II. Rôle de l'expérience dans la genèse de la Géométrie

La géométrie n'est pas une science empirique. Est-ce à dire que l'expérience n'ait joué aucun rôle dans son acquisition? Assurément non, car nous avons déjà vu que, si le postulat d'Euclide est une convention, cette convention est justifiée par des faits expérimentaux extra-géométriques qui, sans l'imposer, la suggèrent. De plus, ce qui est vrai du postulat d'Euclide, l'est-il encore des autres axiomes de la géométrie ? Pour le savoir, il faut analyser le rôle de l'expérience dans la genèse de la géométrie.

Pour apprécier ce rôle, il y a bien des façons de procéder. Nous partirons de cette donnée, déjà considérablement élaborée, que l'on appelle « l'espace sensible » ou « l'espace représentatif ». Nous examinerons en vertu de quelles expériences extra-géométriques un algébriste, qui serait au fait de la théorie des groupes de transformations sans rien connaître de la géométrie, serait amené, en vertu de choix successifs, à élire le groupe euclidien comme groupe métrique. Pour plus de commodité, nous numéroterons les étapes successives qui le conduisent au choix final *.

i° Déplacements. — Partons de l'espace représentatif fourni par nos sens. Il n'a aucune des propriétés de l'espace géométrique, qui est purement conceptuel. Il n'est ni infini, ni homogène, ni isotrope, ni nécessairement à trois dimensions. Il varie avec chacun de nos sens.

L'espace visuel pur est à deux dimensions ; il est limité

1 Dans ce paragraphe, nous suivons pas à pas, et quelquefois littéralement, l'article de Poincaré, On the Foundations ofGeomelry, ap. The Monist, octobre 1898, p. 1-48.

et fini ; il n'est pas homogène, la tache jaune et les points du bord extrême de la rétine n'étant pas équivalents aux autres points ; il est discontinu par suite de l'existence du punctum cœcum ; ilestanisotrope, un crayon apparaissant différemment suivant qu'on le tient horizontalement devant les yeux ou qu'on applique normalement un de ses bouts entre les arcades sourcillières.

L'espace tactile est à deux dimensions. Il est ferme et discontinu par suite de l'existence de régions insensibles de la peau. L'espace musculaire ou moteur a, en un sens, autant de dimensions que nous avons de muscles ; il n'est ni homogène, ni isotrope, par suite de noire dissymétrie organique.

C'est grâce à l'association de nos sensations visuelles et musculaires, à la possibilité de nous mouvoir et à l'existence de solides naturels que nous avons été conduits à élaborer la notion de l'espace géométrique.

Nous sommes conduits, tout d'abord, à distinguer deux sortes de changements dans l'univers : les changements externes, qui ne dépendent pas de nous, et les changements internes, qui sont volontaires et s'accompagnent de sensations musculaires. Parmi les premiers, il y en a qui peuvent être corrigés moyennant un changement interne compensateur : ce sont les déplacements ; il en est d'autres qui ne le peuvent pas : ce sont les changements d'état. Les changements internes, capables de corriger un changement externe, s'appellent déplacements du corps en bloc ; les autres changements internes s'appellent changements d'attitude. Par exemple, nous constatons que, si un corps s'éloigne de nous de la position A à la position B, son image se contracte et sa forme s'altère. Si nous nous avançons à notre tour, de A en B, deux cas peuvent se présenter : ou bien l'objet a réellement changé de forme, par suite d'un changement d'état, et nous n'éprouvons plus en face de lui les mêmes

sensations visuelles ou tactiles qu'au départ; ou bien c'est le contraire qui se produit, et nous en concluons que l'objet s'est simplement déplacé. De tels déplacements sont caractérisés par le fait que nous pouvons toujours les corriger moyennant un déplacement corrélatif de notre propre corps, et même moyennant une infinité, tous équivalents, puisqu'il y a une infinité de chemins pour se rendre de A en B. Nous nommons solides les corps qui subissent des déplacements sans déformation. C'est V existence des corps solides et la possibilité de nous déplacer qui a été pour nous l'occasion de fonder la géométrie. En effet, la géométrie n'est que l'étude des lois des déplacements. S'il n'y avait pas de solides naturels, comme ce serait le cas dans un univers visqueux, la notion de forme n'existerait pas. De même si, habitant notre univers, nous étions rivés au sol et immobiles, les déplacements des corps solides nous apparaîtraient comme des changements d'état, puisque nous n'aurions plus la faculté de les corriger moyennant un transfert compensateur de notre propre corps.

