L. Rouoiisn

tement, car un déplacement trop petit est inappréciable. D'autre part, deux déplacements différents très petits sont indiscernables pour nous. Si un déplacement A est très petit, ses multiples successifs ne pourront être distingués. Il peut arriver alors que nous ne puissions distinguer 9 A de 10A, ni ioAdeiiA, mais 9A de 11A. Ces données brutes peuvent se traduire par la formule :

9 A = 1 o A , 1 o A = 1 1 A ; 9 A <[ 1 1 A . Cette formule, qui caractérise tous les continus physiques, est contradictoire. A ce titre, elle est intolérable. Pour concilier les données de nos sens avec les exigences logiques de notre pensée, trois hypothèses sont de mise :

A. — Nous pouvons supposer que chaque déplacement forme une partie d'un lacet constitué par tous les multiples d'un déplacement beaucoup trop petit pour pouvoir être apprécié. Nous obtiendrons alors un lacet discontinu, qui nous donnera l'illusion d'un continu physique par suite de la grossièreté de nos sens incapables de distinguer deux éléments consécutifs quelconques du lacet. Le groupe des déplacements sera discontinu.

B. — Nous pouvons admettre que chaque déplacement forme une partie d'un lacet plus riche. Tous les déplacements qui composent ce lacet seront interchangeables. Deux quelconques d'entre eux seront les multiples d'un autre plus petit, faisant également partie du lacet, qui pourra être considéré comme leur plus grand commun diviseur. Bref, chaque déplacement du lacet pourra être divisé en deux, trois, n parties, dans le sens défini plus haut, et le diviseur fera encore partie du lacet Les différents déplacements du lacet seront commensurables entre eux ; à chacun d'eux correspondra un nombre commensurable et réciproquement. Ce sera une sorte de continu mathématique, mais incomplet, puisque rien ne correspondra aux nombres incommensurables. Le groupe des déplacements sera semi-continu.

C. — Nous pouvons supposer iinalement que noire lacet est parfaitement continu. Tous ses déplacements sont interchangeables. Chaque déplacement correspond à un nombre commensurable ou incommensurable, et réciproquement. Le déplacement correspondant au nombre na n'est rien autre que le déplacement correspondant au nombre a, répété n fois. Le groupe des déplacements sera continu.

De ces trois alternatives, c'est la dernière que nous adoptons pour des raisons tort complexes :

i° L'expérience nous a révélé que des déplacements suffisamment grands peuvent être divisés par un nombre quelconque. A mesure que la précision de nos instruments de mesure s'est accrue, cette divisibilité a été vérifiée pour des déplacements beaucoup plus petits, au sujet desquels elle semblait tout d'abord douteuse. Nous avons été conduits alors, par induction, à la présomption que cette divisibilité est une propriété de tous les déplacements, quel que soit leur degré de petitesse, ce qui conduit à rejeter la première alternative en faveur de la troisième.

2° La première alternative, tout comme la seconde, est incompatible avec d'autres propriétés du groupe que nous révèlent d'autres expériences dont il sera parlé plus loin. Le contraire eût pu se produire. Il eût pu arriver que les propriétés du groupe fussent incompatibles avec la continuité ; nous aurions alors sans doute adopté la première solution.

4° Sous-groupes rotatifs. — La propriété formelle la plus importante d'un groupe est de posséder des sousgroupes. Les groupes se distinguent les uns des autres, au point de vue formel, par les sous-groupes qu'ils contiennent et les relations de ces sous-groupes. L'étude théorique du groupe de^ placements montre qu'il contient

des sous-groupes continus, c'est-à-diré dont tous les déplacements sont divisibles à l'infini ; discontinus, c'està-dire qui n'ont pas de déplacements divisibles à l'infini : mixtes, c'est-à-dire qui ont des déplacements divisibles à l'infini et d'autres qui ne le sont pas. On peut distinguer encore, parmi ces sous groupes, ceux dont les déplacements sont tous interchangeables et qui constituent des lacets et ceux qui ne possèdent pas cette propriété.

