III. Réfutation des arguments néo-criticistes

Non seulement Poincaré rejette explicitement la théorie eriticiste, mais l'on peut trouver, dans les divers développements de sa pensée, la matière d'une réfutation des critiques adressées par les néo-Kantiens contre la validité des géométries non-euclidiennes.

Ces critiques, que l'on trouve chez Lotze, Renouvier et Hannequin, reposent sur une connaissance technique insuffisante des géométries non-euclidiennes et sur une tendance réaliste à appliquer à l'espace en soi ce qui n'est vrai que des métriques, qu'on utilise pour le géométrer.

i° Certains interprètent l'expression malencontreuse de Riemann : « courbure de l'espace en un point », comme signifiant que les espaces non-euclidiens sont des espaces courbes plongés dans un espace euclidien à quatre dimensions, de même que la courbure d'une ligne implique le recours à la droite euclidienne. Ainsi les métriques de Lobatchefski et de Riemann seraient nécessairement subordonnées à celle d'Euclide et n'auraient de sens que par elle. Cette thèse a été formulée par Renouvier1 et Hannequin2. Elle repose sur la double méconnaissance des recherches de Gauss et de celles de Riemann. Le premier a formulé un théorème qui permet de donner une définition intrinsèque soit de la courbure totale, soit de la courbure en un point d'une surface et d'une ligne, sans recourir à la droite euclidienne et à la troisième dimension. Le second, dans son Habilitationschrift, a généralisé le théorème de Gauss en fournissant de la courbure de l'espace en un point une définition

1 Renouvier, Philosophie de la règle et du compas, ap. Critique philosophique, nov. 1889, p. 337 et suiv.

- Hannequin, Etudes d'histoire des Sciences et d'histoire de la Philoxnpliie, 1908, p. 87-101.

intrinsèque qui permet de s'affranchir de la quatrième dimension.

2° Toujours comme suite de l'équivoque créée par l'expression de Riemaun, Lotze, Ilenouvier, Hannequin et Newcombe se figurent les espaces non-euclidiens comme doués d'une vertu plastique, d'une action déformatrice qui imposerait une certaine courbure définie K à tous les corps qui y sont plongés : « Plusieurs personnes, écrit Poincaré, sont allées jusqu'à douter du postulatum, à se demander si l'espace réel est plan, comme le supposait Euclide, ou s'il ne présente pas une légère courhure{. » Mais alors l'espace cesserait d'être une pure réceptivité ; il serait actif et par suite non homogène. Or, la première condition requise par une métrique est l'homogénéité de l'espace, qui seule permet la libre mobilité des figures : les géométries non-euclidiennes seraient donc contradictoires dans les termes.

L'erreur d'interprétation ici commise lient à ce qu'on rapporte l'expression « courbure d'espace » à l'espace lui-même, au lieu de la rapporter à la façon de mesurer. L'espace considéré en soi, indépendamment de nos instruments de mesure, est amorphe : il n'a ni propriétés métriques, ni propriétés projectives, il n'a que des propriétés topologiques2. C'est un continuum à trois dimensions, obtenu à laide d'une première abstraction à partir du continu sensible primitif fourni par la perception extérieure. Dans ce continuum, on peut tracer un réseau de lignes et de surfaces : les propriétés de ce réseau sont dites improprement et par métaphore les propriétés de l'espace3. Par propriétés du réseau, il faut entendre le rapport qui existe entre deux mailles distinctes du réseau. Pour établir ce rapport, il est nécessaire d'amener les

1 Journal des Savants, mai 1902, p. 253. * Cf. D. P., p. 62.

3 Cf. V. S., p. 59-Go.

deux mailles en contact, autrement dit de déplacer l'une jusqu'à ce qu'elle coïncide avec l'autre. Si l'on admet les deux propositions suivantes : i° il existe un système de réseaux et de déplacements, tel qu'il est possible d'amener les mailles à coïncider entre elles, deux mailles qui coïncident étant dites égales ; 20 deux mailles qui coïncident sont égales avant la coïncidence et restent égales lorsqu'on les sépare ; on dit alors que le déplacement a lieu sans déformation, ou encore qu'il y a déplacement d'une figure invariable. Un tel système de réseaux et de déplacements définit une métrique, et l'ensemble de tous les déplacements, un groupe. On dira alors que l'espace a été géométré euclidiennement, riemanniennement1 , etc. Mais l'espace en soi, l'espace vide de Newton, n'a pas de forme ; il n'est même pas certain qu'il ait une réalité physique, et c'est improprement s exprimer que de parler de l'espace euclidien, lobatchefskien, riemannien. Seul le réseau de lignes et dç surfaces et les déplacements des mailles de ce réseau qu'on imagine lui donnent une forme par métaphore. Dire que l'espace impose une courbure aux figures qui y sont plongées est aussi absurde que de prétendre qu'une feuille de papier blanc impose sa forme au quadrillage formé de droites se coupant perpendiculairement ou de cercles se coupant orthogonalement qu'on peut y tracer indifféremment. L'expression de Riemann, « courbure de l'espace en un point », se rapporte à la façon de géométrer, et par suite de mesurer l'espace, non à l'espace lui-même. Tout ce qu'elle désigne, c'est ceci : une fois posée la libre mobilité des figures, l'élément linéaire ds, qui joint deux points infiniment voisins, ne

1 Ed. Guillaume, les Bases de la Physique moderne, ap. Arch. Se. phijs. et nat., janvier 1917. — Le néologisme géométrer a été introduit par M. Cailler dans un travail très remarquable sur les Equations du Principe de relativité et la Géométrie, ap. Arch. Se. phys. et nat., 1 < > 1 3 , p. 109.

peut plus recevoir que trois expressions analytiques qui correspondent aux trois métriques cTEuclide, de Lobatchefski el de Riemann. Or, comme dans les métriques figure un certain paramètre, susceptible de prendre une infinité de valeurs positives ou négatives, l'expression de l'élément linéaire, en géométrie non-euclidienne, contient nécessairement ce même paramètre. C'est lui auquel Riemann donne le nom malencontreux de « courbure d'espace », désignant par là un simple invariant de la forme 2<3,7i, dxt, dxk qui se rapporte, non à une propriété intrinsèque de l'espace, mais à la détermination métrique choisie pour le mesurer.

