L. Hougier

nelle n'est pas par elle-même une proposition, car elle n'est ni vraie, ni fausse. Elle devient une proposition vraie ou fausse, lorsque l'on remplace les variables par des valeurs constantes : c'est un schème de proposition ou encore un moule logique à propositions. Ainsi, une équation algébrique contenant plusieurs variables est une fonction propositionnelle. En effet, elle peut être vraie pour certains systèmes de valeurs et fausse pour les autres; mais elle n'a de sens (elle n'est vraie ou fausse) que si l'on assigne aux variables des valeurs déterminées, d'ailleurs tout à fait quelconques; sinon elle reste une forme vide, le schème d'une infinité de propositions possibles.

Il importe de remarquer que les propositions premières d'une théorie déductive ne sont pas à proprement parler des propositions : ce sont des fonctions propositionnelles qui caractérisent équivoquement les symboles non définis de la théorie, comme un système d'équations à plusieurs inconnues caractérise ces inconnues, dans le cas où il détermine leur valeur dune façon équivoque (car si le système d'équations n'admettait qu'une solution, on pourrait obtenir une définition explicite et nominale de chacune des inconnues)/Par exemple, en géométrie, les symboles non définis désignent des points ou des classes de points, de sorte que, comme le dit Whitehead, « les axiomes géométriques sont des propositions touchant les relations entre des points » ; mais, « les points mentionnés dans les axiomes ne sont pas une classe spéciale et déterminée d'entités, ce sont, en réalité, n'importe quelles entités qui se trouvent soutenir des relations mutuelles, telles que les axiomes soient vrais quand ils se réfèrent à ces entités et à ces relations. Par conséquent (la classe des points étant indéterminée), les axiomes ne sont pas du tout des propositions, ce sont des fonctions professionnelles. Un axiome, en ce sens, n'étant pas une

proposition, ne peut être ni vrai ni faux1. » Coulural déclare de môme: « A tout prendre, un système d'axiomes peut être considéré comme un concept ; c'est même un concept, car c'est une fonction propositionnelle à une variable2. »

Sitôt qu'on donne d'un système d'axiomes une certaine interprétation, en faisant correspondre aux symboles non définis des objets singuliers susceptibles d'être représentés, les axiomes deviennent des propositions, vraies ou fausses, selon les cas. Les axiomes d'une théorie déductive apparaissent ainsi, tantôt comme des fonctions propositionnelles, c'est-à-dire comme des expressions indéterminées, dont on ne peut pas dire qu'elles soient vraies ou fausses et dont on se contente de tirer un corps cohérent de conséquences logiques ; tantôt comme des propositions assertoriques, des vérités de fait (d'expérience ou d'intuition), dont toutes les conséquences revêtent le même caractère.

Les principes formateurs et les axiomes de relation, en tant qu'ils sont les seules conditions restrictives imposées à l'interprétation des symboles premiers d'une théorie, sont souvent appelés des définitions déguisées, des définitions implicites, on encore des définitions par postulats des symboles premiers, non définis nominalement. C'est ce qu'a traduit Poincaré, en disant que les axiomes de la géométrie n'étaient que « définitions déguisées6 »; plus justement, des parties de définition. Par exemple, le postulat d'Euclide n'est pas autre chose qu'un complé-

1 Whitehead, Introduction logique h l'étude de la Géométrie, ap. Fi. M il/., janvier 1907. p. 34-35.

2 Couturat, les Principes des Mathématiques, ap. R. M. M., janvier 1900, p. 2^5, note.

3 S. //., p. 67. — - Comp. J. W. Young, Lectures on fundamcntal concepts of Algebrn and Geomelry, New- York, 191 1, p. 53 : « As far as their logical characler is concernée!, the unproved propositions play the rôle of disguised définitions. »

ment de la définition de la ligne droite. Mais une définition n'est pas une proposition : elle n'est ni vraie ni fausse. Elle revient à une convention de langage, issue d'une libre décision de l'esprit, que l'on peut justifier par des raisons d'opportunité, de convenance ou de commodité, mais qui ne s'impose jamais impérativement à notre entendement. Il en résulte que, au point de vue formel, les axiomes sont de simples conventions qui règlent l'usage des termes premiers d'une théorie déductive.

