V. Nature de l'axiome des trois dimensions

Poincaré s'est posé, au sujet de l'axiome des trois dimensions, la même question qu'au sujet du postulat d'Euclide1 : quelle est la nature de cet axiome? Est-il un jugement synthétique a priori, comme le croit Kant, ou une vérité a posteriori, comme l'enseignent les empiristes ; ou bien, est-ce tout simplement une convention, suggérée par l'expérience, dont il importe seulement de préciser la nature ?

L axiome des trois dimensions est une convention qui consiste à adopter, parmi plusieurs autres possibles, une

1 Plus exactement, Poincaré se pose la question au sujet de tous les axiomes de YAnalysis Silus : c Les mêmes questions qui se posaient à propos des vérités de la géométrie euclidienne se posent de nouveau à propos des théorèmes de VAnalysis Situs Peuvent-ils être obtenus par un raisonnement déduclif? Sont-ce des conventions déguisées? Sont-ce des vérités expérimentales? Sont-ils les caractères d'une forme imposée soit à notre sensibilité, soit à notre entendement ? » (V. S., p. 67 ) Mais, de même qu'il n'a explicitement appliqué sa théorie qu'au postulat d'Euclide parmi tous les axiomes métriques, il n'envisage dans la suite, parmi tons les axiomes topologiques, que celui des trois dimensions (Cf. Ibid., p. 69).

!.. Rocgiér 9

13i LA PHILOSOPHIE GÉOMÉTRIQUE DE POING ARE

certaine interprétation matérielle des symboles non définis de la géométrie. Il revient, en effet, à dire : je décrète de choisir le point comme élément de V espace. Nous aurions pu faire une autre convention, choisir la droite, par exemple, ou toute autre figure respectant les deux conditions formulées dans le principe de Plùcker. L'espace aurait alors 4 < 5, ... n dimensions, et la traduction des phénomènes physiques serait également possible dans ces différents cas. En effet, les groupes ainsi obtenus auraient tous même structure. Or, deux interprétations du monde qui ont la même structure sont formellement identiques, car tout ce que nous pouvons connaître des phénomènes, c'est leur structure.

Prétendre comme Kant que l'axiome des trois dimensions est le type des jugements apodictiques, ou mieux encore, comme Schelling, qu'il nous est imposé par les lois mêmes de notre pensée, c'est prétendre qu'un simple décret : f adopte le point comme élément de l'espace* peut jouir d'une nécessité rationnelle. Prétendre que c'est une vérité expérimentale, c'est prétendre que l'espace a souvent trois dimensions, mais pas toujours, parce que les faits expérimentaux, qu'on pourrait alléguer dans ce sens, se vérifient la plupart du temps, mais souffrent des exceptions. Tout ce que l'expérience nous montre, c'est qu^ilest commode d'attribuer à l'espace trois dimensions1.

L'axiome des trois dimensions diffère radicalement, en tant que convention, du postulat d'Euclide. Celui-ci se rapporte à la forme du groupe euclidien, c est-à-dire à sa structure ; celui-là se rapporte à sa matière. Adopter le premier, c'est adopter un certain groupe qui permet de définir ces mots vides de sens : égalité de deux distances, déplacements sans changement de forme, droites, plans. Adopter le second, c'est choisir la matière du groupe

1 Cf. V. S., chap. v, § 5.

LA THÉORIE DE LA CONVENTION 13o

dont la structure a été ainsi définie. On ne peut rejeter le postulat d'Euclide sans modifier la structure du groupé métrique; mais on peutpiendre d'autres éléments d'espace que le point, tout en conservant le même groupe.