D'un autre point de vue, on peut classer les déplacements et les sous-groupes de la manière suivante : considérons deux déplacements A et A'; soit A" un troisième déplacement défini comme la résultante du déplacement A' suivi du déplacement A, suivi lui-même de l'inverse du déplacement A'; ce déplacement A" est le transformé de A par A'. Au point de vue formel, toutes les transformations du même déplacement sont équivalentes ; par exemple, deux rotations de 60 degrés, deux déplacements hélicoïdaux de même pas et de même fraction de spirale sont équivalents.

Les transformations de tous les déplacements d'un sous-groupe g par le même déplacement A' forme un nouveau sous-groupe qui peut s'appeler le transformé du sous-groupe g par le déplacement A'. Les différentes transformations du même sous-groupe, jouant le même rôle au point de vue formel, sont équivalentes.

Il arrive généralement que plusieurs transformations du même sous-groupe sont identiques. Si elles sont toutes identiques entre elles et avec le sous-groupe primitif, le sous-groupe est dit invariant.

Le nombre des sous-groupes du groupe des déplacements est illimité ; mais il en est de remarquables qui ont attiré de suite l'attention, et dont les postulats d'Euclide reviennent à affirmer l'existence. Tels sont les sous-groupes rotatifs.

Il existe toute une catégorie de déplacements qui

jouissent de la propriété suivante : en nous faisant passer de l'ensemble des sensation initiales A à d'autres groupes de sensations, ils laissent invariables certaines d'entre elles. Tel est le cas, par exemple, d'un solide qui tourne autour d'un point fixe. Son image est projetée sur notre rétine et chacune des fibres impressionnées du nerf optique nous procure une sensation. Du fait de la rotation du solide, ces sensations varient, mais celles qui correspondent au point fixe restent invariables. Il en sera a fortiori de même, si le corps tourne autour d'un axe fixe. Parmi les déplacements, nous sommes ainsi conduits à distinguer ceux qui conservent un certain groupe de sensations (rotations autour d'un point fixe). Ils forment un sous-groupe que l'on appelle sous-groupe rotatif. Les transformations de ce sous-groupe forment des sousgroupes rotatifs tous équivalents. Les points de l'espace se trouvent ainsi définis comme les éléments de certains sous-groupes du groupe des déplacements des corps solides. On peut donc définir la notion de point en partant de celles de déplacement et de solide.

Des expériences aussi grossières que la précédente nous apprendraient qu'il existe des déplacements qui laissent fixes deux points quelconques ; que, dans ce cas, ces déplacements laissent fixes une infinité d'autres points (rotation autour d'une droite). C'est ce que l'on exprime unalytiquement en disant :

i° Deux sous-groupes rotatifs quelconques possèdent des déplacements communs ;

2° Ces déplacements communs, tous interchangeables entre eux, forment un lacet, appelé lacet rotatif (rotations autour d'un axe fixe) ;

3° Chaque lacet rotatif fait partie, non seulement de deux sous-groupes rotatifs, mais d'une infinité d'autres.

Telle est l'origine de la droite, tout comme le sousgroupe rotatif est l'origine de la notion du point.

[To LA PHILOSOPHIE GÉOMÉTRIQUE DE POINCAUÉ

Considérons tous les déplacements d'un lacet rotatif. Si nous prenons un déplacement quelconque, il ne sera pas, en général, interchangeable avec tous les déplacements du lacet ; mais nous découvrirons qu'il existe des déplacements qui sont interchangeables avec tous ceux du lacet rotatif, et qui forment un sous-groupe plus étendu qu'on appelle le sous-groupe hélicoïdal (combinaisons de rotations autour d'un axe et de translations parallèles à cet axe), ce qui paraît évident si l'on observe qu'une droite peut glisser le long d'elle-même.

Finalement, nous pouvons lirer de ces observations les propositions suivantes :

Tout déplacement suffisamment petit, faisant partie d'un sous-groupe rotatif, peut toujours être décomposé en trois autres appartenant respectivement à trois lacets rotatifs donnés. Tout déplacement interchangeable avec un sous-groupe rotatif fait partie de ce sous-groupe.

