L. Rougier

rapports avec le Kantisme peut se décomposer en trois périodes. Dans la première, les Kantiens, Land, Krause et Becker, soutiennent que les métriques non-euclidiennes sont des constructions logiques, incapables de s'accompagner d'intuition, si bien que la géométrie d'Euclide garde son privilège d'être la seule forme d'extériorité qui s'impose à notre sensibilité comme condition a priori de l'expérience; dans la seconde, les néo-Kantiens, Lotze, Renouvier, Hannequin attaquent la validité des géométries non-euclidiennes au nom de la logique et de l'expérience ; enfin, dans la troisième, M. Hussell fait des concessions à l'empirisme pour sauvegarder l'idée fondamentale de la théorie criticiste sous une forme remaniée. Nous étudierons successivement la position de Poincaré en face de ces trois moments du développement de la philosophie géométrique du Criticisme.

Tout d'abord, on serait tenté d'argumenter ainsi contre Kanl : vous dites que les principes de la géométrie sont des jugements synthétiques a priori, parce qu'ils sont apodictiques ; mais s'ils sont apodictiques, ils s'imposent nécessairement à notre entendement, et on ne saurait concevoir d'autres géométries, logiquement possibles, que celle d'Euclide. A raisonner ainsi, nous commettrions la méprise que dénonçait plus haut Couturat. Nous oublierions qu'apodictique n'a pas chez Kant le sens traditionnel, consacré par l'autorité d'Aristote et des Rationalistes de tous les temps. Il ne s'entend pas de ce qui s'impose nécessairement à notre pensée, parce que le contraire est contradictoire : il se dit de ce qui s'accompagne d'une évidence intuitive telle que nous ne saurions en douter. Le Kantisme est alors très compatible avec l'existence de géométries. autres que celle d'Euclide, à condition qu'elles

ne. s' accompagne ni pas d'intuition. S'il en élait autrement, les axiomes de la géométrie ordinaire r,e seraient pas des conditions a priori de l'expérience, puisque d'autres axiomes seraient susceptibles de s'appliquer à la matière de l'intuition. Pour que les géométries non-euclidiennes tournent contre le Kantisme, il faut que les lignes, les surfaces et les solides non-euclidiens soient susceptibles d'être représentés au même titre que ceux d'Euclide.

Or, précisément, en lisant les mémoires de Lobatchefski et de Bolyaï, un Kantien n'avait pas grand motif de s'alarmer. Les géométries non-euclidiennes apparaissent dans ces travaux comme des constructions purement conceptuelles, dont on n'est pas pertinemment sûr qu'elles ne soient pas contradictoires, qui ne s'accompagnent d'aucune représentation figurative adéquate. On n'y voit pas ce que sont une droite, un plan, un solide lobatchefskiens. En présence de la géométrie nouvelle, les Griticistes étaient fondés à déclarer : « Les axiomes de la géométrie non-euclidienne sontdes propositions synthétiques comme tous les jugements mathématiques : leurs contraires n'impliquent donc pas contradiction. C'est pourquoi la géométrie non-euclidienne est logiquement concevable. Mais les axiomes de la géométrie d'Euclide sont seuls apodictiques, parce que seuls les objets sur lesquels ils portent peuvent s'accompagner d'intuition. » Voilà ce que soutenaient Land, Krause et Becker à l'époque où Helmholtz allait entreprendre de les attaquer ; voilà ce que n'ont cessé de répéter depuis les Néo-criticisles comme Renouvier1 et Natorp"2, et, exception faite du postulat d'Euclide, M. Russell3 de nos jours.

1 Renouvier, Philosophie de la règle et du compas, ap. Critique philosophique, novembre 1889.

2 P. Natorp, Die logischen Gruncllagen der exaclen W'issenschaften,

3 B. Russell, An Essay on the Foundalions of Geomelry, 1897.

C'est contre cette prétention que s'insurge le fondateur de Y Optique physiologique1. Il estime que les géométries non-euclidiennes sont parfaitement imaginables et il pose à ce sujet une définition remarquable de l'imaginabilité (Vorstellharkeit) : « C'est la possibiliié de se représenter complètement les impressions sensorielles que l'objet exciterait en nous d'après les lois connues de nos organes des sens, sous toutes les conditions d'observation concevables2. » Il ajoute, en guise de critérium : « Lorsque îa série des impressions sensibles peut être donnée d'une manière complète et univoque, on doit reconnaître que la chose peut être représentée intuitivement3. »

Bornons-nous d'abord à la géométrie à deux dimensions. Quel est le sens de cette proposition : peut-on se représenter intuitivement les planimélries non-euclidiennes? Ces planimétries diffèrent de celle d'Euclide par les définitions qu'elles donnent de la distance de deux points, de la ligne droite et du plan. A priori, on ne sait pas s'il existe des lignes et des surfaces représentables, qui répondent à ces définitions. Prouver qu'il y en a, c'est précisément affimer que ces planimétries peuvent s'accompagner d'intuition. C'est ce qu'a fait Beltrami, lorsqu'il a montré que la droite et le plan lobalchefskiens sont représentés sur une région circonscrite d'une pseudosphère, de même que la droite et le plan riemanniens sont identifiables à une sphère et à ses grands cercles.