C'est pour cela que les axiomes dllelmholtz et de Lie, qui définissent la structure du groupe des déplacements, doivent s'énoncer pour le cas indéterminé de n dimensions, avant d'introduire la condition n = 3. Poincaré gourmande justement Lie pour avoir posé le nombre ternaire des dimensions avant d'avoir défini la structure des groupes métriques ; pour avoir caractérisé la manière avant la forme, en assignant comme matière à la géométrie une variété numérique à trois dimensions. Pour Poincaré, au contraire, la forme préexiste à la matière. Gela lui permet d'échapper à une objection faite souvent à Helmholtz et à Lie : «Votre groupe présuppose l'espace ; pour le construire, vous êtes obligés de poser un continu à trois dimensions. Vous procédez comme si vous connaissiez la géométrie analytique. » Ce reproche ne subsiste plus, lorsqu'on s'y prend à la manière de Poincaré1.

VI. Confirmation de l'interprétation précédente tirée du principe de relativité : la géométrie de Laguerre et celle de Minkowski.

L'expérience nous montre qu'il est simplement corn-' mode d'attribuer trois dimensions à l'espace. Cela implique que certaines circonstances physiques pourraient se présenter, telles que nous trouverions plus commode de remplacer l'étude de l'espace, envisagé comme variété numérique à trois dimensions, par celle d'une variété numérique à un plus grand nombre de dimensions. C'est précisément ce qui s'est produit .à

1 On the Foundations of Geometry, ap. The Monist, octobre 189K, p. 4o-/, 1 .

l'occasion de la découverte du principe de relativité. Certains géomètres ont trouvé plus commode, pour étudier la physique de la relativité, de substituer, à la géométrie d'Euclide, celle de Laguerre, qui admet comme élément d'espace la sphère orientée, ou celle de Minkowski, qui n'est autre que la géométrie euclidienne à quatre dimensions, avec une quatrième coordonnée imaginaire. Mais, auparavant, il faut dissiper quelques équivoques créées par l'ambiguïté de cette expression : espace à n dimensions.

Dans la géométrie analytique ordinaire, un point est un système de trois variables, .r,, a?g, #3. Rien n'empêche alors d'appeler point un système de quatre variables, xL\ scz, x3, xu et d'étudier les transformations que l'on peut faire subir à des systèmes composés de pareils éléments. On forme ainsi une géométrie à quatre dimensions, et, moyennant certaines conventions de langage, on obtient des propositions tout à fait analogues à celles de la géométrie ordinaire. On a coutume d'attribuer à ces propositions un sens purement algébrique. L'avantage que l'on retire d'une pareille procédure, c'est de disposer d'un langage qui permette de dire en termes concis ce que celui de l'analyse exprimerait en phrases prolixes. Ce langage permet encore, en nommant du même nom ce qui ressemble, de souligner des analogies fécondes qui auraient passé inaperçues, et de suivre plus facilement les raisonnements relatifs à quatre, cinq, n variables. C'est du moins ce que l'on soutenait dans la génération précédente. Tout au plus admettait-on la possibilité de représenter l'espace à quatre dimensions par projection dans l'espace à trois dimensions, tout comme l'on représente des objets à trois dimensions par projection sur un plan.

Aujourd'hui, avec le développement de Y Analysis situs, dû aux efforts de Riemann, de Betti et de Poincaré, il

n'en est plus de même : « Cette géométrie à plus de trois dimensions, écrit Poincaré, n'est pas une simple géométrie analytique ; elle n'est pas purement quantitave, elle est aussi qualitative, et c'est par là surtout qu'elle est intéressante... On peut faire une Analysis situs à plus de trois dimensions... Il faut qu'on arrive à la construire complètement dans les espaces supérieurs ; on aura alors un instrument qui permettra réellement de voir dans lhyperespace et de suppléer à nos sens1. » Revenant sur la même idée, Poincaré déclare ailleurs : « Il y a donc bien une intuition des continus à plus de trois dimensions, et, si elle exige une attention plus soutenue que l'intuition géométrique ordinaire, c'est sans doute une affaire d'habitude, et aussi l'effet de la complication rapidement croissante des propriétés des continus quand augmente le nombre des dimensions2. »

