L. Rougier

15(1 LA PHILOSOPHIE GÉOMÉTRfQEE DE POINCÀRÉ

exemple, l'optique de Newton et l'optique de Fresnel rendent également compte des phénomènes de l'optique géométrique, de la réflexion, mais non de la réfraction. Au sujet de la vitesse relative d'un rayon lumineux dans deux milieux de densité différente, ces deux théories conduisent à des prédictions contraclitoires. Une expérience cruciale est alors possible, celle de Foucault, qui, condamnan tl'optique de Newton, confirme celle de Fresnel. S'il n'en est pas ainsi, ce qui arrive pour un grand nombre de théories mécaniques qui aboutissent aux mêmes équations différentielles, c'est-à-dire à la même expression des lois naturelles seules directement observables, les théories en présence sont expérimentalement équivalentes : on ne peut préférer l'une à l'autre que pour des raisons de commodité, en vertu d'une convention.

En est-il des diverses géométries métriques comme de l'optique de Newton et de celle de Fresnel? A cette question, les premiers pangéomètres ont cru pouvoir répondre par l'affimative.

Ceux-ci avaient été frappés par l'existence d'une certaine constante spatiale, dont la valeur ne peut être déterminée que par l'expérience et qui s'introduit, comme l'avait montré Lambert, dans la mesure de la somme des angles d'un triangle. Cette somme est égale à deux droits, dans l'hypothèse euclidienne ; inférieure à deux droits, dans celle de l'angle aigu, et supérieure à deux droits, dans celle de l'angle obtus. Dans ces deux derniers cas, en désignant par x la différence entre la somme trouvée et deux droits, et par A l'aire du triangle, on peut poser :

et l'on démontre que la valeur de K est indépendante du

oc triangle particulier considéré. La constante —, nommée

par Gauss constante spatiale, se réduit à zéro dans l'hypothèse euclidienne, qu'on obtient comme limite des deux autres pour K = °° ; elle est positive et susceptible de prendre une infinité de valeurs, de 0 à 4- °°, dans la géométrie de Riemann; négative et susceptible de prendre une infinité de valeurs, de 0 à — oo, dans la géométrie de Lobatchefski. Lorsque, dans les métriques non-euclidiennes, on considère des triangles infiniment petits, K tend vers l'infini et l'on retombe, en géométrie non-euclidienne infinitésimale, dans le cas de la géométrie ordinaire. La valeur de la constante spatiale est à déterminer a posteriori par des mesures de triangulation.

Tel est le point de vue auquel s'est placé Gauss dans sa correspondance. Il écrit, en effet, le 16 mars 1819 : « J'ai poussé la géométrie astrale (c'est-à-dire non-euclidienne) assez loin pour pouvoir résoudre tous les problèmes aussitôt que la constante = C est donnée1 » ; le 8 novembre 1824 : « Je puis résoudre tous problèmes de géométrie non-euclidienne, à l'exception de la détermination d'une constante, qui ne se laisse pas obtenir a priori. Plus cette constante est grande, plus on se rapproche de la géométrie euclidienne, qui correspond à une valeur infinie de la constante... Si la géométrie non-euclidienne était la vraie (géométrie réalisée par la nature) et si cette constante était dans un certain rapport avec les grandeurs accessibles à nos mesures sur la Terre ou au ciel, on pourrait l'obtenir a posteriori2 . » Aussi recourt-il à des mesures de triangulation dans le Hartz, pour voir si les écarts entre les nombres observés et ceux prévus par la trigonométrie euclidienne n'affectent pas une allure systé-

1 Gauss, Werke, vin, 182.

2 Gauss, Werke, vin, 187.

matique. Comme rien de tel ne se produit, c'est peut-être, pense-t-il, que les triangles sur lesquels on opère sont trop petits, infinitésimaux, comparés à l'infinitude de l'Univers. 11 invite alors son ami Schweikart à recourir à des observations astronomiques, qui permettent de considérer des triangles de dimensions colossales par rapport a ceux de la Terre.