Tout déplacement suffisamment petit peut toujours être décomposé en deux autres appartenant respectivement à deux sous-groupes rotatifs donnés ou à six lacets rotatifs donnés.

On peut démontrer alors qu'il n'existe pas de groupe discontinu ou semi-continu satisfaisant à ces conditions. Ce sont là les raisons, sur lesquelles nous avions passé silence, qui nous conduisent à considérer le groupe des déplacements comme continu.

5° Nombre de dimensions. — Dans un groupe, on distingue l'ordre et le degré. Dans le cas le plus simple, celui des permutations d'objets, le degré est le nombre des objets, l'ordre est le nombre des permutations. Le degré est un élément matériel, au lieu que V ordre est un élément formel : deux groupes isomorphes peuvent avoir un degré différent, mais leur ordre doit être le même. Ainsi, il existe (rois façons de superposer un cube à lui-

même : les sommets peuvent être permutés les uns avec les autres, de même les faces et les angles. Il en résulte trois groupes de permutations, isomorphes entre eux, et dont les degrés sont respectivement 8, 6, et 12, puisqu'il y a huit sommets, six faces et douze arêtes.

Quand on passe aux groupes continus, les définitions précédentes doivent être modifiées. L'objet des opérations de ces groupes est un ensemble de variables continues x{, x2, xm appelées coordonnées. Toute opération effectuée sur les variables peut être considérée comme formant partie d'un lacet analogue au lacet rotatif et comme un multiple, d'un ordre très élevé, dune opération infinitésimale appartenant à ce lacet. Chaque opération infinitésimale du groupe peut alors être décomposée en K autres opérations élémentaires, appartenant à K lacets donnés. Le nombre n des coordonnées est le degré, le nombre K des composantes d'une opération infinitésimale est l'ordre d'un groupe continu. Deux groupes continus isomorphes peuvent avoir différents degrés, mais ils doivent posséder le même ordre. Un déplacement infinitésimal pouvant toujours être décomposé en six mouvements élémentaires indépendants, le groupe des déplacements est d'ordre six. Il convient maintenant d'en déterminer le degré.

Les déplacements, comme nous l'avons vu., correspondent à des changements de sensations. Si l'on distingue, dans le groupe qu'ils forment, la forme et la matière, celle-ci sera constituée par nos sensations mêmes. Suppose-t-on l'espace sensible déjà élaboré, la matière sera représentée par autant de variables continues qu'il y a de fibres nerveuses. Le degré de notre groupe sera extrêmement élevé ; l'espace n'aura pas trois dimensions, mais autant de dimensions que nous avons de fibres nerveuses. Pour éviter une pareille complication, il faut remplacer le groupe que nous fournissent les données

brûles de l'expérience, par un groupe isomorphe, dont la matière soit plus simple.

Nous y parvenons grâce à cette circonstance : les déplacements, qui conservent certains éléments, sont les mêmes que ceux qui conservent certains autres éléments. Alors, tous les éléments conservés par les mêmes déplacements peuvent être remplacés par un élément unique, qui a une valeur purement schématique. lien résulte une réduction considérable du nombre des degrés. Par exemple, un solide tourne autour d'un point peint en rouge ; quelque temps après, un second solide tourne autour d'un point peint en vert. Dans le premier cas, ce que je perçois comme invariable dans le déplacement, c'est la sensation de rouge procurée par une certaine libre nerveuse; dans le second, c'est la sentation de vert. Ces deux sentations sont radicalement hétérogènes, mais je constate que le déplacement est le même dans les deux cas, parce qu'il peut être corrigé parle même changement interne. Les deux sensations de rouge et de vert, matériellement différentes, peuvent alors être remplacées par un élément unique que j'appelle point, et je traduis mes sensations en disant que, dans l'un et l'autre cas, un point reste fixe. Chacun de ces nouveaux éléments sera conservé par tous les déplacements d'un sous-groupe rotatif, chaque sous-groupe rotatif correspondant à un élément et réciproquement.