L'emploi de l'espace à quatre, cinq, n dimensions a facilité la représentation de certains phénomènes physiques. C'est ainsi qu'en stéréochimie, on ne trouve pas dans l'espace ordinaire un schéma de l'atome d'azote analogue à celui de l'atome du carbone ; au contraire, il semble qu'on puisse représenter les cinq valences de l'azote à l'aide d'un penlaèdre de l'espace à quatre dimensions. Dans un autre domaine, Beltrami et Hertz ont montré comment se simplifie le traitement d'un problème mécanique qui comporte n degrés de liberté, lorsqu'on a recours à l'iryperespace. Supposons un système formé de n points- matériels, visibles ou non, assujettis à certaines liaisons ; cela fera en tout 3 n coordonnées. Regardons celles-ci comme des coordonnées d'un point unique dans l'espace à 3 n dimensions. Les principes de la mécanique classique pourront se réduire à un seul :

le point unique sera assujetti à rester sur une surface d'un nombre quelconque de dimensions inférieures à 3 « en vertu des liaisons admises, et à se rendre d'un point à un autre de cette surface, en suivant le plus court chemin, c'est-à-dire la géodésique qui passe par ces deux points.

On peut entendre les choses d'une tout autre façon. On peut considérer les géométries à quatre, cinq, n... dimensions comme les géométries que l'on obtient en choisissant un autre élément de l'espace que le point. C'est ainsi qu'on obtient une géométrie à quatre dimensions en prenant la droite comme élément d'espace, puisqu'il faut quatre variables pour déterminer une droite.

Peut-on trouver un intérêt quelconque à substituer au point un autre élément de l'espace, et, par suite, à remplacer l'espace, qui est une variété numérique à trois dimensions, par une variété ayant un plus grand nombre de dimensions? A cette question, il convient de répondre par l'affirmative.

Les principes de la mécanique classique impliquent que les phénomènes mécaniques qui se passent à l'intérieur d'un système isolé ne dépendent pas de son état de repos ou de translation uniforme. C'est ce qui constitue la relativité du mouvement. Cela veut dire que les équations de la dynamique ne sont pas altérées, si l'on remplace les axes rectangulaires de coordonnées, auxquels on réfère le système, par d'autres axes en repos ; ni si l'on change l'origine du temps; ni si l'on substitue aux axes rectangulaires fixes des axes rectangulaires mobiles, mais dont le mouvement, par rapport aux premiers, est une translation uniforme. Les équations de transformation, qui permettent de passer d'un de ces systèmes d'axes à un autre, forment un groupe, appelé groupe

galiléen, qui conserve la forme des équations de la mécanique classique. Ce groupe renferme des invariants remarquables : la simultanéité de deux événements, l'intervalle dans le temps de deux événements successifs, l'ordre absolu de succession dans le temps de deux événements distants dans l'espace. Ces notions sont indépendantes des observateurs, de leurs positions relatives dans l'espace et de leur état de repos ou de translation uniforme. Le temps apparaît alors comme une variable indépendante de l'espace. L'espace et le temps sont deux absolus, séparément invariants.

Il y a plus. La distance dans l'espace d'événements successifs change avec le système de référence adopté ; deux objets, jetés l'un après l'autre par la portière d'un train, constituent deux événements qui se passent au même endroit pour les observateurs liés au train, en des endroits différents pour des observateurs liés au sol. Mais, s'il s'agit d'événements simultanés,, la distance clans l'espace est indépendante du mouvement des observateurs ; en particulier, la forme d'un corps, considérée comme l'ensemble des positions simultanées des points matériels de son pourtour, est indépendante de l'état de mouvement des observateurs : elle est un invariant du groupe de Galilée.

Appelons configuration géométrique, la configuration d'un corps mesuré par des observateurs qui lui sont liés ; appelons configuration cinématique, la configuration d'un corps en mouvement, mesurée, lors de son passage, par des observateurs en repos qui visent simultanément, c'està-dire au même instant à leurs horloges préalablement synchronisées par l'échange de signaux, les différents points de son pourtour. La configuration cinématique d'un corps est identique à sa configuration géométrique.