En résumé, l'espace n'est ni plan, ni courbe, ni euclidien, ni "lobatchefskien, ni riemannien ; mais on peut lui appliquer indifféremment, sans modifier en quoi que ce soit sa nature propre, une des trois métriques1. On évitera les équivoques sans cesse renaissantes créées par Riemann en se servant d'un langage plus correct ; en disant, par exemple, courbure de la détermination métrique d'un espace en un point, ou, mieux encore, en se servant de l'expression employée par Gauss de constante spatiale, qui est égale à l'inverse de la racine carrée de l'expression de la courbure donnée par Riemann. Pareillement, les termes: espace euclidien, espace lobatchefskien, devront être entendus comme des expressions particulièrement elliptiques, mises pour : espace géométré euclidiennement , espace géométré lobatche fskiennement , etc.

Gomme conséquence de la précédente équivoque, certains philosophes ont cru que les espaces non-euclidiens ne comportent que des figures à courbure constante positive ou négative, si bien que l'existence des droites et des plans ordinaires prouverait que l'espace est euclidien. A prendre les choses de ce biais, comme il existe des

1 Comp. Réponse à quelques critiques, Iî. M. M., janvier 1897, p. 68.

sphères et des pseudosphères dans l'espace ordinaire et que l'on peut tracer des géodésiques sur ces surfaces, il faudrait soutenir que l'espace est tout à la fois euclidien, lobatchefskien et riemannien. ce qui est absurde. De plus, comme Barbarin l'a établi : en partant des métriques de Lobatchefski et de Riemann, on peut déiinir des surfaces et des lignes qui ont les mêmes propriétés que le plan et la droite d'Euclide, de même que, en partant de la géométrie euclidienne, on peut définir des surfaces et des lignes qui possèdent les mêmes propriétés intrinsèques que les droites et les plans de Lobatchefski et de Riemann. On est alors mal venu à déclarer, comme M. Berthelot dans sa critique de Poincaré : « Toute géométrie noneuclidienne peut donc être considérée comme un langage pour parler de certains rapports euclidiens et l'inverse nest pas vrai : il y a des rapports donnés dans l'espace euclidien auxquels ne correspond aucun rapport dans aucun espace non-euclidien : ce sont les rapports qu'entraîne l'existence de la ligne droite et du plan ordinaire, caractéristiques de l'espace euclidien1. »

Ainsi, en aucun cas, on ne saurait donner un sens raisonnable à ces expressions : espace euclidien, espaces noneuclidiens, si l'on entend par là que l'espace, dans ces différents cas, aurait une contexture différente. La géométrie traditionnelle n'est pas une « science de l'espace » (ÏAnalysis Situs seule mériterait ce nom en un certain sens), c'est seulement l'étude d'une des façons de géométrer l'espace qui, par lui-même, est amorphe; ou, autrement dit, c'est l'étude d'un groupe. « Or, de semblables groupes on peut en rencontrer en étudiant la géométrie ordinaire, ou encore la géométrie non-euclidienne, ou la géométrie à quatre dimensions ; ou enfin en étudiant des transformations qui n'ont rien à faire avec l'espace. Dès lors, pour

2 Un romantisme utilitaire, t. I, p. 3f)o.

étudier la structure du groupe formé parles mouvements des corps solides, il nest pas nécessaire de rien savoir d avance sur les relations métriques de l'espace, ni même de se rappeler qu on opère sur l'espace1. » La plupart des équivoques signalées disparaîtraient, si, au lieu de se servir du terme général de géométrie appliqué à la discipline d'Euclide, on se servait du terme plus spécial de métrique euclidienne, en se rappelant qu'une métrique, et par suite le postulat des parallèles, ne peut rien nous apprendre touchant la nature et les propriétés intrinsèques de l'espace, pas plus qu'un système de mesure ne nous renseigne sur l'essence propre des grandeurs physiques mesurées.

IV La théorie de Russell.

Russell2 a soutenu une théorie qui s'accorde avec le Kantisme pour considérer les axiomes géométriques, à l'exception du postulatum, comme des conditions indispensables de l'expérience et, par suite, comme vrais a priori ; qui se sépare du Kantisme en ce que, au lieu de considérer ces axiomes comme des jugements synthétiques a priori, elle enseigne qu'ils peuvent être déduits analytiq uement de la croyance à la possibilité de l'expérience ; qui fait, enfin, sa part à l'empirisme, en tenant le postulatum d'Euclide pour une vérité d'expérience.

Cette théorie composite, qui additionne en quelque sorte les erreurs que n'avait cessé de dénoncer Poincaré, devait fournir à celui-là une occasion particulièrement favorable pour définir son attitude. Aussi ne se fit-il pas faute de la critiquer fort minutieusement :!.

1 Sur les principes de la Géométrie, ap. R. M. M., janvier 1900, p. 8a.

2 B. Russell, An Essay on Ihe Foundations of Geometry, Cambridge University Press, 1897.

:; Poincaré a consacré deux articles à la discussion de la théorie de Russell, Des fondements de la Géométrie à propos du livre de M. Russell, ap. R. M. M., mai 1899; Sur l-*s principes de la Géométrie (réponse à M. Russell), ap. R. M. .1/., janvier 1900.