Helmholtz, s'inspirant de la découverte de Beltrami, montre comment des êtres intelligents seraient amenés à construire une planimélrie riemannienne ou lobatchefskienne, sans avoir l'intuition du plan euclidien. Il

r Helmholtz, W issenschaflliche Abhandlungen, Bd. II, p. 640 et suiv. ; Vorlrâge und Reden, t. II, p. 1 et suiv., 356 et suiv , 610-660; Populârwissenschaflliche Vorlrâge, Ileft 3, p. 21-54.

2 Wiss. Abhandl., Bd. II, p. 644.

* Vorlrâge u. Reden, Bd. II, p. 234.

suppose, à cet effet, des êtres infiniment plats, vivant à la surface d'une sphère. Le ligne la plus courte d'un point à un autre est pour eux l'arc de grand cercle compris entre ces points : ce sera leur droite. Ils constateront qu'il existe un couple de points conjugués par lesquels passe une infinité de droites. Par un point pris hors d'une droite, il leur sera impossible de mener une autre droite qui ne rencontre pas la première. La notion de parallélisme leur échappera, celle de similitude également. Par contre, ils pourront démontrer l'égalité de deux figures par superposition. Ces êtres adopteront la planimétrie riemannienne.

Transportons, à nouveau, nos êtres plats sur une pseudosphère et enfermons-les dans une région comprise entre deux arêtes de rebroussement. Par un point pris hors d'une géodésique, qu'ils appelleront droite, ils constateront qu'on peut toujours mener un faisceau de droites qui ne coupent pas la première : ils adopteront la planimétrie lobatchefskienne à deux dimensions.

Supposons qu'un de leurs géomètres ait rejeté le postulat de Lobatchefski pour le remplacer par celui d'Euclide. La nouvelle planimétrie ainsi obtenue paraîtra purement conceptuelle et incapable de s'accompagner d'intuition, si bien que les postulats de la géométrie plane de Lobatchefski seront tenus pour seuls apodictiquement vrais. Si, alors, de hardis pionniers venaient un jour à découvrir sur la pseudosphère une surface plane, en une région inexplorée, qu'elle serait leur stupéfaction ? Sur cette surface, la planimétrie non-lobatchefskienne se trouverait réalisée. Les pseudosphériens se trouveraient dans la même situation que nous, une fois que Beltrami eut découvert les propriétés des pseudosphères. Leur kantisme^ comme le nôtre, se trouverait fort ébranlé. A partir de ce moment, les philosophes de la pseudosphère ne manqueraient pas d'agiter la question de savoir quelle est

la vraie géométrie de l'Univers, jusqu'au jour où un nouveau Poincaré viendrait leur dire : « Ne passez-vous pas votre temps en de vaines disputes. Le plan euclidien n'est-il pas semblable à l'horisphère lobatchefskienne; le plan hyperbolique n'est-il pas semblable aux surfaces euclidiennes à courbure constante négative? Dès lors vos deux géométries sont deux métriques qui. partant de définitions différentes, sont également susceptibles de s'appliquer à notre Univers. On ne peut pas dire que l'une soit plus vraie que l'autre. Notre métrique lobatchefskienne est cependant plus commode, parce qu'elle est conforme à nos anciennes habitudes, et aussi parce que les segments de surface qui nous servent à construire des instruments de mesure se comportent à la façon des figures planes indéformables de Lobatchefski. »

Helmholtz n'a pas seulement vulgarisé, sous la forme suggestive des allégories du Pays plat, les résultats de Beltrami ; il a montré comment l'espace non-euclidien est représentable. Que doit-on d'abord entendre par ces mots: l'espace non-euclidien est représentable ?

