III. Résumé et Conclusion

Nous pouvons résumer les considérations précédentes de la façon suivante. L'analyste a dans l'esprit la notion de plusieurs groupes, dont il connaît théoriquement les propriétés. Parmi tous les changements de l'univers, l'expérience lui révèle une classe remarquable, la classe des déplacements. Les déplacements forment un groupe et ont les propriétés d'un continu physique. Pour traduire analytiquement ce résultat et faire cesser la contradiction intolérable qu'entraîne la loi de Weber, la loi de tous les continus physiques, l'analyste peut choisir un groupe discontinu, semi-continu ou continu, comme groupe fondamental. Ce sont des raisons d'ordre expérimental qui le conduisent à choisir un groupe continu G, d'ordre six et de degré indéterminé, appelé groupe des déplacements. Parmi tous les groupes isomorphes à G, il choisit, pour des raisons de simple commodité, le sous-groupe rotatif, comme groupe spatial, de préférence au sous-groupe hélicoïdal et au lacet rotatif également" possibles. Le groupe spatial lui-même est métriquement indéterminé et les axiomes de Lie montrent qu'il est possible de choisir entre trois groupes. L'analyste choisit, comme groupe métrique, le groupe euclidien, pour des raisons de simplicité mathématique et de commodité pratique.

Les expériences qui conduisent à la notion de déplacement et à celle de corps solide étaient indispensables à l'esprit humain pour créer la géométrie. C'est l'existence des solides naturels qui conduit le savant à étudier un

certain groupe fondamental particulièrement, remarquable mais encore très indéterminé. A chaque nouveau degré de détermination, l'analyste a choix entre plusieurs alternatives possibles. L'expérience ne lui impose pas le choix qu'il fait, mais elle le lui suggère, en lui montrant que c'est le plus commode. La géométrie apparaît, dès lors, comme le fruit inconscient d'un opportunisme empirique.

Que l'on n'aille pas dire qu'il en est ainsi de n'importe quelle loi physique. Une fois adoptés le langage et les procédés de mesure qui permettent d'énoncer et de vérifier une loi physique, celle-là est nécessairement vraie ou fausse aux erreurs près d'observation. Elle est déterminée univoquement par l'expérience. Tel n'est pas le cas des théorèmes de la géométrie.

Non seulement les faits expérimentaux, qui sont l'occasion de les énoncer, sont approximatifs, alors que les théorèmes géométriques sont infiniment précis et soustraits à toute revision, mais encore l'expérience ne les vérifie pas toujours. Par exemple, si un corps va de A en B, il n'est pas toujours vrai qu'un transfert corrélatif de notre corps, de A en B, restaure nos sensations primitives. Dans ce cas, on s'en prend au solide qui s'est déplacé : on l'accuse d'avoir subi un changement d'état appréciable. « Ces coups de pouce sont légitimes, dit Poincaré, mais ils suffisent pour nous avertir que les propriétés de l'espace ne sont pas des vérités expérimentales proprement dites. Si nous avions voulu vérifier d'autres lois, nous aurions pu aussi y parvenir, en donnant d'autres coups de pouce analogues '. »

La raison de cette différence entre les lois physiques et les théorèmes géométriques est celle que nous avons dénoncée dans un précédent paragraphe : les expériences

1 V. S., p. ia5.

qui ont été pour nous l'occasion de créer la géométrie sont des expériences de cinématique, d'optique et de physiologie, non des expériences proprement spatiales. Dès lors, nous sommes dans le cas d'un témoin indirect : s'il est convaincu de fausseté, il mettra l'erreur reprochée sur le compte du témoin direct dont il s'est fait le porteparole ; cela; sans que jamais sa bonne foi puisse être suspectée.

On peut encore s'exprimer d'une autre manière. Il y a deux choses dans la science : la matière et la forme, ce qu'elle énonce et le langage dans lequel elle l'énonce. L'expérience dans les sciences de la nature nous impose la matière de la science ; elle ne nous impose jamais le langage dans lequel on l'exprime. Le langage delà science peut être indéfiniment diversifié ; les lois naturelles, qui en constituent le contenu, resteront invariables. Si l'on passe d'un langage dans un autre à l'aide d'un dictionnaire approprié, les lois apparaîtront comme un invariant de la traduction ainsi opérée.

A quel critère reconnaîtra-t-on, dès lors, qu'une énonciation se rapporte à la forme de la science plutôt qu'à sa matière? A ce que l'adoption de renonciation contraire n'eût pas été moins bonne. Appliquons ce critère aux axiomes de la géométrie ordinaire. On voit qu'ils se rapportent à la forme des sciences de la nature : ils fixent le langage dans lequel on convient de traduire les lois physiques. Ils définissent ce que l'on convient d'appeler élément de l'espace, forme, distance, droite, plan, figures égales, déplacements sans déformation. D'autres définitions auraient pu prévaloir, qui équivaudraient à rejeter le postulat d'Euclide ou à attribuer un nombre différent de dimensions à l'espace. Nous avons déjà vu qu'elles n'auraient pas été moins bonnes en ce qui concerne le postulatum, c'est-à-dire que les lois physiques peuvent s'énoncer en langage non euclidien ; en ce qui concerne

l'axiome des trois dimensions, Poincaré a consacré son dernier article philosophique * à montrer que les lois de la physique pourraient s'exprimer en attribuant quatre dimensions à l'espace. Adopter la géométrie ordinaire, c'est, au même titre que le choix d'un système de mesures, d'un type d'instruments, d'une analyse vectorielle, élire un langage parmi d'autres possibles. Une fois ces conventions posées, les faits que la physique exprime ne peuvent plus être que vrais ou faux.