Lobatchefski écrivait lui-même de son côté : « Le seul moyen mis à notre disposition pour déterminer l'exactitude des propositions de la géométrie ordinaire, c'est de faire appel aux observations astronomiques * ». Toutefois, il faut procéder dans ce cas d'une façon un peu différente qu'en trigonométrie terrestre. On ne peut pas mesurer les trois angles d'un triangle céleste, dont on suppose que la somme diffère de deux droits, mais seulement deux de ces an les. Si Ton regarde une étoile de deux extrémités du grand axe de l'écliptique, on ne peut mesurer l'angle œ sous lequel elle apparaît vue de cet axe, mais seulement les deux angles a et b formés avec celui-ci par les rayons visuels qui vont à l'étoile. Dans l'hypothèse euclidienne, on a :

a -\-b-\-x = 2 R, et l'angle x est donné par la parallaxe de 1 étoile 2 R — (a-\-b), que l'on a coutume de déterminer pour le cas où l'un des deux angles a et b est droit. Plus l'étoile est lointaine, plus sa parallaxe est petite, bien que conservant toujours une valeur positive. Dans l'hypothèse de Lobatchefski, les parallaxes de toutes les étoiles seraient supérieures à une certaine limite dépendante de K; dans l'hypothèse de Riemann, les parallaxes d'étoiles très éloignées seraient négatives. L'expérience enseigne que les parallaxes des étoiles sont toutes positives ou sensiblement nulles. On peut alors considérer, aux erreurs près

* Geomelrische Untersuchungcn, p. Go.

d'observation, que les rayons lumineux se propagent, dans l'atmosphère terrestre et dans les espaces interstellaires, suivant des lignes droites euclidiennes, ou suivant des droites non-euclidiennes, en supposant la valeur du paramètre non-euclidien K si grande que la différence entre la somme des angles d'un triangle et deux droits soit inférieure à la limite des erreurs d'observation.

Telle n'est point la conséquence que les pangéomètres tirèrent de leurs observations géodésiques et astronomiques. Ils en conclurent que la géométrie euclidienne est une science expérimentale, au môme titre que la mécanique, et que l'espace est euclidien. « Je suis de plus en plus convaincu, écrit Gauss, que la nécessité de notre géométrie ne peut être prouvée... On ne devrait pas placer la géométrie à côté de l'arithmétique, qui est purement a priori, mais la mettre sur le même rang que la mécanique1. » Le 9 avril 1829, il revient sur la même idée : « Nous devons reconnaître humblement que si le nombre est purement une création de notre esprit, l'espace est pour notre esprit une réalité à laquelle nous ne pouvons pas attribuer des lois complètement a priori*. » Il en tire la condamnation du Kantisme : « Par l'impossibilité où l'on est de distinguer a priori entre 2 [géométrie euclidienne] et S [géométrie non-euclidienne] se trouve précisément démontré, le plus clairement, que Kant a eu tort d'affirmer que l'espace est seulement la. forme de notre intuition3. »

Les expériences géodésiques de Gauss sont loin de prouver ce qu'il prétend en déduire. Elles montrent qu'il existe dans l'espace des triangles rectilignes, dont les côtés sont formés à l'aide de rayons lumineux et dont la somme des angles est égale à deux droits ; a mais, écrit Poincaré,

1 Werke, vin, 177.

- Werke, vin, 201.

3 Werke, vnr, i-i\.

i5'i LA PHILOSOPHIE GÉOMÉTRIQUE DE POINCARK

nous connaissons également les triangles curvilignes dont la somme des angles est plus petite que deux droits. L'existence des uns n'est pas plus douteuse que celle des autres. Donner aux côtés des premiers le nom de droites, c'est adopter la' géométrie euclidienne; donner aux côtés des derniers le nom de droites, c'est adopter la géométrie non-euclidienne. De sorte que, demander quelle géométrie convient-il d'adopter, c'est demander : à quelle Home convient-il de donner le nom de droite ? Il est évident que l'expérience ne peut résoudre une semblable question *. »

