Une tangente à une courbe 2. Un point dune courbe est

est la droite qui passe le point d'intersection de

par deux points infiniment deux tangentes infiniment

voisins. voisines.

Cette remarque a conduit simultanément Chasles et Pliïcker à introduire, à côté des systèmes de coordonnées ponctuelles qui définissent des points, des systèmes de coordonnées tangentielles qui définissent des droites. Il

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résulte de là que toutes les propriétés projectives des figures ne sont pas modifiées par une transformation par dualité, ou encore que le groupe des transformations projectives peut être transfomé par dualité en un groupe isomorphe, où seul l'élément générateur des figures est changé.

Le principe de dualité qui permet, selon le mot de Gergonne, « de faire de la géométrie en partie double », montre que l'on peut prendre, comme élément de l'espace, des figures autres que les points : les droites, par exemple, ou les plans. Si l'on prend la droite, l'espace aura quatre dimensions, car il faut quatre paramètres pour déterminer la position d'une droite. On admettra, comme notion primitive, celle de l'intersection de deux droites. Si l'on envisage l'ensemble des droites qui rencontrent à la fois deux droites D et D' qui s'intersectent, on sera conduit à les répartir en deux groupes : l'un de ces groupes s'appellera gerbe, l'autre plan. La notion de gerbe équivaudra à la notion de point, car une gerbe est l'ensemble des droites passant par un même point. Toute proposition concernant les plans sera vraie des gerbes, en sorte que le principe de dualité se présente, en géométrie réglée, d'une façon beaucoup plus naturelle qu'en géométrie ponctuelle. Si l'on prend, comme élément de 1 espace, le plan, l'espace n'aura plus que trois dimensions : un point sera la figure formée par tous les plans qui passent par ce point, une surface sera la figure formée par tous les plans qui lui sont tangents, etc. Au lieu de considérer des transformations ponctuelles par lesquelles, à tout point d'une figure primitive, correspond un point d'une figure transformée, on considérera des transformations tangentielles, qui font correspondre un plan à un plan. D'une manière générale, étant donnée V indétermination laissée au mot point dans les propositions premières de la géométrie, le choix de Vêlement

générateur de V espace est arbitraire, pourvu quil respecte les rapports logiques énoncés dans les propositions premières de la géométrie : c'est ce qu'on appelle le principe de Plucker, du nom du géomètre qui l'a fait prévaloir l. Par exemple, on peut attribuer le nom de points aux cercles d'un plan; on fixera d'une manière convenable ce que Ton convient d'entendre par dislance de deux cercles et quels systèmes de cercles seront désignés de nom de droites et de plans. Si ces définitions peuvent être posées de façon que les relations logiques énoncées entre les points et les classes de points dans les postulats de la géométrie puissent être valables pour les cercles et les systèmes de cercles, il n'y aura plus qu'à poser une correspondance entre l'espace ponctuel ordinaire et l'espace des cercles, pour qu'à chaque figure formée de points corresponde une figure formée de cercles, et pour que toute proposition concernant la première se traduise, suivant la dualité admise, par une proposition concernant la seconde. La géométrie de l'espace ponctuel et la géométrie de l'espace des cercles sont équivalentes. Pareillement, Sophus Lie a trouvé une transformation qui permet de transformer la géométrie de l'espace réglé de Plucker, qui est à quatre dimensions, dans la géométrie des sphères. Un point, au lieu de correspondre à deuxdroites qui se coupent, correspond à deux sphères tangentes ; une surface, au lieu d'être un système de points ou enveloppe de droites, est l'ensemble de toutes les sphères qui la touchent ; les lignes asymptotiques d'une surface correspondent aux lignes de courbure de sa transformée. Les théorèmes des deux géométries se correspondent biunivoquement, si bien que ces deux géométries sont équivalentes.

1 Analylisch-cjeomelrischen Entwicklungen, Essen, i83i, t. II, p. 697.

L'ISO.MORPHISME DES GROUPES 97

Dans la théorie des groupes de transformations, on peut donner au principe de Plùcker l'énoncé suivant :

Etant donnée une géométrie, on peut considérer indifféremment, comme éléments générateurs de l'espace, certaines figures, formant ce qu'on appelle un corps, à une double condition :

1° Que ces figures soient transformées entre elles par le groupe fondamental qui correspond a cette géométrie ;

2° Qu'il n existe aucune transformation du groupe fondamental (autre que la transformation identique) laissant invariante chacune des figures du corps.

