I. Critique de l'Empirisme géométrique

Les trois métriques, au point de vue logique, sont des systèmes hypolhético-déductifs également cohérents. Ces systèmes ne sont pas identiques, en ce sens que les relations qu'ils énoncent entre les notions premières appelées droites, plans, et les notions dérivées comme celles de triangles, ne sont pas les mêmes, mais ils sont équivalents en ce sens qu'aux notions premières euclidiennes de droites, de plans, correspondent des notions dérivées non-euclidiennes, qui portent dans la métrique de Lobatchefski le nom d'horicycles, d'horisphères, si bien que tout théorème euclidien est susceptible d'un énoncé lobatchefskien. 11 en est de même pour la métrique de Riemann.

Nous avons vuque, au pointde vue purement logique, les propositions premières, qui caractérisent équivoquement les notions premières, sont des fonctions propositionnelles. A ce titre, elles ne sont pas susceptibles de fausseté ou de vérité : ce sont de simples conventions. Ces fonctions propositionnelles deviennent de véritables propositions, si Ton trouve une interprétation concrète des notions premières indéfinissables, traitées comme de purs symboles.

Par exemple, si l'on découvre des objets physiques qui

répondent aux choses qu'Hilbert appelle des droites, des plans, des distances, les fonctions propositionnelles, qui expriment les relations formelles que soutiennent entre elles ces choses, deviendront des propositions vraies, dans la mesure où sera vérifié ce jugement empirique : il existe des objets physiques qui soutiennent entre eux les mêmes relations formelles que les choses appelées par Hilbert droites, plans, distances, etc.

Supposons qu'il existe des objets empiriques de cette nature : nous dirons que la géométrie euclidienne leur est applicable et qu'elle est vraie empiriquement, ce qui veut dire simplement qu'elle peut recevoir une interprétation physique d'accord avec l'expérience. Gomme ces objets empiriques ne correspondent pas aux notions premières des métriques non-euclidiennes, qui jouissent d'autres propriétés, certains philosophes ont pensé que seule la géométrie euclidienne était empiriquement vraie.

Ainsi formulée, la thèse de l'empirisme géométrique est inconsistante. En effet, d'une part les mêmes objets empiriques qui correspondent aux notions premières de la géométrie ordinaire, correspondent à certaines notions dérivées des géométries de Lobatchefski et de Riemann ; d'autre part, il existe dans la nature d'autres objets empiriques qui correspondent tout à la fois aux notions premières des métriques non-euclidiennes et à certaines notions dérivées de la métrique du savant grec.

A la thèse de l'empirisme géométrique ainsi formulée : «la géométrie d'Euclide est empiriquement vraie, les deux autres métriques sont empiriquement fausses», on ne peut donner qu'un seul sens intelligible, qui est le suivant: existe-t-il un phénomène physique qui puisse s'interpréter dans la géométrie d'Euclide et non dans celle de Lobatchefski et de Riemann? Au cas affimatif, le phénomène en question constituera un experimenlum crucis, susceptible de trancher entre ces trois métriques. Par