On peut en dire autant des observations astronomiques de Schweickart. Ces expériences portent, non sur les propriétés de l'espace, mais sur les propriétés des rayons lumineux, et l'on ne peut rien en conclure au sujet de la géométrie. Si on venait à découvrir des parallaxes négatives, ou à vérifier que toutes les parallaxes sont supérieures aune certaine limite, on n'en concluerait pas que la géométrie euclidienne est fausse, mais que les rayons lumineux ne se propagent pas rigoureusement en ligne droite ; on modifierait les lois de l'optique et les propriétés de l'éther, plutôt que de renoncer à la géométrie euclidienne. Le cas n'est pas sans précédent dans l'histoire. Lorsque Bradley découvrit l'anomalie de la parallaxe annuelle de l'étoile y Draconis, il ne lui vint pas en l'esprit de l'attribuer à une courbure intrinsèque de l'espace. Il édifia la théorie de l'aberration, qui rend compte des apparences tout en sauvegardant la géométrie d'Euclide. Les observations ayant porté sur des phénomènes d'optique sont dénués de force probante au point de vue géométrique. C'est ce qu'a fort bien reconnu Lotze. Les mesures de triangulation, remarqua-t-il, se font à l'aide de rayons lumineux ; si ces mesures ne concordaient pas avec le

théorème euclidien sur la somme des angles d'un triangle, « nous devrions seulement penser que nous avons découvert une forme nouvelle et très singulière de réfraction, dont l'effet serait de faire dévier les rayons servant à déterminer la direction ' ».

Il y a plus. Le fait que les rayons lumineux se propagent suivant des droites euclidiennes, dans les observations de Gauss et Schweickart, ne confirme pas plus la géométrie d'Euclide qu'il n'infirme celle de Lobatchefski. En effet, on peut exprimer le même résultat en disant que les rayons lumineux décrivent des horicycles lobatchefskiens. Si le résultat contraire s'était présenté, on l'aurait exprimé indifféremment, en langage non-euclidien, en disant que les rayons parcourent des droites hyperboliques, ou, en langage euclidien, en disant que les rayons décrivent des cercles orthogonaux à une sphère fondamentale-'. L'expérience ne peut pas nous imposer une de ces façons de parler plutôt que l'autre. Une convention nominale peut seule régler l'usage du discours.

Nous arriverons aux mêmes conclusions, si nous considérons les solides réels. On peut dire qu'ils se comportent approximativement dans leurs déplacements comme les substitutions du groupe euclidien. Plus exactement, il est commode de considérer leurs déplacements comme la résultante de deux changements : i° un changement peu différent de celui observé et rigoureusement identique au déplacement sans déformation d'un solide euclidien idéal ; 2° un changement très petit, regardé comme une petite variation des propriétés du solide sans caractère géométrique, dû à l'effet de la chaleur ou de la pesanteur. Moyennant cette convention, on peut dire que les solides

1 Métaphysique, § i3i, trad. fr., p. 257. - Cf. S. //., p. 9 3.

naturels se comportent comme des solides euclidiens1. Il n'en résulte pas que la métrique d'Euclide soit vraie et seule utilisable empiriquement. On pourrait traduire, en effet, les mêmes apparences dans le langage de la métrique non-euclidienne : ce serait seulement plus compliqué, parce qu'il faudrait considérer les solides naturels comme des corps subissant des déformations géométriques dans leurs mouvements. Bien mieux, on pourrait construire de toutes pièces des solides non-euclidiens ; si la structure des solides conditionnait alors celle de l'espace, « il faudrait conclure que l'espace est à la fois euclidien et noneuclidien2 ». Considérons, à cet effet, deux figures identiques, l'une en fil de fer, l'autre en fil de cuivre, placées dans un champ magnétique. La figure de cuivre se déplacera euclidiennement, tandis que ce ne sera pas le cas pour la figure de fer. En général, l'ensemble des déplacements de celle-ci ne formera pas un groupe ; mais, il peut arriver que le champ magnétique soit tel que tous ses déplacements en forment un. On aura alors le choix entre deux langages. Employant celui d'Euclide, on pourra dire que la figure de cuivre se comporte comme une figure indéformable, au lieu que celle de fer subit des déformations d'un caractère géométrique; employant celui de Lobatchefski ou de Riemann, on pourra dire que la figure de fer se comporte comme une figure indéformable, au lieu que celle de cuivre subit des déformations d'un caractère géométrique. On optera pour l'une ou l'autre de ces façons de s'exprimer, suivant celle que l'on trouvera la plus commode.

