L. Rougiek
un problème de géométrie ordinaire. Dès 1887, il apparaît en pleine possession de sa pensée, à laquelle il donne l'expression suivante dans une communication faite à la Société mathématique de France :
« On peut se demander maintenant ce que sont ces hypothèses iqui sont à la base delà géométrie). Sont-elles des faits expérimentaux, des jugements analytiques ou synthétiques a priori? Nous devons répondre négativement à ces trois questions. Si ces hypothèses étaient des faits expérimentaux, la géométrie serait soumise à une incessante revision, ce ne serait pas une science exacte ; si elles étaient des jugements synthétiques a priori, ou à plus forte raison des jugements analytiques, il serait impossible de s'y soustraire et de rien fonder sur leur négation. . .
« Que devons-nous penser [dès lors| des prémisses de la géométrie? En quel sens peut-on, par exemple, dire que le postulat d'Euclide est vrai?
« D'après ce que nous venons de voir, la géométrie n'est autre chose que l'étude d'un groupe et en ce sens, on pourrait dire que la vérité de la géométrie d'Euclide n'est pas incompatible avec celle de la géométrie de Lobatchefski, puisque l'existence d'un groupe n'est pas incompatible avec celle d'un autre groupe.
« Nous avons choisi, parmi tous les groupes possibles, un groupe particulier pour y rapporter les phénomènes physiques, comme nous choisissons trois axes de coordonnées, pour y rapporter une figure géométrique.
« Maintenant, qu'est-ce qui a déterminé ce choix? C'est d'abord la simplicité du groupe choisi ; mais il y a une autre raison : il existe dans la nature des corps remarquables qu'on appelle solides, et l'expérience nous apprend que les divers mouvements possibles de ces corps sont liés à fort peu près par les mêmes relations que les diverses opérations du groupe choisi.
« Ainsi les hypothèses fondamentales de la géométrie
ne sont pas des faits expérimentaux ; c'est cependant l'observation des phénomènes physiques qui les fait choisir parmi toutes les hypothèses possibles.
« D'autre part, le groupe choisi est seulement plus commode que les autres, et l'on ne peut pas plus dire que la géométrie euclidienne est vraie et la géométrie de Lobatchefski fausse, qu'on ne pourrait dire que les coordonnées cartésiennes sont vraies et les coordonnées polaires sont fausses. »
Quatre ans plus tard, Poincaré reprit la même thèse dans un article de la Bévue générale des Sciences1 :
u Les axiomes géométriques ne sont donc ni des jugements synthétiques a priori ni des faits expérimentaux.
« Ce sont des conventions ; notre choix, parmi toutes les conventions possibles, est guidé par des faits expérimentaux ; mais il reste libre et n'est limité que par la nécessité d'éviter toute contradiction. C'est ainsi que les postulats peuvent rester rigoureusement vrais, quand même les lois expérimentales qui ont déterminé leur adoption ne sont qu'approximatives.
« En d'autres termes, les axiomes de la géométrie (je ne parle pas de ceux de l'arithmétique) ne sont que des dé fin it io n s dé g u isées .
« Dès lors, que doit-on penser de cette question : La géométrie euclidienne est-elle vraie ?
« Elle n'a aucun sens.
« Autant demander si le système métrique est vrai et les anciennes mesures fausses ; si les coordonnées cartésiennes sont vraies et les coordonnées polaires fausses. Une géométrie ne peut pas être plus vraie qu'une autre ; elle peut seulement être plus commode2. »
1 Bulletin de la Société mathématique de Franc?, 1886-1887,2 novembre 1887, p 2 14-21 -r)-
2 Les'Géomélries non-euclidiennes, ap. Revue générale des Sciences, iô décembre 1891 , p. 769-774. Cet article est reproduit dans S. H., chap. 11.
Poincaré n'a explicitement juslifié sa théorie qu'au sujet de deux principes : le postulat d'Euclide et l'axiome des trois dimensions. Même en restreignant la discussion à ces deux principes, il appert que le conventionalisme de Poincaré appelle d'indispensables commentaires. Il faut avant tout définir la notion de convention et distinguer diverses sortes de dimensions. Il faut, en second lieu, apporter certains tempéraments aux affirmations de Poincaré, en montrant qu'une même énonciation peut, suivant le point de vue sous lequel on l'examine, apparaître, tour à tour, comme une simple convention, comme une fonction propositionnelle susceptible de devenir une proposition moyennant certaines valeurs attribuées aux variables qui figurent, et, enfin, comme une proposition assertoriquement vraie.
