LIS0M0RPH1SME DES GROUPES

tance de deux points A et B, situés sur le cercle Q qui coupe 2 orthogonalement en P et Q, le logarithme du rapport anharmonique (ABQP) ; déplacement, un nombre pair d'inversions; angle, un angle ordinaire. Grâce à ces définitions, on obtient une série de théorèmes qui ne sont autres que ceux de la géométrie de Lobatehefski, et l'on peut traduire chaque théorème non-euclidien en un théorème euclidien correspondant, au moyen du dictionnaire suivant :

Espace Domaine intérieur de la sphère fondamentale.

Droite Portion d'un cercle, orthogonal à la

sphère fondamentale, située dans le domaine intérieur de la sphère.

Plan . Portion d'une sphère, orthogonale à la

sphère fondamentale, située dans le domaine intérieur de la sphère.

Distance de deux points. Logarithme du rapport anharmonique de

ces deux points et des intersections de la sphère fondamentale avec le cercle, passant par les deux points, qui la coupe orthogonalement.

Déplacement Nombre pair d'inversions qui transforment la sphère fondamentale en ellemême.

Par là se trouve définitivement écarté le risque d'une contradiction dans la géométrie non-euclidienne. Puisque tout théorème non-euclidien correspond à un théorème euclidien, toute contradiction dans la géométrie du savant russe se traduirait immédiatement par une contradiction dans la géométrie du savant grec, et, par voie de conséquence, dans les principes de l'analyse auxquels l'artifice de Descartes permet de ramener les axiomes de la géométrie ordinaire.

Dans le cas où la sphère fondamentale est imaginaire, on obtient un nouveau groupe de produits d'inversions

qui correspond à la géométrie de Riemann. Une droite riemannienne a pour image un cercle dont le plan passe par l'origine 0, et tel que la puissance de l'origine par rapport à ce cercle soit — 112, R étant le rayon de la sphère fondamentale ; un plan riemannien a pour image une sphère, telle que la puissance de l'origine par rapport à cette sphère soit — R2.

La géométrie que l'on obtient avec ces droites et ces plans semble, de prime abord, peu différente de celle de Lobatchefski : dans les formules, le carré du rayon de la sphère 2 est simplement changé de signe. Il existe pourtant, entre les deux géométries, une différence capitale. La sphère fondamentale, devenue imaginaire, ne partage plus l'espace en deux régions : il n'y a plus lieu de distinguer un domaine intérieur et un domaine extérieur. Un plan n'est plus une portion de sphère, mais une sphère entière. Un plan et une droite se coupent alors en deux points antipodes, P et Q, qui sont en ligne droite avec l'origine 0, et le produit des rayons vecteurs OP et OQ est égal à — R2. Mais on peut trouver une infinité de droites passant par les deux points opposés P et Q. Le sixième postulat d'Euclide, deux points déterminent une droite et une seule, cesse d'être vrai.

L'interprétation précédente a été développée par Poincaré dans une note du Traité de géométrie de Rouché et Gomberousse1. Elle lui a servi à imaginer un monde non-euclidien, c'est-à-dire à construire l'image d'un univers dont les habitants choisiraient spontanément la géométrie non-euclidienne, au lieu de celle du savant grec.

Deuxième interprétation. — La première interpréta-

' Rouché et Comberousse, Traité de Géométrie, 7e édit., 1900, t. III, note 2, p. 581-587.

L'ISOMORPHISMU DKS GROUPES 107

lion repose sur l'isomorphisme des groupes métriques non-euclidiens et du groupe, étudié à l'aide de la géométrie ordinaire, des transformations qui conservent les angles et une sphère fondamentale, réelle ou imaginaire. Liouville ' a établi que les seules transformations qui conservent les angles dans l'espace sont celles qui conservent les sphères ou les changent en plans : ce sont les inversions. Il n'existe donc aucun autre groupe, isomorphe au groupe non-euclidien, conservant les angles. Mais on peut se proposer d'en découvrir d'autres ne conservant pas les angles, mais conservant par exemple les droites.

Une transformation, étudiée par Cayley, permet d'obtenir de tels groupes. Soit 0, le centre de* la sphère 2, R son rayon, M un point intérieur à 2, M' le point situé sur OM et tel que OM X OM' == R2 ; soit P le milieu de MM', et m un point sur OP tel que Om X OP = R2 : à tout point M correspondra un point transformé m. Cette transformation, assez compliquée, change les cercles orthogonaux à 2 en droites euclidiennes, les sphères orthogonales à 2 en plans euclidiens. En appliquant cette transformation aux groupes des inversions qui conservent les angles et une sphère fixe, réelle ou imaginaire, on obtient deux groupes isomorphes aux premiers, qui conservent les droites et les plans, mais non les angles. Les transformations de ces groupes ne sont autres que les homographies, étudiées par Cayley et Klein, qui conservent une quadrique fondamentale, dans le cas où cette quadrique est une sphère, réelle ou imaginaire.