Cette classification des changements externes en deux groupes n'est toutefois pas un crude dalum de l'expérience, bien qu'elle soit suggérée directement par elle. En effet, la compensation dont nous venons de parler n'est jamais intégrale ; lorsque nous nous transportons d'un seul bloc de A en B, nous ne restaurons jamais complètement en B les sensations que nous avions éprouvées en A. On a coutume de dire que le corps solide a subi, dans son déplacement, de petites altérations qualitatives dénuées de caractère géométrique : des flexions sous l'effet de la pesanteur et des dilatations sous l'effet de la chaleur. On trouve alors commode de faire la convention suivante : on considère le déplacement du corps de A en B comme la résultante d'un changement sans déformation et de petites variations physiques. Les coups

de pouce que nous donnons ainsi à l'expérience sont légitimes, parce qu'ils ne sont pas trop considérables ; mais s'ils affectaient une allure systématique, comme dans le ca=? de la contraction de Lorentz, nous serions conduits sans doute à faire d'autres conventions, et à déclarer qu'il n'y a pas de solides naturels, ou tout au moins de solides naturels euclidiens.

La possibilité de nous mouvoir ne nous procure pas seulement l'occasion de distinguer les déplacements des changements de forme. Elle nous permet de définir par convention l'identité de deux déplacements. Deux déplacements seront considérés comme identiques, si on peut les corriger à laide du même changement interne, c'est-àdire en nous déplaçant de façon à éprouver les mêmes sensations musculaires. En effet, si un changement externe œ nous fait passer de l'ensemble de sensations A, à l'ensemble de sensations nouvelles B ; si ce changement est corrigé par un mouvement volontaire /S; si, enfin, un autre changement externe <x nous fait passer de nouveau de A en B, l'expérience nous révèle alors l'existence d'un mouvement corrélatif volontaire /3', qui correspond aux mêmes sensations musculaires que le mouvement [3 qui corrigeait a. Il en résulte qu'un déplacement peut être répété deux ou plusieurs fois sans que ses propriétés varient. C'est cette circonstance qui permet d'introduire les nombres et de faire des mesures. C'est grâce à elle que le raisonnement mathématique a prise sur les faits géométriques. C'est cette circonstance que l'on traduit en disant que l'espace est homogène.

2° Groupe des déplacements. — Pour fonder la géométrie, il convient de joindre à la loi d'homogénéité une foule d'autres lois analogues que les mathématiciens résument en disant que l'ensemble des déplacements forme un groupe. Cette propriété exprime que, si A est

un déplacement, et s'il est suivi d'un autre déplacement B, on peul alors considérer l'ensemble de ces deux déplacements comme formant un déplacement unique, que l'on pourra écrire A + B et que l'on appelle leur résultante. Si tel n'était pas le cas, il ny aurait pas de géométrie.

Comment savons-nous que l'ensemble des déplacements forme un groupe?

On serait tenté de croire que c'est en vertu du raisonnement a priori suivant : le changement externe A est corrigé par le changement interne a, le changement externe B est corrigé par le changement interne (3 ; alors le changement externe A -h B, qui résulte de leur addition, sera corrigé par la résultante interne (3 -{-oc. Cette résultante est par définition un déplacement, ce qui veut dire que l'ensemble des déplacements forme un groupe.

Le raisonnement précédent est sujet à caution à plus d'un titre. Il est évident que les changements A et a se compensent exactement par définition, c'est-à-dire que, effectués successivement, ils restaurent nos sensations initiales, ce qu'on peut écrire :

Il suit pour la même raison que B -f- fJ =0. Mais est-il certain que l'on aura B + fi = 0, après les deux changements A et a? Si on l'admet, on pourra conclure que nous recouvrerons nos premières sensations, si les quatre changements se suivent dans l'ordre :

mais non pas que la même chose doive se produire s'ils se succèdent dans cet autre ordre :

A+B+P+ oc.