« En résumé, de quelque façon qu'on se retourne, il est impossible de découvrir à l'empirisme géométrique un sens raisonnable3. » Cela est dû à deux raisons :

1 Cf. H. Poincaré, Réponse à quelques critiques, ap. Ii. M. M., 1897, p. 65; V. S., p. 240-242.

3 H. Poincaré, les Fondements de la Géométrie h propos d'un livre de M. Bussell, ap /?. M. M., mai iSçjo, p. 260.

La première est qu'il n'existe pas de fait physique qui, interprétable dans la géométrie d'Euclide, ne le soit pas dans les deux autres métriques, puisque nous avons établi que tout théorème euclidien peut recevoir une traduction non-euclidienne et réciproquement. Les objets physiques, qui vérifient les propriétés de la droite et du plan euclidiens, ne vérifient pas les propriétés de la droite et du plan lobatchefskiens, mais celles de l'horicycle et de l'horisphère ; or, le choix des termes droite ou horicycle, plan ou horisphère, pour désigner les mêmes objets, ne peut être que conventionnel. Bref, les trois géométries, qui interprètent les mêmes phénomènes physiques en des langages différents, ne sont pas plus susceptibles d'être contradictoires et de s'offrir à une expérience cruciale, que les indications d'un thermomètre Réaumur ne sont contradictoires avec celles d'un thermomètre Fahrenheit. C'est en ce sens que Poincaré a pu écrire : « Soutenir que certains phénomènes, possibles dans l'espace euclidien, seraient impossibles dans l'espace noneuclidien, de sorte que l'expérience, en constatant ces phénomènes, contredirait l'hypothèse non-euclidienne..., équivaut tout à fait à la question suivante, dont l'absurdité saute aux yeux de tous : y a-t-il des longueurs que l'on peut exprimer en mètres et centimètres, mais que l'on ne saurait mesurer en toises, pieds et pouces, de sorte que l'expérience, en constatant l'existence de ces longueurs, contredirait directement cette hypothèse qu'il y a des toises partagées en six pouces1? »

A cette première raison s'en ajoute une seconde. En mécanique et dans les sciences physiques, les expériences portent sur des phénomènes proprement mécaniques et physiques ; et c'est pour cela que les expériences peuvent être cruciales pour des théories en compétition. Il n'existe

1 S. //., p. io5.

pas de faux-fuyant pour mettre l'optique de Newton d'accord avec l'expérience de Foucault. Tel n'est plus le cas, lorsqu'il s'agit de géométrie. Les expériences que l'on pourrait tenter pour prouver la vérité empirique d'une des trois métriques à l'exclusion des deux autres, ne portent jamais sur l'espace, ni sur les rapports des diverses parties de l'espace, ou des corps avec l'espace qui les entoure : elles portent sur les propriétés des corps solides, de notre œil et de nos membres en particulier, et sur la direction des rayons lumineux. Ce sont des expériences de cinématique, d'optique et de physiologie, que l'on ne peut à aucun titre considérer comme des expériences de géométrie, et dont on ne peut rien conclure touchant les propriétés de l'espace. Lorsqu'un phénomène paraîtra contredire une des trois métriques, on pourra toujours l'interpréter à l'aide de phénomènes physiques ou physiologiques, de façon à laisser la géométrie envisagée hors de cause. « Les expériences, écrit Poincaré, qui nous ont conduits à adopter comme plus commodes les conventions fondamentales de la géométrie, portent sur des objets qui n'ont rien de commun avec ceux qu'étudie la géométrie ; elles portent sur les propriétés des corps solides, sur la propagation rectiligne de la lumière. Ce sont des expériences de mécanique, des expériences d'optique ; on ne peut à aucun titre les regarder comme des expériences de géométrie. Et même la principale raison pour laquelle notre géométrie nous semble commode, c'est que les différentes parties de notre corps, notre œil, nos membres jouissent précisément des propriétés des corps solides. A ce compte, nos expériences fondamentales sont des expériences de physiologie qui portent, non sur l'espace, qui est l'objet que doit étudier le géomètre, mais sur son corps, c'est-à-dire sur l'instrument dont il doit se servir pour cette étude1. »