Si la sphère fondamentale est réelle, les théorèmes de la géométrie de Lobatchefski pourront se traduire en théorèmes euclidiens, au moyen du dictionnaire suivant :

1 Cf. Monge, Application de l'analyse à la géométrie, Paris, 1800, note 7, p. 609.

108 LA PHILOSOPHIE GEOMETRIQUE OE POIïNCARE

Espace Domaine des points intérieurs à la sphère

fondamentale.

Droite Corde de la sphère.

Plan Portion d'un plan sécant intérieure à la

sphère.

Distance de deux points. Logarithme du rapport anharmonique de

ces deux points et des intersections de la sphère fondamentale avec la droite qui passe par ces deux points.

Si la sphère fondamentale est imaginaire, on obtient un nouveau groupe, isomorphe au groupe riemànnien. Dans ce cas, la transformation de Cayley implique que deux pointsantipodes aient le même transformé. En effet, soit M un point. M' son antipode, P le milieu de MM' ; au point M on fait correspondre le point ni tel que Om. X OP — — R2. A deux points opposés correspond alors le même point m. Dans cette nouvelle manière d'interpréter la géométrie de Riemann, un plan et une droite ne peuvent avoir qu'un point commun : le sixième postulat d'Euclide, sur la détermination univoque dune droite par deux points, est vrai sans restriction. Comment se fait-il alors que la somme des angles d'un triangle soit supérieure à deux droits? C'est que l'on abandonne un autre axiome à la place du sixième postulat d'Euclide, à savoir : un plansépare V espace en deux régions, si bien qu'une droite ne peut passer de l'une à l'autre sans le traverser. La géométrie de Riemann, ainsi transformée, n'est plus alors la géométrie sphérique, c'est la géométrie de la gerbe. Appelons faux point une droite passant par O, fausse droite un plan passant par O. En vertu du principe de dualité, deux faux points déterminent univoquement une fausse droite; mais, si l'on considère deux faux points et une fausse droite, on peut, dans tous les cas, déplacer l'un des points pour le faire coïncider avec l'autre, sans traverser la fausse droite. En effet, soient deux droites AOB, COD passant par O (ce sont deux faux points) et

L'ISOMORPHISME DES GROUPES 109

un plan P passant par O (c'est Une fausse droite) ; OA et OC, par exemple; seront d'un même côté de P, OB et OD du côté opposé : on pourra faire coïncider la première droite avec la seconde sans traverser P, en amenant OA sur OC et OB sur OD. L'axiome de la division de l'espace en deux régions par un plan cesse ainsi d'être vérifié.

Il est facile également de constater que, dans l'interprétation de la géométrie elliptique dans celle de la gerbe, comme dans l'interprétation de cette géométrie dans celle de la sphère, la distance de deux points ne dépasse jamais une certaine limite : il n'y a pas de points à l'infini.

L'interprétation précédente a été exposée par Poincaré dans la note qu'il a mise au Traité de Géométrie de Bouché et Comberousse '.

Troisième interprétation (interprétation de Poincaré). — Dans les deux dernières interprétations, on considère les points intérieurs à une sphère absolue. Mais on peut trouver une infinité de transformations changeant la sphère fondamentale dans l'espace entier. Supposons que 2 soit réelle et prenons un point sur sa surface. On pourra la soumettre à une inversion ayant pour pôle ce point, qui transformera 2 en un plan P, et les points intérieurs de 2 dans l'un des côtés du plan P. Le plan P étant, par exemple, le plan XOY, et z étant la cote d'un point, le domaine intérieur de 2 sera transformé dans l'ensemble des points pour lesquels z est positif. Si l'on pose alors

L= \ogz, quand z. varie de O à l'infini, Z variera de — oo à -f- oo, et le point de cote Z correspondra au point de cote z se projetant au même point. Celte transformation fait correspondre, à tous les points de l'espace lobalchefskien contenus dans la sphère fondamentale, les points du demi-

