L. Rougir

isomorphes .'c'est en cela que consiste la relativité de V espace.

On peut exprimer analytiquement ces résultats de la façon suivante. Soient trois nombres a, [3, y, que nous appellerons coordonnées provisoires d'un point. Prenons trois fonctions de a, (3, y, à savoir x, y, z, que nous nommerons coordonnées définitives du même point. Soient deux points [x, y, z; x0, y0, z0) et d la distance euclidienne de ces deux points donnée par l'expression :

d = y' [x — a?„)2 + [y — */o)2 + (z — zoy.

Nommons plan, l'ensemble des points dont les coordonnées x, y, z, vérifient une équation du premier degré ; droite, l'intersection de deux plans; déplacements, les transformations n'altérant pas la distance. Avec ces définitions, la géométrie ordinaire s'établira sans peine et les axiomes d'Euclide seront vrais. Mais les fonctions x, //, z, restent, dans ce qui précède, indéterminées. En changeant ces fonctions, on a d'autres objets vérifiant les mêmes axiomes. Les axiomes de la géométrie ne caractérisent donc pas univoquement les objets auxquels on a coutume de les rapporter ; ils s appliquent également a une infinité d'objets que Von peut obtenir, en partant des premiers, par une transformation ponctuelle quelconque. Les symboles qui figurent dans leur énoncé ne sont donc pas nécessairement liés à l'intuition habituelle que nous avons de la droite, du plan, etc., puisque les propriétés formelles de ces symboles s'accordent également avec l'intuition de n'importe quels pseudo-droite, pseudo-plan, pseudo-déplacement, obtenus à l'aide d'une déformation continue quelconque. On peut dire, par suite, que nous n'avons pas plus l'intuition de la droite en soi, du plan en soi, d'un déplacement en soi, que nous n'avons celle de la position, de la grandeur ou de la distance absolue de deux objets. Ces mots, pris absolument,

L'ISOMOKPHISNE DES GROUPES 103

sont dénués de sens. Lorsqu'on convient de leur en accorder un, à l'aide des axiomes métriques d'Euclide qui sont relatifs à la droite, au plan, à l'égalité des ligures, etc., c'est en réalité toute une famille de lignes, de surfaces, de figures que Ton se trouve avoir caractérisée équivoquement. Ces lignes, ces surfaces, ces figures forment une même famille, en ce sens qu'on peut les obtenir, les unes à partir des autres, au moyen d'une transformation ponctuelle quelconque.

III. Application du principe de l'équivalence : les interprétations euclidiennes des géométries non-euclidiennes.

En partant du principe d'équivalence, on peut établir trois interprétations euclidiennes différentes des métriques non-euclidiennes. Les deux premières consistent à définir, en partant de la géométrie ordinaire, certains groupes de transformations (groupe conservant les angles et une sphère fixe, groupe conservant les droites et une sphère fixe, etc.), et à montrer que, grâce à un changement de vocabulaire approprié, ces groupes sont isomorphes aux groupes non-euclidiens.

Première interprétation. — Commençons par étudier le groupe des transformations qui,conservent les angles et une sphère fixe. Ces transformations sont des produits d'inversions, si bien qu'il nous faut d'abord définir ce que c'est qu'une inversion.

On nomme inverse d'un point M, le point M' lui correspondant sur la ligne MOM7, O étant un point fixe appelé pôle d'inversion, tel que l'on ait la relation OM.OM' = K, la constante K étant la puissance d'inversion. On démontre que l'inversion, appliquée à tous les points d'une figure, conserve les angles et transforme la ligne droite en un cercle passant par le pôle d'inversion.;

un cercle ne passant pas par 0, en un cercle homothétique au précédent ; un plan, en une sphère passant par le point 0 ; une sphère ne passant pas par 0, en une sphère homothétique à la précédente.

Considérons1 une sphère 2 (réelle ou imaginaire), ayant pour centre O et pour rayon y' ïv, appelée sphère fondamentale ou Absolu. Toute sphère et tout plan, passant par deux points inverses M et M', coupent orthogonalement cette sphère fondamentale. Appelons cercle O et sphère Q, tout cercle et toute sphère coupant ainsi 2 à angle droit.

Une inversion de pôle 0 et de puissance IV2, R désignant le rayon de Y Absolu, change la sphère fondamentale en elle-même. Il en est de même d'un produit quelconque d'inversions semblables, qui, pour cette raison, forment un groupe, que nous appellerons S. Ce groupe n'est pas continu ; il n'est pas engendré par des transformations infinitésimales, une inversion ne pouvant pas changer tout point de l'espace en un point infiniment voisin. Mais ce groupe possède un sous-groupe qui jouit de cette propriété. C'est le groupe formé par un nombre pair d'inversions : deux inversions, ayant leurs pôles très voisins et leurs puissances peu différentes, changent tout point de l'espace en un point aussi voisin qu'on le veut. Appelons T ce sous-groupe du groupe S. On peut démontrer alors que le groupe S, formé d'un nombre quelconque d'inversions, est isomorphe au groupe métrique de Lobatchefski et que le sous-groupe T est isomorphe au groupe des déplacements non-euclidiens.

Appelons, à cet effet, espace, l'ensemble des points intérieurs à 2; droite, la partie d'un cercle Cl intérieure à 2; plan, la partie d'une sphère Q, intérieure à 2; dis-

1 Cf. J. Richard, Leçons sur les méthodes de la Géométrie moderne, Paris, 1900; premier supplément, p. i-i.'î.