On a cru possible, pendant tout le xvnr* siècle et la plus grande partie du xixe, de donner une explication

mécanique de tous les phénomènes naturels. S'il en est ainsi, les lois de la physique doivent posséder, comme celles de la mécanique, la propriété de conserver leur forme pour toutes les transformations du groupe de Galilée compatibles avec la notion du temps absolu. On démontre alors, en admettant la théorie des ondulations imposée par l'expérience, que la lumière ne doit pas se propager avec la même vitesse dans toutes les directions à la fois, pour divers groupes d'observateurs en mouvement les uns par rapport aux autres. Il suit de là que l'on doit pouvoir mettre en évidence, par des expériences optiques ou électro-magnétiques, le mouvement absolu de la Terre par rapport à l'éther immobile, considéré comme le siège des ondes électromagnétiques et lumineuses.

C'est le résultat négatif des expériences entreprises dans ce sens qui a conduit les physiciens à rejeter le groupe de Galilée, pour lui substituer un nouveau groupe, le groupe de Lorentz, qui doit conserver la forme nouvelle à donner aux lois de la nature1.

Voyons comment on peut arriver à déterminer analytiquement la structure de ce nouveau groupe"2. L'échec des expériences entreprises pour déceler le mouvement absolu de la Terre par des expériences électromagnétiques, conduit immédiatement au résultat suivant : la lumière se propage avec une vitesse constante, dans toutes les directions, pour des observateurs en repos ou en mouvement. C'est ce que l'on traduit analytiquement de la façon suivante :

1 Cf. II. -A. Lorentz, A. Einstein, H. Minkowski, Eine Sammlung von Abhandlungen, Teubner, 1913; Laue, Das Uelalivilàlsprinzip, 1911; P. Langevin, le Temps, l'espace et la causalité dans la Physique moderne, ap. Bull. Soc. fr. de Phil., t. XII, 1912.

- Cf. F. Klein. Ueber die geomelrischen Grundlagen der Lorentzgruppe, ap. Jahr. deut. Math.-Ver., Leipzig, 1910, p. 28i-3oo; E. Carlan, la Théorie des groupes, ap. Revue du Mois, 10 avril 1914, p. 452~4;,7-

Soit une perturbation électromagnétique (x, y, z, t), qui part d'un point de l'espace à un certain instant : elle constitue un événement initial. En se propageant, elle engendre une succession d'événements étémentaires à trois dimensions fa? -+- dx, y -+- dy, z -h dz, t -+- dt) infiniment voisins de l'élément initial, satisfaisant à une certaine relation qui définit ce que l'on peut appeler les lois de la propagation instantanée de la perturbation. Avec les idées classiques, cette relation est une équation homogène et du second degré en dx, dy, dz, dt, les coefficients étant des fonctions quelconques de x, y, z, t, ce qui exprime que la vitesse de propagation est constante et égale à celle de la lumière.

Considérons toutes les transformations qui, appliquées aux événements de l'Univers, respectent les lois de la propagation instantanée des perturbations électromagnétiques. Elles forment un groupe fini qui peut être à un plus ou moins grand nombre de paramètres suivant la nature de ces lois. Admettons, en outre, les deux postulats suivants, calqués sur ceux de Lie :

i° Il existe toujours une transformation du groupe faisant correspondre à un événement quelconque un autre événement quelconque, ce qui revient à supposer l'univers homogène par rapport à l'espace et par rapport au temps.

2° Un événement étant fixé par la pensée, il existe encore une infinité de transformations dépendant de trois paramètres au moins et respectant les lois de propagation considérées.

Dans ces conditions, on démontre que le groupe est à quinze paramètres et qu'on peut choisir les coordonnées (x, y, z, t) de manière à ce que les lois de la propagation instantanée des perturbations électromagnétiques soient représentées par l'équation ;

dy* -t- dy* -f- dz* —dt'2 = 0.