1 Op. laud., p. .r)88-r>89.

110 LA PHILOSOPHIE GÉOMÉTRIQUE DE POiNCARÉ

espace euclidien situé au-dessus du plan P. Au plan et à la droite du premier espace correspondront une sphère et un cercle coupant orthogonalement le plan fondamental ; à la sphère, au cercle et à l'angle lobatchefskiens, une sphère, un cercle et un angle euclidiens ; à la distance lobatchefskienne de deux points, le logarithme du rapport anharmonique de ces deux points et des intersections du plan fondamental avec un cercle passant par ces deux points et le coupant orthogonalement. Les propriétés de l'espace lobatchefskien se transformeront en propriétés de l'espace euclidien, et réciproquement. On p£ut trouver, du reste, une infinité de groupes non-euclidiens de cette espèce isomorphes entre eux, le point de la sphère 2, pris pour pôle, étant indéterminé et, par suite, le plan fondamental étant un plan quelconque. Cette nouvelle image de la géométrie hyperbolique est celle utilisée par Poincaré dans ses recherches sur les groupes fuschiens, où il déduit la génération des groupes kleinéens de la division d'une demi-espace en polyèdres limités par des surfaces sphériques orthogonales au plan limite. Sa découverte eut lieu dans les conditions suivantes. Il s'agissait de raisonner sur un réseau de triangles curviliques, formés d'arcs de cercle coupant orthogonalement un cercle fondamental donné. Poincaré s'aperçut que les propriétés des arcs ainsi définis sont justement celles que la géométrie de Lobatchefski attribue aux droites hyperboliques. Cette découverte était d'autant plus suggestive, qu'elle renversait le rôle joué jusqu'alors parla géométrie euclidienne à l'égard de la géométrie non-euclidienne. Au lieu de se servir de la première pour donner un sens aux théorèmes de la seconde, ce sont les théorèmes de la seconde qui servent à triompher des difficultés rencontrées dans un problème de géométrie ordinaire. Revenant plus tard sur sa découverte, Poincaré l'apprécie en ces termes : « Les théorèmes de la géométrie de Lobatchefski sont

L'ISOMORPHISME DES GROUPES 141

aussi vrais que ceux de la géométrie d'Euclide, à la condition qu'on les interprète comme ils doivent l'être. Ainsi, par exemple, ces théorèmes ne sont pas vrais de la ligne droite telle que nous la concevons, mais ils le deviennent si, partout où Lobatchefski dit « une droite », nous disons « un cercle qui coupe orthogonalement le cercle fondamental ». Je me trouvais donc en présence de toute une théorie, imaginée, il est vrai, dans un but métaphysique, mais dont chaque proposition, convenablement interprétée, me fournissait un théorème applicable à la géométrie ordinaire * ».

C'est à cette interprétation, à laquelle mérite d'être rattaché le nom de Poincaré, que se réfère le passage si souvent cité, et si arbitrairement critiqué ~, de Science et Hypothèse :

« Considérons un certain plan que j'appellerai fondamental et construisons une sorte de dictionnaire, en faisant correspondre chacun à chacun une double suite de termes écrits dans deux colonnes, de la même façon que se correspondent, dans les dictionnaires ordinaires, les mots de deux langues dont la signification est la même :

Espace Portion de l'espace situé au-dessus du

plan fondamental. Plan Sphère coupant orthogonalement le plan

fondamental.

Droite *. . . Cercle coupant orthogonalement le plan

fondamental.

Sphère Sphère.

Cercle Cercle.

Angle Ang-le.

1 H. Poincaré, Notice sur ses travaux scientifiques, mise à jour en 1902 (cité par Pierre Boulroux, Henri Poincaré : VoEuvrc philosophique, ap. Revue du Mois, 10 février 1913, p. 108-159).

2 Milhaud, les Conditions et les limites de la certitude logique, p. i56; comp. Lechalas, Etude sur l'espace et le temps, 2e éd., Paris, 1909, p. 81 et suiv.

112 L^ l'HILOSOPHlK GÉOMÉTRIQUE DE POINCAUÉ

Distance de deux points. Logarithme du rapport anharmcmique de

ces deux points et des intersections du plan fondamental avec un cercle passant par ces deux points et le coupant orthogonalement, etc., etc.

« Prenons ensuite les théorèmes de Lobatchefski et traduisons-les à l'aide de ce dictionnaire, comme nous traduirions un texte allemand à l'aide d'un dictionnaire allemand-français. Nous obtiendrons ainsi des théorèmes de la géométrie ordinaire... Ainsi, quelque loin que l'on pousse les conséquences des hypothèses de Lobatchefski, on ne sera jamais conduit à une contradiction1. »

Il résulte du principe de l'équivalence que les groupes métriques non-euclidiens de Sophus Lie ; les groupes des homographies, qui conservent une quadrique fondamentale réelle ou imaginaire, de Cayley et de Klein; les groupes des transformations qui conservent les angles et une sphère lixe, réelle ou imaginaire (première interprétation) ; les groupes, transformés des précédents par la transformation de Cayley, qui conservent les droites et une sphère fixe, réelle ou imaginaire (deuxième interprétation); les groupes, transformés des avant-derniers par inversion, qui conservent un plan fondamental (troisième interprétation, dite de Poincaré), sont isomorphes. Ils représentent diverses interprétations possibles des métriques de Lobatchefski et de Riemann, et permettent d'établir définitivement leur parfaite cohérence logique.

Ces deux métriques, jointes à celle d'Euclide, sont, du reste, les seules compatibles avec la libre mobilité des figures. G est ce que Ion démontre, soit en partant de l'expression différentielle de l'élément linéaire, comme Kiemann ; soit de l'expression de la distance finie de deux points, comme Tilly ; soit des mouvements qui

L'rSOMORPHISME DES GROUPES 113

laissent invariable la distance des couples de points des corps solides, comme Helmholtz ; soit des homographies qui conservent une certaine figure invariante, en même temps que la distance des points d'un solide en mouvement, comme Klein.