Quel que soit le corps choisi, toute figure peut être regardée comme formée par des éléments du corps. En géométrie ordinaire, comme nous venons de le voir, si Ton engendre l'espace par des plans, un point est la figure formée par tous les plans qui passent par ce point, une surface est la figure formée par tous les plans oscillateurs, etc. En tenant compte des conditions énoncées dans le principe de Plùcker, on pourra choisir arbitrairement comme éléments d'espace, en géométrie euclidienne, les droites, les plans, les cercles, les tétraèdes, les trièdres trirectangles, etc., et même des figures plus compliquées, comme les complexes linéaires, les faisceaux de quadriques, etc. Si les nouveaux éléments générateurs de l'espace ne dépendent que de paramètres en nombre fini, le groupe fondamental transformera entre eux ces paramètres, qui joueront ainsi le rôle que jouaient les coordonnées des points. On obtiendra un nouveau groupe fondamental, d'une forme analytique, en général, toute différente, qui pourra n'avoir pas le même nombre de variables, mais qui représentera les faits géométriques tout aussi bien que l'ancien, avec lequel il est isomorphe, étant son transformé suivant la dualité admise.

Il résulte de là que l'axiome : l'espace a trois dimensions, n'est ni une vérité rationnelle a priori, ni une

vérité empirique a posteriori, mais une simple convention. Dire que l'espace a trois dimensions signifie qu'on a choisi comme élément de l'espace le point ou le plan. Si on avait pris la droite, l'espace aurait quatre dimensions, car il faut quatre quantités pour définir les deux projections d'une droite sur deux plans de coordonnées, etc. Tous les faits géométriques seraient également bien systématisés dans une géométrie à quatre ou à cinq dimensions, et Poincaré a montré qu'il en serait de même pour l'expression des lois physiques : ce seraient les mêmes lois exprimées par d'autres équations1. Le nombre de dimensions d'un groupe est donc un élément matériel qui n intervient pas dans l'étude formelle de sa structure. Des géométries à trois, quatre, n dimensions, comme la géométrie de l'espace ponctuel, celle de l'espace réglé, celle de l'espace des sphères, peuvent être équivalentes, si leurs groupes fondamentaux sont isomorphes : seuls, lorsque l'on passera, suivant une certaine dualité, d'un certain élément de l'espace à un autre, l'ordre des théorèmes et leurs liaisons seront modifiés.

Considérons deux géométries différentes, étudiant des espaces n'ayant pas nécessairement le même nombre de dimensions. Si l'on peut choisir un corps d'éléments générateurs du premier espace, et, pour ces éléments générateurs, un système de coordonnées, de telle manière que le groupe fondamental de la première géométrie devienne identique au* groupe fondamental de la seconde, les deux géométries seront équivalentes. On pourra, dans ce cas, établir une correspondance entre les figures, les notions, les définitions des deux géométries, de manière que les théorèmes des deux géométries deviennent identiques. C'est le point de départ d'une série d'interprétations euclidiennes des métriques non-euclidiennes.

1 D. P., chap. m.

L'ISOMORI'HISME DES GROUPES 99

Le principe d équivalence a reçu de très nombreuses applications. L'une des plus célèbres est l'équivalence de la géométrie projective de l'espace réglé de Plûcker et de la géométrie de contact des sphères orientées de Sophus Lie. D'autres équivalences, plus élémentaires, sont fréquemment utilisées, en particulier dans la théorie des groupes fuchsiens et dans la théorie arithmétique des formes quadratiques. Il existe, en effet, plusieurs géométries importantes, dont le groupe fondamental peut être ramené, moyennant un choix convenable des éléments générateurs de l'espace, au groupe des transformations homographiques d'une variable. A cette catégorie de géométries appartiennent la géométrie hyperbolique des plans, si l'on suppose les transformations homographiques à coefficients réels, et la géométrie hyperbolique de l'espace, si l'on suppose ces transformations à coefficients complexes. D'après cela, toute transformation homographique d'une variable peut être regardée comme définissant un déplacement, daus le plan non-euclidien si elle est réelle, dans l'espace non-euclidien si elle est complexe. H. Poincaré s'est servi de cette propriété dans sa théorie des fonctions fuchsiennes.