Il faut remarquer, toutefois, que l'affirmation de la compatibilité logique de ces conventions est une proposition véritable, susceptible de vérité ou de fausseté. Pareillement, les postulats d'existence et d'unicité, qui figurent parmi les propositions premières d'une théorie, sont des propositions : ils affirment l'existence et l'unicité de certains objets, susceptibles de vérifier les relations énoncées dans les principes formateurs et les axiomes de relation. Lorsqu'on dit que les principes définissent par postulats les notions premières nominalement indéfinissables, il faut entendre qu'il s'agit uniquement des principes formateurs et des axiomes-de relation, à l'exclusion des postulats d'existence et d'unicité, une définition ne comportant jamais l'existence du défini1.

Ainsi une théorie déductive se présente comme une forme pure, un barème de déductions toutes faites, d'implications formelles indépendantes de tout contenu, susceptible de s'appliquer à des matières fort diverses2. C'est ce qui permet d'expliquer, comme nous le verrons dans la suite, qu'il existe un grand nombre dinterpréta-

1 Comp. L. Rougier, les Paralogismes du Rationalisme, 2e partie, chap. v; G. Frege, Ueher die Grundlagen der Géométrie, ap. Jahresb. d. deut. Malh.-Verein, igo'i, p 371.

3 Cf. L. Rougier, De la nécessité d'une réforme dans l'enseignement de la Logique, ap. /?. M. M., septembre-octobre 1917, § ',. p. 583-594.

lions diitérentes des métriques euclidienne et non-euclidiennes1.

II. Le système de notions et de propositions premières de David Hilbert.

Les conditions de rigueur logique, auxquelles doit être assujettie toute théorie déductive, ont été mises tardivement en lumière, vers la fin du xixe siècle, par les Logisticiens italiens. La condition de cohérence a été découverte comme suite des tentatives faites pour montrer la non-contradiction des géomé tries non -euclidiennes. Les conditions d'indétermination et de suffisance furent d'abord appliquées dans la révision des fondements de l'analyse, lorsque s'inaugura c< l'ère de la rigueur de Weierstrass », qui aboutit à l'arithmétisalion des mathématiques. La géométrie cartésienne, qui substitue, par l'artifice des coordonnées, l'emploi méthodique d'opérations et de transformations analytiques à la place des constructions géométriques ; les géométries non-euclidiennes, qui montrent l'existence logique de plusieurs métriques différentes ; la géométrie de Grassmann et la géométrie énumérative de Schubert, qui, quoiqu'opérant directement sur les êtres géométriques, remplacent la construction des figures par l'emploi de certains algorithmes, devaient conduire nécessairement à introduire la même rigueur dans l'exposé des principes de la géométrie. C'est à Pasch que revient l'honneur d'avoir requis le premier, en 1882, les deux conditions d'indétermination et de suffisance : « Si la géométrie veut devenir une science déductive, écrit-il, il faut que ses procédés de raisonnement soient indépendants de la signification des concepts géométriques, comme ils sont indépendants

1 Vide infrn, chap. iv.

des figures; seules les relations imposées à ces concepts par les postulats et les définitions doivent intervenir dans la déduction. Les conditions à imposer aux concepts premiers et aux postulats sont les suivantes : i° on énoncera explicitement les concepts primitifs au moyen desquels on se propose de définir logiquement tous les autres ; 2° on énoncera explicitement les propositions fondamentales (postulats) , grâce auxquelles on se propose de démontrer logiquement les autres propositions (théorèmes). Ces propositions fondamentales doivent apparaître comme de pures relations logiques entre les concepts primitifs, et cela indépendamment de la signification que l'on donne à ces concepts primitifs l. »

Appliquant ce critérium de rigueur logique à l'exposé déductif de la géométrie, Pasch découvrit un certain nombre de postulats, appelés par lui postu lats de l'ordre, que les géomètres antérieurs admettaient implicitement. Avant Pasch, Cantor et Dedekind avait mis en lumière le postulât de la continuité. Stolz avait attiré l'attention des géomètres sur le postulat d Archimède. La création de la géométrie projective par Poncelet avait conduit à dénombrer les axiomes de V appartenance des points, des droits et des plans. Enfin, les géométries non-euclidiennes avaient amené Riemann et Helmboltz à analyser les conditions impliquées dans \e postulat de la libre mobilité des figures. Il résultait de ces recherches que les axiomes habituellement admis dans les traités de géométrie étaient notoirement insuffisants pour fonder déductivement la géométrie. Pasch, le premier, essaya d'en dresser une liste complète, en partant de quatre concepts primitifs : point, être situé entre deux points, surface plane ou portion finie du plan, congruence. Les postulats admis par Pasch ont été analysés depuis à l'aide de la

1 Vorlesungen ùber neuere Géométrie, Leipzig-. 1882, p. îG.

logistique et reproduits, avec de notables modifications, par (t. Peano1. MM. Yeronese-, Pieri :i et David Hilbert* sont partis d'autres systèmes de notions et de propositions premières, qui respectent les mêmes conditions de rigueur logique et qui se recommandent par des avantages divers.