Nous sommes dès lors à même de répondre au problème épistémologïque posé au début du paragraphe précédent : quelle est la nature des axiomes de la géométrie ordinaire? Sont-ils des vérités empiriques, des vérités rationnelles, ou de simples conventions?

Nous pouvons répondre que ce sont de simples conventions. Ce sont des conventions facultatives, mais ce ne sont pas des conventions arbitraires : ce sont des conventions commodes, justifiées par V expérience.

Comme il existe différentes sortes de conventions, il convient d'examiner comment se répartissent entre elles les différentes sortes d'axiomes.

Les axiomes peuvent se rapporter, soit à la forme du groupe métrique euclidien, soit à sa matière. Les premiers sont des conventions nominales, c'est-à-dire des définitions déguisées. Seulement ce sont les définitions d'une sorte particulière. Ils ne caractérisent qu'équivoquement les objets auxquels on a coutume de les appliquer, puisqu'ils sont vrais d'une foule d'objets différents. Ce qu'ils définissent univoquement, est quelque chose de purement formel : ils définissent la structure d'un groupe, du groupe métrique euclidien.

L'axiome des trois dimensions est d'une autre sorte. Il est d'ordre purement matériel. C'est la matière du groupe

1 L'Espace el ses trois dimensions, ap. /?. .1/. M., juillet 1912, p. 483-5o4.

des déplacements qu'il détermine, en spécifiant que ce groupe s'applique à une variété numérique à trois dimensions. Il revient à choisir une certaine interprétation possible du groupe des déplacements. C'est une convention d'interprétation, choisie, pour des raisons de commodité, entre plusieurs autres possibles.

Enfin, nous avons vu qu'il existe des solides naturels dont les déplacements se comportent approximativement comme les substitutions du groupe euclidien. Admettre les axiomes métriques d'Euclide, c'est alors choisir ces solides comme instruments pour mesurer l'espace, et, par suite, pour appliquer les mathématiques à la physique. En ce sens, on peut dire que les axiomes métriques sont des conventions instrumentales.

GHAP1TRK VII

I. L'incompatibilité des géométries non-euclidiennes avec Le Kantisme.

Les géométries non-euclidiennes n'ont pas seulement pour intérêt de montrer, par un exemple topique, que l'expérience ne conditionne pas univoquement la représentation schématique et conceptuelle que la science donne de l'Univers : qu'il n'y a pas entre la nature et l'esprit « unité de détermination », adœquatio rei et intelleclus, selon la vieille formule scolastique. Elles comportent cette conséquence philosophique capitale, nettement formulée par Poincaré : elles constituent un réquisitoire accablant contre .le Kantisme.

Tour à tour, Gauss, Helmholtz, Poincaré ont explicitement dénoncé l'incompatibilité de la pangéométrie avec la théorie criticiste. Pour Kant, les axiomes de la géométrie euclidienne sont des principes synthétiques a priori qui s'imposent apodictiquement à notre esprit en vertu d'une forme a pilori de la sensibilité; pour Gauss, ce sont des vérités empiriques qui résultent de la détermination expérimentale d'une certaine constante spatiale ; pour Helmholtz, ce sont des lois cinématiques ; pour Poincaré, ce sont des conventions commodes suggérées par l'expérience. Pour Kant, la géométrie d'Euclide est imposée par notre intuition de l'espace qui dérive de notre nature

d'être sensible; pour les mélagéomètres contemporains, les géométries d'Euclide, de Lobalchefski et de Riemann sont trois métriques également susceptibles de s'appliquer à l'espace représentatif qui est amorphe.

Aussi est-il surprenant que, dans son travail classique sur la Philosophie des mathématiques de Kant1, — qui célèbre le crépuscule dune idole plutôt qu'il commémore un anniversaire, — Couturat ait totalement négligé une source de critiques si précieuse . Il est plus étonnant de le voir insinuer à la fin de son mémoire que les géométries noneuclidiennes tourneraient plutôt à la justification du criticisme qu'à sa confusion : « Quoi qu'il en soit, tandis que l'Arithmétique dément la théorie kantienne, c'est dans la Géométrie que cette théorie a le plus de chances de subsister. Ce résultat est contraire à l'opinion d'un grand nombre de mathématiciens, qui prétendent que l'invention des géométries non-euclidiennes a réfuté la doctrine de Kant ; ces auteurs, apparemment peu familiers avec la pensée de Kant, croient que sa doctrine implique qu'il n'y ait qu'une géométrie logiquement possible, ce qui est faux ; l'existence de plusieurs géométries possibles est bien plutôt un argument en faveur de la thèse kantienne, que les jugements géométriques sont synthétiques et fondés sur l'intuition. M. Russell a vu beaucoup plus juste en disant que ce qui a ruiné la philosophie kantienne des mathématiques, ce n'est pas la géométrie non-euclidienne, mais la reconstitution logique de l'Analyse, ce que M. Klein a appelé Yai*ithmétisation des mathématiques l. » Il n'est pas déplacé de revenir sur ce jugement provisoire du grand logicien, et de compléter sa critique, en utilisant les arguments qu'il a laissés pour compte.

L'histoire des géométries non-euclidiennes dans ses

1 R. M. M., mai 1904; reproduit dans les Principes des Mathématiques, Paris, 190Ô.

1 Les principes des Mathématiques, p. 3oo-3oi.