IV. Conclusion

Des considérations précédentes, on peut déduire les conséquences suivantes :

i. La géométrie métrique repose sur la congruence des figures. Deux figures sont dites .égales lorsqu'elles sont superposables. Pour les superposer, il faut les déplacer sans les déformer dans l'espace, jusqu'à ce qu'elles coïncident. Mais, qu'est-ce qu'un déplacement sans déformation ? On est- tenté de répondre que c'est le mouvement d'une figure tel que la distance de tous les couples de points demeure invariable. Mais, qu'est-ce que la distance de deux points, et quand dirons-nous qu'elle reste invariable, c'est-à-dire que deux distances sont égales ? Si Ion répond que la distance reste invariable, lorsque la figure ne se déforme pas dans les déplacements qu'elle subit, le cercle vicieux esl manifeste1. Il faut donc prendre comme notion indéfinissable de la géométrie, soit la notion de distance comme Riemann, Tilly ou Klein, soit celle de déplacement comme Helmholtz et Sophus Lie. Les travaux de ces géomètres montrent alors que ces expressions : égalité de deux distances, déplacements sans changement de forme, et, par suite, les notions de droites et de plans n'ont pas de signification univoque. On peut leur faire correspondre trois familles distinctes de lignes, de surfaces et de solides.

1 S. //.. p. Go.

Dès lors, appeler droites, plans, solides, les figures qui correspondent à la définition euclidienne de l'égalité de deux distances, plutôt que celles qui correspondent à la définition de Lobatchefski ou de Riemann, c'est, au point de vue théorique, l'affaire dune convention nominale. Au point de vue pratique, c'est l'alfaire dune convention instrumentale, puisque c'est élire une certaine métrique et, parlant, choisir un certain type d'instruments pour mesurer l'espace. Aussi Poincaré a-t-il pu écrire justement : « L'égalité ou l'inégalité de deux distances sont des mots qui n'ont aucun sens par eux-mêmes ; c'est précisément pourquoi je suis obligé d'avoir recours à une convention pour leur en donner un. Je conviens de regarder comme égales celles qu'une certaine méthode de mensuration me donne comme telles ; j'aurais pu faire une convention différente * » ; et ailleurs : « Le mot « conserver sa forme » n'a aucun sens. Mais je lui en donne un en convenant de dire que certains corps conservent leur forme. Ces corps, ainsi choisis, peuvent alors servir d'instruments de mesure. Mais, si je dis que ces corps conservent leur forme, c'est parce que je le veux bien et non parce que l'expérience m'y oblige"2. »

2. Les trois métriques sont, au point de vue logique, également cohérentes. Toute contradiction chez l'une entraînerait immanquablement une contradiction dans les deux autres. C'est ce qui résulte de leur équivalence, qu'il faut entendre en ce sens : tout théorème de l'une peut se traduire dans les deux autres. Les théorèmes de Lobatchefski sur les droites, les triangles, les cercles hyperboliques sont des théorèmes de géométrie euclidienne s'appliquant à des figures autres et plus compliquées que les droites, les triangles, les cercles ordi-

1 Sur les principes de la Géométrie, R. M. M., janvier 1900, p. 80.

2 Ibid., p. 85.

L'ISOMORPHISME DES GROUPES 115

paires, et réciproquement. Au point de vue théorique, le choix d'une des trois métriques n'est qu'une affaire de langage, au même titre que le choix de la langue française ou de la langue anglaise1. Au lieu de dire, en langage euclidien : « La somme des angles d'un triangle est égale à deux droits », on peut dire en langage lobatchefskien : « La somme des angles d'un triangle décrit sur une horisphère, ayant pour côtés trois segments d'horicycles, est égale à deux droits » ; au lieu de dire, en langage lobatchefskien : « La somme des angles d'un triangle est plus petite que deux droits », on peut dire en langage euclidien : « La somme des angles d'un triangle curviligne, ayant pour côtés des arcs de cercle qui, prolongés, iraient couper orthogonalement un plan fondamental, est plus petite que deux droits. » Adopter une de ces façons de s'exprimer est l'affaire d'un libre décret, tout comme le choix d'un système de coordonnées, d'un système métrique, d'une échelle de graduation. Déclarer qu'un fait empirique pourrait s'exprimer dans la géométrie d'Euclide et non dans celle de Lobatchefski est une assertion aussi ridicule que cette autre : « Y a-t-il des longueurs que l'on peut exprimer en mètres et centimètres, mais que l'on ne saurait mesurer en toises, pieds et pouces, de sorte que l'expérience, en constatant l'existence de ces longeurs, contredirait directement cette hypothèse qu'il y a des toises partagées en 6 pieds 2. » On ne peut se décider, théoriquement, en faveur dune métrique que pour des raisons de simplicité mathématique.

3. Les trois métriques sont, théoriquement, également utilisables dans les sciences physiques. On peut construire une dynamique, une astronomie, une physique

1 Cf. V S., p. 244-24:,.

non-euclidiennes, qui ne différeront de la dynamique, de l'astronomie et de la physique ordinaires que par le langage, comme un texte anglais diffère d'un texte français. « Il est évident, écrit Poincaré, que si on abandonnait la géométrie d'Euclide pour celle de Lobatchefski, on serait obligé de modifier l'énoncé de toutes les lois de la dynamique. De même, l'énoncé de ces lois n'est pas le même, selon que l'on se sert de la langue anglaise ou de la langue française1. »

1 Sur les principes de la Géométrie, R. M. M., janvier 1900, p. 79.