Nous nous référerons dans la suite au système de David Hilbert. Ce système a l'avantage de distinguer divers groupes d'axiomes qui se trouvent correspondre à diverses géométries (Analysis Situs, géométrie projective, géométrie métrique), et à différents modes d'acquisition psychologique des concepts fondamentaux qui y figurent. Il est rigoureusement conforme aux préceptes de Pasch, c'est-à-dire que les notions premières, traitées comme de simples symboles, y sont caractérisées formellement par un système suffisant et cohérent de postulats, indépendamment de toute représentation sensible constituant une interprétation possible de ces symboles. A celte procédure, Hilbert a donné le nom de méthode axiomatique.

Imaginons trois sortes d'objets ordinairement appelés points, droites, plans, que nous conviendrons de désigner respectivement par les symboles A, 13, G..., a, h, c..., a.,'p, y... : l'ensemble des points A, B, C se nomme l'espace, et les objets a, b, c..., a, (3, y..., sont considérés comme des classes de points. Ces trois sortes d'objets soutiennent entre eux certaines relations qu'on a coutume de désigner par les mots : situé sur, situé entre, conçjruent à, parallèle à. Ces mots, comme ceux de

1 Principil di Geometria logicatnenle espositi, Torino, 1889; Sut f in damenti délia Geometria, ap. Rivis/a di Maternât ica, 1894.

i Fondamehti di Geometria, Fadoue, 1891.

A Delln Geometria eh-menlare corne sistema ipoletico-deduttfvo, m>nografia dèl ponto et del moto, ap. \te(n. Accad. délia Seienza di Torino, 1898- 1899.

i Grundlagen der Géométrie, S Aull. Leipzig, 1899. '..

poinls, droites, plans, ne doivent éveiller dans notre esprit aucune représentation sensible : seules leurs propriétés formelles sont envisagées. Ainsi, la relation spéciale être situé sur, ayant les mêmes propriétés formelles que l'appartenance logique, devra être exprimée par le même symbole.

Les notions premières de la géométrie métrique ainsi choisies, il convient d'énoncer les propositions indémontrables qui postulent l'existence des points, des droites et des plans et les caractérisent équivoquement. Aux quatre relations précédentes de position, d'ordre, de parallélisme, de congruence, correspondent quatre groupes de propositions premières appelées respectivement : axiomes d'appartenance, d'ordre, de congruence, de parallélisme, auxquels il faut joindre les axiomes de continuité*.

Premier groupe: Axiomes projectif s d'appartenance.

i° S'il existe deux points distincts A et B, il existe alors une droite a et une seule, à laquelle ces deux points appartiennent.

2° S'il existe trois points distincts, A, B, G n'appartenant pas à la même droite, il existe un plan <x et un seul, auquel ces trois poinls appartiennent.

3° Si deux points distincts A et B d'une droite a appartiennent au plan a, la droite a appartient à ce plan.

4° Si un point A appartient à la fois aux plans a et fi. il existe un autre point B, qui appartient à la fois aux plans a et [i.

5° Si une droite a est donnée, il existe au moins deux points distincts A et B, qui appartiennent à cette droite ; si un plan a est donné, il existe au moins trois points

1 Cf. H. Poincaré, Fondements de la Géométrie, ;ip. Journal des Savants, mai 1902, p. 201-271 ; Dr Halsted, Géométrie rationnelle, trad. Harbarin, Paris, 191 1.

A, B, Gqui n'appartiennent pas à la même droite a, ou non-collinéaires.

6° Il existe au moins deux points appartenant à toute droite, il existe au moins trois points non-collinéaires appartenant à tout plan ; il existe au moins quatre points qui ne sont pas dans le même plan, ou non-coplanaires.

