III. La nature du postulat d'Euclide

Examinons, à la lumière des considérations précédentes, la nature du postulat d'Euclide.

A. — Si l'on procède suivant la méthode axiomatique d Ililbert, en traitant les notions premières comme des symboles non définis, le postulat d'Euclide n'est pas une proposition. C'est une fonction propositionnelle qui nest

ni vraie ni fausse, mais qui est susceptible de devenir telle, moyennant une certaine interprétation des symboles premiers de la théorie.

B. — Si l'on considère les lignes empiriques qui assument dans la nature les fonctions physiques suivantes : d'être le plus court chemin d'un point à un autre, d'être l'axe de rotation des corps solides, d'être la trajectoire des rayons lumineux dans un milieu homogène, l'expérience montre qu'elles jouissent approximativement des mêmes propriétés que les droites euclidiennes. Si l'on fait correspondre ces lignes empiriques à ces droites idéales ou aux symboles non définis que leur substitue Hilbert, le postulat d'Euclide se trouve énoncer une propriété empirique des rayons lumineux et des solides naturels. Il revient à ce jugement de fait : il existe des solides naturels tels que, si on les fait glisser le long d'une droite (mouvement de translation), chaque point décrira une droite ; ou encore, ce qui revient au même : les translations des solides naturels forment un groupe. Le postulat d'Euclide devient alors une proposition assertorique, exprimant une vérité d'expérience. Mais il n'est plus ici question de géométrie pure, qui, étant purement formelle, se borne à étudier certains systèmes de relations entre des termes indéterminés. Il s'agit de géométrie appliquée, où entrent en ligne de compte non plus seulement la cohérence logique, mais aussi la vérité matérielle.

G. — Nous avons vu que les propositions premières, plus exactement les fonctions propositionnelles qui sont à la base d'une théorie déductive, caractérisent équivoquement les symboles premiers de cette théorie, non définis nominalement. C'est ce qui conduit à dire qu'elles définissent par postulats ces symboles, en limitant le nombre de leurs interprétations possibles. A ce titre,

tous les axiomes de la géométrie (exclusion faite des postulats d'existence) sont des conventions nominales, ou encore, comme dit Poincaré, des définitions déguisées1.

Il y a lieu de remarquer que les définitions par postulats sont incomplètes, puisqu'elles ne caractérisent pas univoquement une seule catégorie d'objets singuliers. En ce sens, ce sont des dé/initionsde genres. C'est, déplus, tout un système de fonctions propositionnelles qui caractérise par postulats un système de symboles non définis nominalement. Le postulat d'Euclide n'est donc qu' une partie de définition. Il faut lui adjoindre les postulats i , 2 et G d'Euclide pour caractériser un certain genre de choses, parmi lesquelles figurent la droite euclidienne et toutes les lignes qu'on en peut déduire par une transformation ponctuelle quelconque de l'Univers. Si les postulats 1, 2, 6 d'Euclide suffisaient à caractériser la droite euclidienne, le postulatum, qui en énonce une nouvelle propriété, serait un théorème démontrable. Le postulat d'Euclide se réduit ainsi à une convention de langage qui règle l'usage du mot droite : je conviens d'appeler droite la ligne qui respecte les relations énoncées dans les postulats 1, 2, 5 et 6 d'Euclide, et non, par exemple, la ligne qui ne vérifie que les postulats 1, 2 et 6. L'expérience peut bien suggérer une telle convention nominale, en montrant que les lignes physiques les plus remarquables de notre univers jouissent précisément des mêmes propriétés géométriques que les droites euclidiennes ; mais l'expérience ne peut, en aucun cas, imposer une pareille convention, car il est bien évident que nous sommes toujours libres d'appeler du nom de droite toute autre figure. C'est ce que Poincaré exprime en ces termes :

« Dans l'espace nous connaissons des triangles rectilignes dont la somme des angles est égale à deux droits :

mais nous connaissons également des triangles curvilignes dont la somme des angles est plus petite que deux droits. L'existence des uns n'est pas plus douteuse que celle des autres. Donner aux côtés des premiers le nom de droites, c'est adopter la géométrie euclidienne ; donner aux côtés des derniers le nom de droites, c'est adopter la géométrie non-euclidienne. De sorte que, demander quelle géométrie convient-il d'adopter, c'est demander : A quelle ligne convient-il de donner le nom de droite ?