Introduisons maintenant la notion des événements à l'infini et ne conservons que les transformations du groupe qui laissent à l'infini les événements à l'infini. Le groupe se réduit alors à onze paramètres ; chacune de ses transformations est linéaire et reproduit l'expression

dy1 -f- dy1 -f- rfs3 — dt2 à un facteur constant près. L'introduction d'une unité de mesure permet enfin de réduire le groupe à dix paramètres, en ne considérant que les transformations qui reproduisent exactement l'invariant précédent.

C'est ce groupe à dix paramètres, qui est le groupe de Lorentz, qu'on substitue au groupe de Galilée. Les invariants de l'ancien groupe ne subsistent plus dans le nouveau. La simultanéité et l'ordre de succession des événements distants dans l'espace deviennent des notions purement relatives : deux événements, simultanés pour certains observateurs, ne le sont plus pour d'autres en mouvement par rapport aux premiers ; l'ordre même de la succession de deux événements, dont la distance dans l'espace est supérieure au chemin parcouru par la lumière pendant leur intervalle, peut être renversé pour des observateurs différents. Il n'y a plus un temps absolu universel ; il y a un temps propre ou local pour tout fragment de matière, qui est l'intervalle de temps, mesuré par les observateurs qui lui sont liés, entre deux événements qui s'y succèdent et qui coïncident pour eux dans l'espace. La configuration géométrique et la configuration cinématique cessent d'être équivalentes. Celle-ci diffère de la première, du fait de la contraction de Lorentz que subissent les corps dans le sens de leur translation dans le rapport de i : \ i — S-, p représentant le rapport de la vitesse du mobile envisagé et de la vitesse de la lumière dans le vide

v ■ ~Yf. La notion du solide naturel euclidien ne subsiste

plus, puisque les corps se déforment dans le sens de leur

translation. Si Ton veut encore parler de solides, il faut substituer à la géométrie d'Euclide celle de Lobatchefski : les solides naturels qui subissent la contraction de Lorentz se comportent comme des solides hyperboliques d'un espace à courbure négative, en prenant pour valeur de constante spatiale la vitesse de la lumière dans le vide, V = 3. io10cm.

Il résulte de la structure du nouveau groupe que les notions d'espace et de temps cessent d'être indépendantes ; elles s'absorbent dans celle plus générale de Y Univers, définie comme l'ensemble des événements. Un événement consiste dans le fait qua un instant donné t, en un point M de coordonnées x, y, z, il se passe quelque chose, le point et le temps dépendant d'un système de référence, mais l'événement étant conçu comme indépendant, de même qu'en géométrie les coordonnées d'un point dépendent d'un système d'axes, mais le point lui-même est conçu d'une manière intrinsèque. De même qu'il faut trois coordonnées .r, y, z pour déterminer la position d'un point en se référant à un système d'axes, il faut quatre coordonnées x, y, z, t pour déterminer un événement de l'Univers, l'Univers étant par cela même une variété numérique à quatre dimensions.

Le groupe de Lorentz a son origine dans les hypothèses extrêmement larges qui ont été posées et il ne présuppose en aucune manière la géométrie. Au contraire, la géométrie ordinaire lui est logiquement subordonnée, comme est subordonnée à la notion d'Univers celle d'espace. En effet, dans le langage d'Univers, l'espace est défini comme l'ensemble des événements simultanés. La forme d'un corps en mouvement est l'ensemble des positions simultanées des différents points de son pourtour. Pour définir l'espace, il faut pratiquer, dans l'ensemble plus complexe de l'Univers, une coupe à temps donné. La géométrie euclidienne est alors l'élude des propriétés des figures formées d'événements simultanés.

La physique de la relativité, qui est l'étude des invariants relatifs au groupe de Lorentz, apparaît alors comme une discipline dans laquelle s'absorbe la géométrie ordinaire.