L'importance de la théorie des groupes et du principe de l'équivalence est exprimée par Poincaré de la façon suivante : « Le principe de la science mathématique est toujours le même. Elle doit étudier des transformations de natures diverses, et, pour cela, elle doit rechercher ce qui demeure constant et inaltéré dans ces transformations. Partout, elle a pour but l'étude des groupes, et pour moyen la recherche des invariants. Gela n'apparaît pas dans tous les cas avec la même évidence, bien que cela soit toujours vrai. Si Ton voit du premier coup que la géométrie projective n'est autre chose que la théorie des substitutions linéaires, on n'aperçoit pas aussi vite que

la géométrie élémentaire se ramène à celle des substitutions orthogonales1. »

II. Application du principe de l'équivalence : La relativité de l'espace.

La relativité de l'espace résulte de ce que l'on peut transformer le groupe euclidien, à l'aide d'une transformation ponctuelle quelconque, en un groupe isomorphe.

Lorsque Ion dit que l'espace est relatif, on désigne par là des propriétés fort diverses2. Il est relatif en tant qn homogène : si les objets qui nous entourent et notre corps lui-même étaient transportés dans une autre région de l'espace, sans que leurs distances mutuelles varient, nous ne nous en apercevrions pas, et c'est ce qui arrive en effet, puisque nous sommes entraînés par le mouvement de la Terre. Il est relatif en tant qui1 isotrope : si l'orientation du système du monde venait à changer, nous ne nous en rendrions pas compte. Il est relatif, en tant qxxil ne comporte pas de grandeur absolue : si les objets étaient tous dilatés dans une même proportion et s'il en était de même de nos instruments de mesures, nous n'en aurions aucune conscience. Il est relatif, enfin, en tant qu'amorphe. Supposons que tous les objets soient déformés suivant une loi continue tout à fait quelconque, comme le sont leurs images dans des miroirs déformants, et qu'il en soit de même de nos. instruments de mesure : nous ne pourrions nous en apercevoir. Ainsi, les locutions position absolue, orientation absolue, grandeur ou distance absolue, forme absolue, n'ont aucun sens, pas plus que, en la physique contemporaine, les termes de

1 Notice sur Halphen, ap. Œuvres de G. -H. Halphen, publiées par les soins de C. Jordan, E. Picard et II. Poincaré, Paris. 1916, t. 1, p. xxxiv- xxxv.

2 Cf. V. S., p. 63-65; S. M., liv. II, chap. 1; D. P., p. 37-38.

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mouvement absolu, vitesse absolue, accélération absolue. Il convient de revenir sur la dernière espèce de relativité géométrique, celle de la forme. Il n'y a pas de forme absolue. Un corps n'a de forme que relativement à un autre. Pour bien faire entendre ce dont il s'agit, imaginons deux mondes, tels que l'on puisse passer de l'un dans l'autre par une transformation ponctuelle quelconque. A chaque point de l'un correspondra un point et un seul de l'autre, et les coordonnées d'un point du second seront des fonctions continues, du reste tout à fait arbitraires, des coordonnées du point correspondant du premier. Supposons qu'à chaque objet du premier univers corresponde un objet de même nature du second : les objets du second seront les transformés du premier, suivant la transformation admise. Si nous passons du premier monde dans le second, en subissant la même déformation que celle des objets, nous ne nous rendrons compte d'aucun changement survenu ; notre géométrie restera la même. Que si, de retour dans notre patrie d'origine, il nous est donné de contempler l'univers que nous venons de quitter, notre stupéfaction sera grande : à nos droites correspondront des lignes révélant de capricieuses inégalités; à nos plans, des surfaces singulièrement bosselées: à nos cercles, des courbes tordues; aux déplacements sans déformation de nos solides, des transformations altérant sensiblement la forme des mobiles correspondants : ce monde nous paraîtra la caricature du nôtre Et. pourtant, ces deux mondes, intuitivement si dissemblables, seront géométriquement isomorphes : à toute congruence et à tout déplacement de l'un correspondront une congruence et un déplacement de l'autre suivant les mêmes lois, et les habitants de l'un et de l'autre monde construiront la même géométrie. Qu'est-ce à dire, sinon que les transformations ponctuelles transforment le groupe euclidien en groupes