Considérons maintenant les différentes transformations du même sous-groupe. Elles sont infinies en nombre et peuvent former une simple, double, tripleinfînitécontinue. A chacune de ces transformations correspondra schématiquement un certain élément. Nous obtiendrons ainsi une simple, double, triple infinité d'éléments et le degré de notre groupe continu sera, suivant les cas, i, 2, 3...

Supposons que nous choisissions les différentes transformations d'un sous-groupe rotatif. La matière de notre

groupe sera constituée par une triple infinité d'éléments et son degré sera 3. Nous aurons alors choisi le point comme élément de l'espace et donné à l'espace trois dimensions.

Supposons que nous choisissions les différentes transformations d'un sous-groupe hélicoïdal. La matière de notre groupe sera composée d'une quadruple infinité d'éléments et son degré sera 4- Nous aurons choisi la droite comme élément de l'espace et nous aurons donné à l'espace quatre dimensions.

Supposons, enfin, que nous choisissions les différentes transformations d'un lacet rotatif. Le degré sera 5. Nous aurons choisi comme élément de l'espace la figure formée par une ligne droite et un point sur cette droite, et nous aurons donné cinq dimensions à l'espace.

Ces trois solutions sont également possibles, et l'on ne peut se déterminer en faveur de l'une d'elles qu'en vertu d'une convention, qui n'est ni vraie ni fausse, mais plus ou moins commode. Les raisons que nous avons de choisir la première sont les suivantes :

i° C'est mathématiquement la plus simple, puisqu'elle conduit à attribuer à l'espace le moins grand nombre de dimensions.

2° Psychologiquement, le sous-groupe rotatif est connu avant les deux autres. Le sous-groupe hélicoïdal est connu seulement après et indirectement. Le lacet rotatif est un simple sous-groupe du groupe rotatif.

3d A cela se joignent des raisons d'ordre physique. Le géomètre est parfaitement libre de prendre pour élément générateur de l'espace celui qui lui convient ; le point, la droite, la sphère, le cône, etc. ; mais le physicien envisage un corps comme un système de points auxquels s'appliquent des forces. D'une manière générale, les propriétés des corps ne dépendent que de leurs points. Il n'importe pas, par exemple, pour les propriétés d'un corps, qu'il ait

ou non des plans tangents communs avec Mars, Jupiter et le Soleil.

6° Le groupe métrique d'Euclide. — Les propositions précédentes une fois admises, noire choix se trouve limité aux trois groupes métriques d'Euclide, de Lobatchefski et de Riemann. Choisir le groupe d'Euclide, c'est, comme nous l'avons déjà dit, admettre que le groupe des déplacements possède un sous-groupe invariant, dont tous les changements sont interchangeables, et qui est formé de toutes les translations.

Les raisons d'admettre la géométrie d'Euclide sont les suivantes :

i° Le groupe euclidien est mathématiquement le plus simple, parce que certains de ses déplacement sont interchangeables entre eux, ce qui n'est pas vrai des déplacement des groupes non-euclidiens. Traduit en langage analytique, cela veut dire qu'il y a moins de termes dans les équations euclidiennes : le groupe euclidien est donc plus simple que les autres groupes, de la même façon qu'un polynôme du premier degré est plus simple qu'un polynôme du second degré et les formules de la trigonométrie rectiligne que les formules de la trigonométrie sphérique. Cette considération est d'un grand poids, la science étant à sa façon un problème de minimum. L'économie de la pensée importe avant tout. Or, les géométries non-euclidiennes font appel aux théories les plus élevées de l'analyse, aux fonctions fuchsiennes par exemple. On peut dès lors pressentir quelles complications entraîneraient une mécanique et une physique constituées à l'aide d'une métrique non-euclidienne. Il n'y aurait cependant aucune impossibilité théorique à cela, comme le montrent les différents travaux publiés sur ce sujet.

i° Le groupe euclidien est pratiquementle seul utilisable, parce que les solides naturels avec lesquels nous con-

struisons des instruments de mesure, en particulier nos membres et notre œil, se comportent sensiblement, dans leurs déplacements, comme des solides euclidiens. C'est ce que nous apprennent les expériences cinématiques relatives à la translation des solides naturels,