Puisque nous avons admis qu'à tout groupe continu correspond une géométrie, c'est-à-dire que l'on peut énoncer les invariants d'un groupe continu en langage géométrique, il y a lieu de se demander quelle géométrie correspond au groupe de Lorentz? La réponse est multiple.

Si l'on considère un système d'axes euclidiens rectangulaires, et si l'on prend deux points infiniment voisins, dont l'un est à l'origine, le groupe euclidien est entièrement caractérisé par le fait que leur distance élémentaire :

(i) ds'i = dx*-+-dyS-{-dz*, est un invariant, indépendant du choix des axes. Dans le groupe de Lorentz, cet invariant ne subsiste pas. Il est remplacé par cet autre :

(2) ds* = da? h- cltf~ -4- dz1 — c2 dl\ où c désigne une constante, la vitesse de la lumière dans le vide, et ds l'élément de la ligne d'Univers que parcourt un événement élémentaire. Si l'on se sert alors de la métrique projective de Gayley et de Klein, on montre que les transformations qui laissent invariante l'expression (2) ne sont autres que des déplacements dans une géométrie de Gayley à quatre variables homogènes et à absolu réel. C'est ce qui a conduit Klein à déclarer: «Ce que les physiciens actuels nomment la théorie de la relativité n'est autre chose que la théorie des invariants de la multiplicité à quatre dimensions x, y, z, t, que Minkowski appelle l'Univers, par rapport à un certain groupe de collinéations1. »

Ces collinéations se réduisent aux changements d'axes

1 F. Klein, Art. cit., p. 287.

de l'espace hyperbolique à trois dimensions, en prenant pour invariant fondamental, relatif à deux points, la forme quadratique indéterminée * :

F =• (a?, - œ2f H- [yx — y2f — (*, - z*f .

i° Il existe une autre géométrie qui correspond au groupe de Lorentz. La géométrie de l'Univers électromagnétique est, en effet, équivalente à la géométrie de Laguerre de l'espace ordinaire -. Dans cette géométrie, on considère l'espace comme engendré par des plans ou par des sphères orientées. On étudie le groupe des transformations qui changent les sphères en sphères en conservant lesplanseten changeant deux sphères orientées tangentes en deux sphères orientées tangentes. Ces transformations s'obtiennent en composant entre elles ce que Laguerre appelle les transformations par semi-plans réciproques. La sphère orientée, c'est-à-dire la sphère au rayon de laquelle on a attribué un signe, devient ainsi l'image de l'événement de l'Univers.

3' La géométrie de Laguerre est équivalente à la géométrie euclidienne à quatre dimensions, mais la correspondance est ici imaginaire: c'est celle utilisée par Minkowski3 dans son exposé classique du principe de relativité. Dans ce mode d'exposition, le temps est remplacé parla variable imaginaire a?4 = /£, qui s'ajoute aux trois coordonnées d'espace, xu a?g, xz.

4° Enfin MM. Wilson et Lewis se sont accordés pour construire une nouvelle géométrie à quatre dimensions, qui permet de retrouver, en partie, comme autant de théorèmes, les invariants physiques dont la présence en

1 E. Borel, Introduction géométrique à quelques théories physiques, Paris, 1914, p- 45.

2 E. Cartan, .4/-/. cit., p. 4^6.

3 Minkowski, Raum und Zeit, Leipzig, 1909.

mécanique et en électromagnétisme est entraînée par le principe de relativité l.

Ainsi se trouve confirmé ce que nous avons dit sur le caractère purement conventionnel de l'axiome des trois dimensions. L'expérience montre qu'il est commode d'attribuer à l'espace trois dimensions ; mais ce qui est suggéré par l'expérience peut être déconseillé par elle. Des découvertes physiques peuvent survenir, et se sont réalisées effectivement, d'une sorte telle que l'on trouve plus commode d'attribuer à l'espace quatre dimensions, soit que l'on prenne un autre élément d'espace que le point, comme la sphère orientée, soit que l'on ajoute aux trois coordonnées ordinaires une quatrième coordonnée imaginaire.