« Il est évident que l'expérience ne peut résoudre une pareille question ; on ne demanderait pas, par exemple, à l'expérience de décider si je dois appeler une droite AB ou bien CD1. »

D. — Etant donnée une forme que l'on vent appliquer à une matière, un système d'équations différentielles, par exemple, où figurent certains paramètres que l'on veut interpréter physiquement, il convient, pour que cette adaptation d'une forme à une matière soit possible, de construire certains instruments de mesure. En effet, les changements du monde extérieur sont généralement qualitatifs. On peut définir à leur sujet les signes =, <<, >>, mais non le signe de l'addition -f-. Etant donnés deux corps, on peut juger sensoriellement qu'ils sont également chauds ou que l'un est plus chaud que l'autre, mais sans qu'on puisse dire de combien. Pour cela, il faudrait pouvoir considérer l'état d intensité d'une qualité comme formé par l'addition d'états d'intensité moindre de cette même qualité, de même que l'état de grandeur d'une quantité est formé par l'addition d'états de grandeur plus petits de cette même quantité. Mais, c'est précisément ce qui n'est pas possible, ce par quoi diffère la catégorie de

la quantité de celle de la qualité. Faute de pouvoir définir le signe -f- au sujet des différents états d'intensité d'une qualité, on ne peut discourir d'emblée des qualités dans le langage de l'algèbre.

Si l'on est parvenu à le faire, c'est grâce à cette propriété, imprévisible a priori, que tout changement qualitatif est lié au changement de grandeur d'un effet quantitatif concomitant. Cet effet concomitant se ramène toujours à une variation de forme géométrique ou à un déplacement sans changement de forme. Il est possible alors de repérer les différents degrés d'intensité du changement qualitatif a l'aide des divers états de grandeur du phénomène quantitatif qui l'accompagne. C'est ainsi qu'une variation de température amène une dilatation du corps qui la subit. On part de là pour faire les conventions suivantes : i° on choisit une substance, telle que le mercure ou l'alcool, emprisonnée dans un tube de verre, et on convient de repérer les variations de température des corps par les variations linéaires de la substance ainsi choisie, lorsqu'elle est mise par contact en équilibre thermique avec eux ; 20 on choisit une certaine échelle de graduation qui permet de définir ce qu'il faut entendre par degré de température. On peut dès lors apprécier, avec l'approximation que comportent la lecture du thermomètre et ses procédés de construction, si deux corps sont également chauds, ou de combien l'un est plus chaud que l'autre. Le choix d'un thermomètre, qui permet d'appliquer les équations de la thermodynamique aux variations thermiques des corps, implique donc au moins une double convention instrumentale : le choix d'une substance de repère, le choix d'une échelle de graduation. Suivant les cas, ces conventions peuvent varier ; il peut être plus pratique, suivant les cas, d'employer un thermomètre à alcool ou à mercure, et de le graduer en thermomèlre centigrade, Fahrenheit ou Réaumur.

Les instruments de mesure, qui permettent d'appliquer à l'étude des phénomènes de la nature le langage de la mathématique universelle, reviennent toujours à faire correspondre aux variations qualitatives des phénomènes, soit les variations de forme géométrique d'un corps unique comme la dilatation linéaire du mercure, la déformation du ressort d'un dynamomètre; soit les variations de la distance relative de plusieurs corps, comme l'écartement des feuilles d'or de l'électroscope, la déviation de l'aiguille d'un galvanomètre, ce qui équivaut à une variation de forme de la figure composée par plusieurs corps. Pour construire un appareil de mesure, il faut donc préalablement avoir défini ce que c'est que la forme d'un corps, c'est-à-dire avoir choisi une des trois métriques compatibles avec les axiomes de Lie. Adopter le postulai cl Euclide, c'est alors faire une convention instrumentale, qui consiste à choisir un certain type de corps, les solides naturels,, comme instruments de mesure propres à définir ce qu'est la forme d'un corps, c'est-àdire propres à nous indiquer quand il conviendra de dire que deux distances sont égales. C'est en ce sens que Poincaré a pu écrire : « Quand je dis que l'unité de longueur est le mètre, c'est un décret que je porte, ce n'est pas une constatation qui s'impose à moi. Il en est de même, je crois l'avoir démontré, du postulat d'Euclide1. »

