I. Les tentatives de démonstration du Postulat d'Euclide

Les géométries non-euclidiennes dérivent de l'échec des tentatives de démonstration du 5e postulat d'Euclide. Cepostulat, dont l'énoncé estassez compliqué, n'intervient qu'à propos du 29e théorème des Eléments, alors que l'on a déjà fait appel à tous les autres postulats ou axiomes. Ce défaut d'eurythmie dans une œuvre si harmonieuse, cette solution de continuité dans une science dite déductive, apparurent comme une tare cachée dont il fallait à tout prix se défaire : c< La définition et les propriétés de la ligne droite et des parallèles », écrivait d'Alembert, exprimant l'opinion générale des géomètres depuis Proclus, « sont l'écueil et, pour ainsi dire, les candale des Eléments de la géométrie1». Aussi les tentatives de démonstration du postulatum commencèrent, dès l'Antiquité, avec les commentateurs grecs des Ecoles d'Alexandrie et d'Athènes. Proclus rapporte des essais de démonstration attribués à Ptolémée, Posidonius, Geminus et en ajoute un qui n'est pas plus heureux. Les mêmes tentatives se font jour chez les géomètres arabes, Al-Narizi et Nazir Ed Edin ; chez les savants de la

1 Mélanges de Littérature, d'Histoire et de Philosophie, Paris, 1 7 H 9 , t. V, p. 202.