L'axiome 3 est un axiome de relation ; les axiomes i, 2, 4i 5 sont des principes formateurs; l'axiome 6 est un postulat d'existence. L'existence d'un nombre infini de points, de droites et de plans, résulte des axiomes de Tordre dont nous allons parler.

Les axiomes précédents sont projectifs, c'est-à-dire qu'ils appartiennent à la géométrie projective. Ils sont d'origine visuelle et on peut les considérer comme des conditions de l'association des représentations visuelles qui donnent naissance aux notions abstraites de la droite et du plan. Ils servent à caractériser en partie ces objets. La relation d'appartenance, exprimée souvent par être situé sur, est envisagée comme une simple relation logique, sans signification particulière.

Deuxième groupe : Axiomes topologiques de l ordre.

i° Si A, B, G sont trois points distincts appartenant à une même droite, et si B est entre A et C, B est aussi entre G et A et n'est ni G ni A.

2° Si A et G sont deux points appartenant à une droite, il existe au moins un point B, appartenant à la même droite, situé entre A et G, et au moins un point D, tel que G soit entre A et D.

3° Si trois points appartiennent à une même droite, il existe toujours un et un seul point situé entre les deux autres.

Appelons segment l'ensemble de deux points A et B appartenant à une droite a, et désignons le par A B.

4° Si trois segments AB, BC, G A et une droite a

appartiennent à un même plan, si un point de l'un d'entre eux appartient à la droite a, il existe un autre point de la droite qui appartiendra à l'un des deux autres segments.

Les axiomes 2, 3, 4 sont des principes formateurs ; l'axiome 1 est un axiome de relation. La relation situé entre n'a aucun sens particulier, elle est seulement caractérisée par ses propriétés formelles : la symétrie et la transivité.

Les axiomes de l'ordre ne caractérisent pas les notions de droite et de plan. Remplaçons ces notions par celles de ligne et de surface; les axiomes sont encore vrais : ils s'appliquent aussi bien à une courbe quelconque qu'à la droite, à une surface continue quelconque qu'au plan. Si l'on substitue alors aux notions de droite et de plan celles de ligne et de surface, on obtient les axiomes de YAnalysis Situs ou Topologie, qui est une géométrie purement qualitative, indépendante de la géométrie projective et de la géométrie métrique, antérieure logiquement à elles et qui en constitue le substratum commun. Cette discipline étudie les relations de connexité (ordre et continuité) existant entre les points de variétés continues à une ou plusieurs dimensions. Ces axiomes systématisent le résultat d'expériences faites à l'aide de sensations tactilo musculaires.

Troisième groupe. — Axiomes métriques de congruence.

Ces axiomes se subdivisent en trois sous-groupes : le premier se rapporte aux segments ; le second aux angles, nominalement définissables comme des systèmes formés par deux demi-droites ayant un point commun ; le troisième aux triangles, nominalement définissables comme des systèmes de trois points non-collinéaires. Parmi ces axiomes figure un des trois cas de l'égalité des triangles, donton donnait une pseudo-démonstration par superpo-

sition, et que l'on doit poser à titre de postulat, dans le système de David Hilbert, si l'on veut éviter de faire appel à l'intuition.

Quatrième groupe : Axiome métrique des parallèles (postulat cTEuclide).

Par un point donné, il n'existe qu'une seule parallèle à une droite donnée.

On dit qu'une droite est parallèle à une autre si, étant située dans le même plan, elle n'a avec elle aucun point commun.

Les géométries métriques non-euclidiennes rejettent ce postulat.

Cinquième groupe : Axiomes topologiques de continuité .

Le cinquième groupe comprend le postulat d'Archimède. L'importance de ce postulat consiste en ce qu'il permet de représenter chaque segment par un nombre rationnel ou irrationnel qui le mesure. On ne saurait toutefois conclure de là qu'à tout nombre irrationnel correspond un segment mesuré par ce nombre. Ii faut, pour qu'à tout nombre réel corresponde un segment dont il soit la mesure, énoncer un axiome complémentaire, qui a reçu le nom de postulat de Cantor ou celui de postulat de Dedekind, suivant les énoncés différents qu'il a reçus de ces deux auteurs.

Hilbert joint à l'axiome d'Archimècle un autre axiome (Vollstandicjkeits-Axiom), qui affirme que le système formé par les axiomes précédents est clos et que l'édifice dont il est la base est la géométrie ordinaire.