L'espace est un continuum amorphe qui n'est pas capable d'être imaginé. Seuls les corps qui le remplissent lui donnent une forme par métaphore. Pour étudier métriquement ces corps, il faut les superposer. Gela n'est possible que si les déplacements qu'on leur fait subir les laissent indéformables, c'est-à-dire si les distances de tous les couples de points qui les composent restent invariables. Mais ce que les trois géométries appellent distance de deux points, cest quelque chose de différent pour chacune des trois géométries : par conséquent, les définitions qu'elles donneront du mouvement d'un corps indéformable, seront trois définitions différentes. Un corps indéformable pour un Euclidien, c'est-à-dire tel que les droites euclidiennes restent des droites euclidiennes dans les mouvements qu'il subit, apparaîtra

comme un corps déformable pour un géomètre lobatchefskien, parce que les droites hyperboliques ne demeurent pas des droites hyperboliques, et réciproquement1. Dès lors, cette proposition ; « Peut-on s'imaginer l'espace non-euclidien ? » revient à celle-ci: « Peut-on s'imaginer les déplacements sans déformation des solides non-euclidiens » ? A cette question, Helmholtz et Poincaré ont répondu que oui.

On peut d'abord se demander comment apparaîtraient les phénomènes d'un monde lobatchefskien pour un observateur dont l'éducation visuelle se serait formée dans notre univers. Pour cela, plaçons devant nos yeux une grande loupe convexe, à distance focale négative, d'une dizaine de mètres environ. Cette lentille rapprochera les objets et mettra les plus éloignés à la distance focale de la loupe. De tous côtés, où que nous nous tournions, le champ de notre vue s'arrêtera à une dizaine de mètres. Si nous avançons pour saisir un objet, nous le verrons s1étendre devant nous plus en profondeur qu'en surface ; derrière nous, par contre, il se contractera. Si nous fixons deux lignes droites — deux rayons lumineux, par exemple, — nous les verrons s'écarter d'autant plus que nous avancerons davantage ; derrière nous, ils sembleront vouloir se rejoindre. Nous serons dans un univers lobatchefskien.

Mettons à nouveau devant nos yeux un verre faiblement prismatique, dont la base soit tournée vers le sol ; nous assisterons aux apparences inverses. Les objets nous paraîtront plus grands et plus éloignés qu'ils ne sont en réalité ; et, pour les fixer, il faudra faire diverger les axes de nos yeux. Toutes nos lignes de vision paraîtront venir se rejoindre derrière notre tête, qui deviendra, à elle seule, le fond de toute perspective. Nous serons dans un univers riemannien.

1 Cf. V. S., p. 62.

Helmholtz conclut de là que nous avons « la faculté d'imaginer la série entière des impressions sensorielles que nous éprouverions dans des mondes non-euclidiens, en suivant la route tracée par les lois connues de nos perceptions sensorielles ». Ce résultat ruine la thèse des Griticistes.

Pouvons-nous, maintenant., imaginer un monde dont les habitants seraient naturellement conduits à adopter la géométrie non-euclidienne à trois dimensions? Remarquons bien ce que la question comporte.

Pour les habitants d'un tel monde, la droite lobatchefskienne devra assumer les mêmes fonctions physiques que la droite euclidienne dans notre univers : elle devra être le plus court chemin d'un point à un autre, l'axe de rotation des corps solides, la trajectoire des rayons lumineux. A la question ainsi précisée, Poincaré, utilisant la première interprétation euclidienne de la métrique lobatchefskienne, répond par un mythe célèbre1.

Imaginons, à l'intérieur d'une sphère S, un monde présentant les particularités suivantes. Tous les objets qui le peuplent ont le même coefficient de dilatation et sont animés de mouvements suffisamment lents pour se mettre immédiatement en équilibre thermique avec le milieu qui les entoure. La température est maxima au centre et se réduit au zéro absolu à la périphérie. Si l'on désigne par R le rayon de la sphère et par r la distance d'un point intérieur au centre, la température absolue en ce point sera mesurée par R2 — r2, et l'indice de réfraction par l'inverse de ce rapport.

Les habitants de ce monde singulier le tiendront pour infini. En effet, plus ils avanceront vers la périphérie, plus leurs pas deviendront petits, puisqu'ils se contracteront

1 S. IL. p. 83-88.

sous l'action du froid, si bien qu'ils ne parviendront jamais à l'atteindre. Plus ils se rapprocheront du centre, au contraire, plus ils gagneront de terrain à chaque enjambée, puisqu'ils se dilateront à mesure sous l'action croissante de la chaleur. Le plus court chemin entre deux points, celui nécessitant le nombre le plus petit de pas, ne sera plus, comme on peut le prévoir, la droite euclidienne qui joint ces deux points, mais une courbe renflée vers le centre : lare du cercle, passant par ces deux points, qui coupe orthogonalement la sphère S. On peut vérifier que cette courbe, en raison des hypothèses énoncées, sera l'axe de rotation des solides qui pivotent entre ces deux points et la trajectoire des rayons lumineux allant de l'un à l'autre: ce sera la droite physique de ce monde. Par un point pris hors d'une droite, on pourra mener, non plus une seule, mais une infinité de parallèles à cette droite, et la somme des angles d'un triangle sera inférieure à deux droits. Les habitants de cet univers ne construiront pas la géométrie d'Euclide, mais celle de Lobatchefski.

