries qui leur correspondent sont équivalentes.

La première application du principe d'équivalence fut la découverte par Gergonne1 du principe de dualité en géométrie projective, comme généralisation de la méthode des polaires réciproques de Poncelet. Ce principe permet de transformer chaque proposition projective, portant sur des rapports d'appartenance, d'ordre ou sur le rapport anharmonique, en une autre proposition, dans laquelle l'élément générateur des figures est différent ; les figures qui se correspondent ainsi sont dites corrélatives. Ainsi, les théorèmes de la géométrie projective restent vrais, si

1 Ann. Math, pures et appl.t 1818, p. 3ai; 1824, p. i5j.

l'on substitue la droite a uj point, dans la géométrie plane ; le plan au point, dans la géométrie dans l'espace ; la droite au plan, "dans la gerbe (faisceau de droites qui se coupent en un point). On'obtient les propositions corrélatives suivantes :

i. Par un point il passe une i. Sur une droite il y a une

infinité de droites. infinité de points,

i. Deux points déterminent 2. Deux droites déterminent

une droite. un point.