Les deux postulats d'Archimède et de Dedekind appartiennent à YAnalysis Situs : ils s'appliquent au continu linéaire, aussi bien à une courbe qu'aune droite. Ils permettent d'établir une correspondance biunivoque entre les segments d'une ligne et l'ensemble des nombres réels.

C'est sui' cette correspondance que repose la possibilité de la géométrie analytique de Descartes. Chaque fois que Ion considère l'espace comme une multiplicité numérique, c'est-à-dire chaque fois que l'on exprime un point par un couple de valeurs qui mesurent ses distances à deux axes de coordonnées, on postule les axiomes de continuité. Si l'on s'affranchit du postulat d'Archimède, il faut renoncer à cette affirmation : l'espace est une vu vie té n u m ér iq ue,

IIE. Les postulats d'Euclide.

Les conditions requises par Pasch, pour donner à la géométrie le caractère d'une science déductive, étaient ignorées des Anciens. Les Pythagoriciens s'étaient bien .efforcés de substituer à la géométrie empirique des Egyptiens une géométrie rationnelle, fondée sur la définition génétique des figures, en partant d'un petitnombre de notions irréductibles, telles que le point, la droite, la distance, le mouvement, etc. Platon, dans le VIe livre de la République, opposant le raisonnement discursif du mathématicien à l'intuition intellectuelle du dialecticien, avait bien parlé des sciences mathématiques comme de systèmes hypothético-déductifs, fondés sur un certain nombre de principes admis pour vrais sans démonstration. Il n'apparaît cependant pas qu'au temps d Euclide on se soit aperçu que le point de départ de toute science déductive consiste dans le choix d'un système de notions et de propositions premières, suffisant et cohérent, explicitement formulé. Si l'on ouvre les Eléments, tels qu'ils nous ont été transmis fortement glosés par Théon d'Alexandrie, on voit qu'Euclide fait reposer la géométrie sur trois sorles de propositions ' :

1 Euclidis, Opéra omnia, éd. Heiberg, i88.3, t. I.

i° Les définitions opoi, du point, de la ligne, de la droite, de la surface, etc.

i° Les postulats, alrnpocxoc, qui énoncent la possibilité d'effectuer certaines constructions premières auxquelles se ramènent toutes les autres, et qui correspondent à ce que nous avons appelé les principes formateurs.

3° Les axiomes, xoivxl ewoteu, qui s'appliquent à toutes les sciences mathématiques.

Les définitions d'Euclide sont de simples descriptions, empruntées à la technique de l'art de bâtir, qui n'interviennent pas dans le cours des raisonnements : le point est ce qui n'a pas de parties, la ligne est une longueur sans largeur, la ligne droite est la ligne qui repose ex œquo sur tous ses points. Nulle part Euclide ne se soucie dénoncer explicitement les notions premières à partir desquelles il se propose de définir toutes les autres. Si l'on considère les définitions nominales qu'il donne du point, de la ligne, de la droite, du plan, etc., les notions premières qu'il utilise sont celles de partie, longueur, largeur, reposer également sur; mais il est plus probable qu'il envisageait comme premières les notions de point, de droite et de plan.

Les postulats d'Euclide, traduits en langage moderne, sont les suivants :

i° Si deux points distincts sont donnés, il existe une droite à laquelle appartiennent ces deux points.

a0 Si un segment, rectiligne est donné, il existe une droite infinie à laquelle appartient ce segment.

3° Si un point est donné, il existe un cercle de rayon quelconque, dont il est le centre

4° Les angles droits sont congruents.

5° Si deux droites rencontrent une autre droite, et si elles font d'un môme côté avec elle des angles intérieurs dont la somme est inférieure à deux droits, ces deux droites, prolongées indéfiniment, se rencontrent

34 LA PHILOSOPHIE GÉOMÉTRIQUE DE l'OLNCARÉ

du côté où la somme des angles est inférieure à deux droits.

Si Ton rapproche ce postulat, appelé postulatum dEuclide, du postulat 2 sur l'intînité de la droite et de la 33e définition des Eléments : « Deux droites coplanaires sont dites parallèles lorsque, si loin qu'on les prolonge, elles ne se rencontrent pas », il équivaut alors à cet autre appelé postulat des parallèles, qui comprend à la fois un principe formateur et un postulat d'unicité : « Etant donnés une droite a et un point pris hors de cette droite, il existe une parallèle à la droite a, et une seule, passant par ce point. »

6° Deux points déterminent une seule droite.