Faisons l'hypothèse contraire. Supposons un monde formé de couches concentriques, où la chaleur irait en croissant indéfiniment à partir du centre. Les phénomènes inverses vont se présenter. Par un point pris hors d'une droite, on ne pourra mener aucune parallèle à cette droite ; deux points ne détermineront plus toujours univoquement une droite et la somme des angles d'un triangle sera supérieure à deux droits. Ce n'est plus la géométrie de Lobatchefski qu'on sera conduit à élire, c'est celle de lliemann.

Supposons que, dans l'univers lobatchefskien décrit par Poincaré, on introduise des corps dont la dilatation soit négligeable, c'est-à-dire qui se comportent comme les solides euclidiens . Les géomètres de ce monde hyperbolique pourront s'en servir pour faire des mesures : ils pourront alors adopter pratiquement la métrique eucli-

dienne. Seraient- ils fondés alors à dire que cette métrique nouvelle est fausse et l'ancienne vraie ? Assurément non. Les deux métriques se prêteront également à l'étude des phénomènes physiques de leur univers. Mais la géométrie d'Euclide leur paraîtra toujours paradoxale, parce qu'elle bouleversera leurs idées sur la mesure du continu physique et parce que les solides euclidiens resteront l'infime exception. Ce seront les solides lobatchefskiens, leurs corps en particulier, qu'ils continueront à considérer comme véritablement indéformables. Lorsqu'ils transporteront un solide euclidien, c'est ce solide, et non leur propre corps, qui leur semblera varier de forme. Us préféreront donc la géométrie lobatchefskienne à celle d'Euclide, parce qu'elle correspondra aux propriétés des corps les plus remarquables de leur univers, en particulier à celles de leurs membres qu ils utiliseront spontanément pour faire des mesures. Il en serait autrement pour nous, dont l'éducation a été faite dans un monde euclidien. Transportés brusquement dans l'univers lobatchefskien, nous trouverions plus simple de ne pas changer nos habitudes et de décrire les phénomènes dans le langage de la géométrie ordinaire1. Les solides hyperboliques nous apparaîtraient comme des corps qui se déforment dans leurs mouvements, et la traduction euclidienne de ces mouvements serait seulement plus compliquée que pour les géomètres lobatchefskiens, puisqu'ils ne seraient plus des déplacements sans déformation. Inversement, si ces géomètres étaient transportés chez nous, ils seraient amenés à rendre compte des phénomènes physiques de notre univers à l'aide de leur métrique non-euclidienne. Le mythe physique de Poincaré est riche d'enseignements philosophiques. Contre les Rationalistes, il montre que les vérités réputées a priori, éternelles et

inconditionnellement nécessaires, dépendent des contingences empiriques du milieu qui nous sert d'habitat1. En effet, quelle est la proposition que Descartes, Bossuet. Malebranche s'accordent à citer le plus volontiers comme exemple probant de vérité rationnelle? C'est le théorème bien connu : la somme des angles d'un triangle est égale à deux droits. Or, dans l'univers non-euclidien, si Ton désigne du nom de droites les droites hyperboliques, ce théorème est faux ; il est remplacé par cet autre : la somme des angles d'un triangle est inférieure à deux droits. D'où vient la différence de ces deux énoncés contradictoires? De ce que le coefficient de dilatation des corps solides, rétablissement de l'équilibre thermique et la répartition de la chaleur sont autres dans le monde euclidien et dans le monde lobatchefskien ; ou, pour parler le langage des géomètres non-euclidiens pour qui la notion de chaleur n'existe pas, de ce que la structure des solides naturels est différente dans ces deux univers. Contre les Criticistes, le mythe de Poincaré établit que la géométrie d'Euclide n'est pas seule à s'accompagner d'intuition : « Dans le monde non-euclidien, nos sensations seraient composées des mêmes éléments que dans notre monde actuel, mais ces éléments s'associeraient et se succéderaient suivant d'autres lois. On peut donc parfaitement décrire ce monde non-euclidien, non en termes conceptuels, mais en composant un tableau nouveau avec des éléments connus. Je crois que c'est ce qu'Helmholtz a voulu faire ; je suis sûr que c'est ce que j'ai voulu faire, et je crois y avoir réussi"2. » En ce sens, on peut conclure, contrairement à l'opinion de Couturat, que les géométries non-euclidiennes constituent bel et bien une mise à pied du Kantisme.

1 Comp. L. Rougier, les Paralogismes du Rationalisme, chap. x.

2 H. Poincaré, Des fondements de la Géométrie, ap. R. M. M., mai