Ainsi, suivant le point de vue auquel l'on se place, suivant qu'il s'agit de la géométrie pure ou de géométrie appliquée, le postulat d'Euclide apparaît tour à tour comme une fonction propositionnelle ou comme une proposition assertorique, comme une convention nominale ou comme une convention instrumentale. Pour les Anciens, qui se souciaient avant tout d'applications

' V. S., n. iiô.

pratiques, qui liaient irrésistiblement aux notions premières de la géométrie la représentation intuitive de certaines figures empiriques, qui faisaient appel dans le cours de démonstrations, comme on le voit chez Euclide, à des opérations physiques telles que le déplacement et le retournement de figures solides, le postulat était une vérité empirique, résultant de l'existence des solides naturels capables d'effectuer des translations. Pour les Modernes, qui connaissent les géométries non-euclidiennes, qui suivent la méthode axiomatique de David Ililbert,, qui isolent les formes pures, constituées par des systèmes d'implications formelles, des faits matériels dans lesquels elles sont primitivement engagées, le postulat d'Euclide apparaît comme une convention, choisie parmi d'autres possibles.

Cette convention, bien que facultative^ n'est toutefois pas arbitraire. Le postulat d'Euclide est choisi, comme étant la convention la plus opportune, pour des raisons de commodité théorique et de convenance pratique.

i° La géométrie d'Euclide est mathématiquement la plus simple, et « elle est la plus simple en soi, de même qu'un polynôme du premier degré est plus simple qu'un polynôme du second degré, les formules de la trigonométrie sphérique sont plus compliquées que celles de la trigonométrie rectiligne, et elles paraîtraient encore telles à un analyste qui en ignorerait la signification géométrique1. » Nous verrons tout à l'heure la raison de cette simplicité mathématique2.

i° La géométrie euclidienne est pratiquement la seule utilisable, parce que, dès qu'il s'agit d'appliquer la géométrie à la détermination des grandeurs physiques, à mesure de l'aire d'un champ, au jaugeage d'un volume, à des opérations de triangulation, il faut se servir d'instru-

-' Vide infrn, p. 17 \ .

ments de mesure. A ce titre, il faut choisir des corps que l'on puisse considérer comme à peu près indéformables, c'est-à-dire dont les mouvements, moyennant quelques corrections, se comportent suivant les substitutions d'un quelconque des trois groupes définis par les axiomes de Lie. On ne sait pas a priori s'il existe de semblables corps dans la nature. On ne sait pas a priori, à supposer qu'il en existe, auquel des groupes métriques de Lie ils sont conformes. Or, nous constatons qu'il existe dans la nature des corps remarquables, dont les déplacements se comportent sensiblement comme les substitutions du groupe euclidien. Il n'apparaît pas, au contraire, qu'il y ait des corps naturels dont les mouvements se comportent suivant les substitu tions des groupes métriques non-euclidiens. Si donc nous voulons faire de la géométrie appliquée, nous ne pouvons nous servir que d'instruments de mesure répondant à la définition des corps indéformables relative au groupe euclidien : en ce sens, la géométrie euclidienne est la seule géométrie appliquée. Ou. du moins, elle le sera tant que les mécaniciens n'auront pas construit, de toutes pièces, des solides dont les mouvements se composent à la manière des substitutions des groupes non-euclidiens. Gomme ils seraient capables de le faire, la géométrie euclidienne n'est donc pas, à rigoureusement parler, la seule géométrie susceptible d'application, mais c'est la géométrie applicable le plus commodément et à moins de frais.

Pour se rendre compte de la difficulté qu'il y aurait à adopter pratiquement une autre géométrie, il suffit de songer à ceci. Supposons que nous choisissions un groupe métrique, tel que la Terre se comporte comme un solide non-euclidien invariable. Alors, le Soleil, la Lune, les planètes, les étoiles seront des corps variables. Pour faire de l'astronomie commodément, il faudra un groupe spécial, différent du groupe approprié à la physique

terrestre, et cela pour chaque corps céleste. L'astronomie deviendrait d'une complication extraordinaire.