Comme on le voit, les trois premiers principes propres d'Euclide postulent : i° l'existence d'une droite, si deux points sont donnés ; 20 l'existence d'une droite infinie, si un segment de droite est donné ; 3° l'existence d'un cercle de rayon quelconque, si un point est donné. Il est évident qu'en bonne logique Euclide aurait dû commencer par demander l'existence de deux points ; puis, si deux points sont donnés, l'existence d'un segment rectiligne ; puis, si un segment rectiligne est donné, l'existence d'une droite infinie. Le postulat 4 est un postulat d'unicité, auquel Euclide donne l'énoncé intuitif suivant : « Deux droites ne peuvent enclore un espace. »

Les postulats 2 et 3 justifient l'usage de la règle et du compas. C'est avec eux qu'Euclide résout tous les problèmes de construction, qui jouent, chez les Anciens, le rôle de théorèmes d'existence, comme l'a montré Zeuthen.

A la suite de ces postulats, Euclide énonce des principes communs qui apparaissent comme des propositions de Logistique, excepté le dernier, qui est un postulat géométrique :

i° Des choses, égales à une même chose, sont égales

LA GÉOMÉTRIE COMME THÉORIE DÉDL'CTIVE 35

entre elles. — C'est le principe logique de la transitivité de l'égalité.

2° Si, à des choses égales, on ajoute des choses égales, les sommes sont égales. — Cette proposition correspond à un théorème de logistique :

a = h .0. ne = bc.

3° Si, de choses égales, on retranche des choses égales, les restes sont égaux. — C'est encore un théorème de logistique qui est la réciproque du précédent.

4° Le tout est plus grand que la partie. — C'est la définition des ensembles finis ; l'axiome est faux dès qu'il s'agit d'ensembles infinis ou transfinis, pour lesquels le tout égale la partie.

5° Les choses qui coïncident sont égales. — C'est un postulat géométrique qui devrait correctement s'exprimer ainsi : la congruence entre deux figures est une relation réflexive, symétrique et transitive.

Il est évident que ce système de principes logiques et de principes géométriques n'est pas suffisant pour qu'on puisse en déduire tous les théorèmes de la géométrie métrique. Euclide invoque d'autres règles logiques que celles qu'il a posées, il fait subrepticement appel à d'autres principes propres que ceux qu'il a explicités.

Quels sont les postulats qu'Euclide a systématiquement négligés ? Ce sont ceux de l'ordre, qui appartiennent à Y Analysis Situs, dont toutes les propositions sont intuitives, et ceux de la congruence, qui correspondent à des expériences journalières sur le mouvement des corps solides : ce sont, en un mot, ceux qui sont si intuitifs, si naturellement évidents, que l'idée ne lui est pas venue de les énoncer explicitement. Faute de quoi, il n'est presque aucune démonstration des Eléments qui soit logiquement rigoureuse ; où ne se mêlent, à des déductions purement formelles, des constatations, faites à la simple inspection

de la figure, qui dissimulent des postulais implicites et substituent, à la nécessité apodictique du raisonnement, l'évidence asserlorique de l'intuition spatiale. C'est faule d'avoir énoncé un nombre suffisant de postulats qu'Euclide est obligé de recourir à des opérations physiques, telles que le transport, le retournement, la rotation des figures. Cette pseudo-rigueur des démonstrations euclidiennes a fourvoyé bon nombre d'excellents logiciens, qui, faisant l'analyse des démonstrations d'Euclide, ont cru faire celle d'un modèle achevé de théorie déductive l. Tels qu'il les a énoncés, les postulats d'Euclide suffisent à caractériser la droite euclidienne. La définition nominale qu'il en donne n'a aucune valeur, puisqu'elle s'applique aux géodésiquesde n'importe quelle surface; mais on peut dire que la droite euclidienne est la ligne qui satisfait aux postulats i, 2, 5 et 6. Nous verrons que la droite lobatschefskienne ne respecte pas le postulat 5 et que la droite riemannienne ne respecte pas les postulats 2 et 6.

1 Cf. L. Rougier, la Démonstration géométrique et le Raisonnement déduclif, ap. B. M. M., p. 85i-854.