Ce n'est pas tout. Deux changements externes A et A' sont regardés comme identiques, parce qu'ils sont susceptibles d'être corrigés par le même changement interne a; si

lG't LA PHILOSOPHIE GÉOMÉTRIQUE DE PO+NCARÉ

alors deux autres changements externes B et B' peuvent être corrigés par le même changement interne |3, et par suite sont identiques, nous ne sommes nullement autorisés à conclure a priori que les deux changements A -j- B et A' + B' soient susceptibles d'être corrigés par le même changement interne et par suite soient identiques.

Est-ce l'expérience qui nous montre que les déplacements obéissent aux lois que les mathématiciens résument en disant qu'ils forment un groupe? Mais l'expérience ne peut rien nous révéler que d'approximatif ou de révisible et les théorèmes de la géométrie sont rigoureux et définitifs. Ceux-là ne peuvent jamais être mis en défaut par l'expérience. Vient-elle à nous révéler que certains mouvements n'obéissent pas à ces lois : nous les rayons simplement du nombre des déplacements ; vient-elle à nous révéler certains corps dont les mouvements satisfont approximativement à ces lois : nous recourons à la convention précédemment exposée et nous considérons le mouvement de ces corps comme la résultante d'un déplacement sans changement de forme et d'une altération qualitative, si bien que nous sommes sûrs de n'être jamais contredits. En définitive, ces lois ne sont pas imposées par la nature ; c'est nous qui les imposons à la nature ; mais nous les lui imposons, parce qu'elle nous les suggère et qu'elle supporte, sans trop de coups de pouce, que nous en usions ainsi. Si elle offrait trop de résistance, la géométrie, toujours possible en tant que construction théorique, perdrait toute utilité pratique,

La propriété qu'ont les déplacements de former un groupe implique que l'espace est homogène, isotrope et illimité. Si un déplacement A me transporte d'un point à un autre, ou change ma direction, je dois, après un tel déplacement être encore capable des mêmes mouvements qu'auparavant, et ces mouvements doivent avoir conservé leurs propriétés qui ont permis de les classer parmi les

déplacements, sans quoi le déplacement A, suivi d'un autre déplacement, ne serait plus équivalent à un troisième déplacement, et les déplacements ne formeraient plus un groupe. Ainsi, le nouveau point, auquel j'ai été transporté, joue le même rôle que mon point de départ, et ma nouvelle orientation jouit des mêmes propriétés que l'ancienne; c'est dire que l'espace est homogène et isotrope. Si l'espace est homogène, il est illimité, car les points, qui sont au bord d'un espace limité, ne jouent pas le même rôle que ceux qui sont à son centre. Cela ne veut pas dire qu'il soit infini : la sphère est une surface illimitée, et cependant finie. Toutes ces conséquences sont contenues dans le fait que les déplacements forment un groupe.

3° Continuité. — La première propriété du groupe des déplacements est d'être continu. Voyons comment on l'établit et ce que cela signifie.

Un déplacement A peut être répété deux, trois, n fois, etc. Nous obtenons ainsi différents déplacements qui peuvent être considérés comme multiples du premier. Le? multiples du même déplacement A forment un' groupe, car la succession de deux de ces multiples est encore un multiple de A. Tous ces multiples sont interchangeables, ce qui veut dire qu'il est indifférent que nous répétions A : i° trois fois, et i° quatre fois ou vice versa, ; c'est ce que les mathématiciens traduisent en disant que le groupe formé par les multiples de A est un lacet. Ce groupe des multiples de A est un sous-groupe du groupe total des déplacements.

Tous les déplacements peuvent être divisés en lacets. En effet, un déplacement, quel qu'il soit, peut toujours être divisé en deux, trois, n parties, c'est-à-dire que l'on trouve toujours un déplacement qui, répété deux, trois, n fois, engendre le déplacement total considéré.

Cette divisibilité à 1 infini ne peut être prouvée direc-