IV. Confirmation de 1 interprétation précédente tirée du principe de relativité.

Si la théorie précédente est fondée, le postulat d'Euclide est une convention commode, suggérée par l'expérience. On peut alors imaginer que l'expérience, dans certaines circonstances, puisse nous conduire à adopter une autre convention.

C'est ce qui est advenu, à la suite des expériences qui ont provoqué la découverte du principe de relativité d'Einstein.

En vertu de ce principe, tous les corps subissent une contraction longitudinale dans le sens de leur translation : la contraction de Lorentz. Il en résulte que la notion de solide naturel euclidien ne subsiste plus, et qu'il faut cesser d'envisager les solides naturels comme indéformables. M. Varicak1 a remarqué alors les étroites analogies qui lient la physique nouvelle et la géométrie non-euclidienne. Dans l'une comme dans l'autre intervient un certain paramètre, appelé rayon de courbure spatiale et vitesse de la lumière. Dans l'une comme dans l'autre, ce paramètre est une grandeur finie, et, pour une valeur infinie qu'on lui accorde, on retrouve respectivement la géométrie d'Euclide et la mécanique de Newton comme cas limites. A la contraction de Lorentz, dans la physique de la relativité, correspond la déformation des largeurs dans la troisième interprétation euclidienne fournie par P.oincaré de la géométrie lobatchefskienne, où l'élément

1 VI. Varicak, Ueber die nichteuklidische Interprétation der Relativtheorie, ap. Jahr. d. Deul. Math-Ver., 1912, p. 103-127. — Comp. L. Rougier, De l'utilisation des Géométries non-euclidiennes dans la physique de la relativité, ap. l'Enseignement mathématique, i5 janvier 1914, p. 5-i8.

linéaire ne peut généralement se déplacer sans subir de déformations. Dans la physique de la relativité la règle du parallélogramme des vitesses cesse d'être valable ; il n'y a pas de parallélogramme dans la géométrie de Lobatchefski. Le développement de celle-ci s'est heurté à de nombreuses antinomies apparentes ; il en est de même du développement de celle-là avec les paradoxes d'Ehrenfest et de Born.

Ces analogies conduisirent M. Varicak à exprimer les équations de la physique d'Einstein à l'aide de la géométrie de Lobatchefski. Il lui apparut vite que non seulement les formules se simplifiaient, mais quelles acquéraient une signification géométrique en absolue corrélation avec l'interprétation de la théorie classique au moyen de la géométrie d'Euclide. Cette similitude va si loin qu'il n'y a souvent pas lieu de modifier l'énoncé des théorèmes de 'la théorie classique, à la seule condition de substituer, aux figures euclidiennes, les figures correspondantes de la géométrie lobatchefskienne. en prenant, pour constante spatiale, la vitesse de la lumière dans le vide, c = 3.io10 cm. La notion de solide naturel peut alors être conservée ; seulement les solides ne se comportent plus dans leurs déplacements comme des solides euclidiens, mais comme des solides hyperboliques d'un espace à courbure constante négative à trois dimensions. La géométrie de Lobatchefski se présente ainsi comme l'instrument le plus adéquatement approprié au traitement mathémathique de la physique de Ja relativité. Elle revendique pour son compte la précellence attribuée jusqu'à nos jours à celle d'Euclide.

Est-ce à dire que la géométrie de Lobatchefski soit physiquement vraie et celle d'Euclide fausse? La proposition n'a aucun sens. On peut se servir de la géométrie ordinaire dans la physique de la relativité, et c'est ce qu'ont fait Lorentz et Einstein ; seulement les solides

naturels n'apparaissent plus comme des solides euclidiens indéformables, mais comme des corps soumis à une déformation systématique. Il sera dès lors toujours loisible de choisir entre ces deux alternatives : traiter les solides naturels comme des solides lobatchefskiens indéformables ou comme des solides euclidiens qui subissent, dans leurs déplacements, la contraction de Lorentz. La seconde interprétation sera seulement plus compliquée que la première. Jamais l'expérience ne nous imposera l'une ou l'autre façon de nous exprimer, pas plus qu'elle ne nous impose la langue française ou la langue anglaise, puisque les expériences ont porté sur les corps, non sur l'espace.